Скорость распространения дебройлевской волны может быть найдена, как скорость перемещения постоянной фазы Et - px = const, т.е. фазовая скорость будет
|
|
|
vфаз |
= |
dx |
= |
|
E |
= |
c2 |
|
(2.6) |
|
|
|
dt |
|
p |
v |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Скорость движения частицы характеризуется групповой |
||||||||||||
скоростью волн де Бройля |
|
|
|
|
|
|
(2.7) |
|||||
|
|
|
v |
= v = dω . |
|
|
||||||
|
|
|
гр |
|
|
|
dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Т |
||||||||||||
частицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) если v << c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
λ = |
2π |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) в релятивистском случае |
|
|
|
|||||||||
|
|
2πhс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = |
T |
(T + 2E ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где E = m c2 - энергия покоя частицы. |
|
|||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение неопределенностей
Поскольку электрон или любая другая частица обладает свойствами волны, то одновременное точное определении ее координаты и импульса невозможно. Произведение неопределенности координаты на неопределенность соответствующей компоненты импульса не может быть меньше постоянной Планка:
x |
px ≥ h |
(2.8) |
y |
py ≥ h |
|
z pz ≥ h
x, y, z - интервалы координат, в которых локализована частица.
Эти соотношения называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга.
Под неопределенностью А физической величины А подразумевается среднее квадратичное отклонение, вычисляемое по формуле
A = (A − A )2 = A2 − A 2 . |
(2.9) |
37
Соотношения неопределенностей также справедливы для других сопряженных пар физических величин (энергия E и время t , момент импульса L и угловая координата ϕ).
Если система, например, находится в нестационарном состоянии в течении времени t , то энергию системы можно измерить лишь с
точностью, не превышающей h |
t , т.е. |
E t ≥ h. |
(2.10) |
Волновая функция и уравнение Шредингера
Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики, описывающим поведение микрочастиц в потенциальном силовом поле является уравнение Шредингера.
Полное нестационарное (временное) уравнение Шредингера имеет вид.
ih |
dΨ(r,t) |
= − |
h2 |
ΔΨ(r,t) +U (r,t)Ψ(r,t), |
(2.11) |
|
dt |
2m |
|||||
|
|
|
|
где Ψ(r,t) - полная волновая функция, m - масса частиц, U(r,t) - потенциальная энергия, - оператор Лапласа, который в декартовых координатах имеет вид
= |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
. |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|||||
|
|
|
|
Одномерное нестационарное уравнение Шредингера имеет вид
ih |
dΨ(x,t) |
= − |
h2 |
|
∂2 |
Ψ(x,t) +U (x,t)Ψ(x,t) , |
(2.12) |
|
dt |
2m ∂x2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
где i = 
−1 - мнимая единица. В случае, когда силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то есть функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии, решение этого (2.12) уравнения можно записать в виде
Ψ(x,t) = ψ(x) e−i |
E |
|
h t = ψ(x) e−iωt . |
(2.13) |
Для значительного числа явлений в микромире важно находить стационарное решение, не содержащее зависимости от времени. Для стационарных состояний одномерное уравнение Шредингера имеет вид
d 2ψ(x) |
+ |
2m |
(E −U (x))ψ(x) = 0. |
(2.14) |
|
dx2 |
h2 |
||||
|
|
|
где Е – полная энергия, U(x) - потенциальная энергия частицы, m - масса частицы. Решение этого уравнения - пси-функция вида
38