2. Формулы объемов тел вращения.

Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объем. Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Ох. С изменением х площадь сечения также будет изменяться, т. е. являться некоторой функцией х. Обозначим эту функцию через S(x) и будем считать ее непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Тогда объем тела

В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ox и криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией , объем тела вращения вычисляется по формуле

(3)

Если криволинейная трапеция вращает вокруг осиOy, то объем тела вращения

(4)

Пример: Вычислить объем шара радиуса R.

Решение:

Шар радиуса R получается вращением полуокружности вокруг осиOx, поэтому его объем V можно найти по формуле (3). Используя симметрию данного шара относительно оси Oy, находим

Решение типовых задач

Задание1. Найти первообразные для функций .

Решение:

1. Функция Легко заметить, чтоимеет ту же самую производнуюи поэтому также является первообразной длянаR. Ясно, что вместо числа 7 можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

2. Дляфункции на интервале (0; +) первообразной является функция , так какдля всехx из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция при любой постоянной С есть первообразная для функциина том же интервале (0; +).

3. Функция не является первообразной для функциина промежутке ,так как равенство не выполнено в точке 0. Однако в каждом из промежутковифункцияF является первообразной для f.

Задание 2. Вычислить интегралы:

Решение:

Задание 3.

1) Вычислить работу, совершенную одним молем идеального газа при обратном изотермическом расширении от

Решение: При обратимом расширении одного моля идеального газа давление Совершаемая газом при изменении объема на величину dV элементарная работа dA=pdV. Полная работа расширения газа от начального объема V₁ до конечного объема V₂

2) Скорость поступательно движущегося тела (м/с). Определить путь, пройденный телом за первые 10с после начала движения.

Решение: Так как тооткуда

В нашем случае t₁=0, t₂=10, v=8t-1.

Искомый путь

5. Основы теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, где изучаются закономерности случайных событий.

Теория вероятностей должна давать количественное измерение вероятностей случайных явлений и построение на этой основе математической модели наблюдаемых случайных эмпирических соотношений.

Испытание и событие

В природе и повседневной жизни часто приходится сталкиваться случайными явлениями, т. е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Процесс познания действительности в этом случае осуществляется в результате наблюдений или испытаний (экспериментов).

Под испытанием (наблюдением) понимается любой доступный частому повторению процесс, протекающий при реализации заданного комплекса условий.

Результат, или исход испытания называется событием.

Виды событий

Различают три вида событий: случайные, достоверные и невозможные.

Событие, которое при реализации заданного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Событие, которое неизбежно происходит при каждой реализации заданного комплекса условий, называется достоверным.

Событие, которое заведомо не может произойти при реализации заданного комплекса условий, называется невозможным.