- •5. Магнитное поле
- •5.1. Магнитное поле в вакууме
- •5.2. Основные свойства магнитного поля
- •5.3. Силы, действующие на проводник стоком
- •5.4. Магнитное поле в веществе
- •5.4.1. Намагничение вещества, намагниченность
- •5.4.2. Токи намагничивания I′.
- •5.4.3. О расчете поля b в магнетике.
- •5.4.5. Вектор h.
- •2) Связь между векторами j и h.
- •4) Когда внутри магнетика токи намагничивания j′ равны нулю?
- •5) Граничные условия для b и h на границе раздела двух однородных магнетиков.
- •6) Преломление линий вектора b и h
- •7) Ферромагнетики, гистерезис.
4) Когда внутри магнетика токи намагничивания j′ равны нулю?
Покажем, что токи намагничивания внутри магнетика равны нулю, если: 1) магнетик однородный и 2) внутри него нет токов проводимости, т.е. j =0. В этом случае остаются только поверхностные токи намагничивания.
Для доказательства воспользуемся теоремой о циркуляции вектора J по произвольному контуру Г, взятому целиком внутри магнетика ( = I′). В случае однородного магнетика (первое условие) можно заменить J на χH (см. (5.38)) и, т.к. магнитная восприимчивость χ в данном случае постоянная, вынести ее за знак интеграла, тогда получим
I′ = χ .
Теперь воспользуемся теоремой о циркуляции для вектора H (5.36), согласно которой =I – алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых контуром Г, и для однородного магнетика получим
I′ = χ I. (5.40)
Это соотношение между токами справедливо для любого контура внутри магнетика, в том числе и для очень малого контура, когда I′ и I можно заменить на их малые значения, соответственно, dI′ и dI, а они в свою очередь равны dI′ = jn′dS и dI = jndS. Тогда jn′dS = jndS и после сокращения на dS мы получим jn′ = χ jn . Последнее равенство справедливо для любой ориентации контура, т.е. при любом направлении нормали n к нему. А это значит, что таким же равенством связаны и сами векторы j′ и j :
j′ = χ j . (5.41)
Отсюда следует, что для однородного магнетика j′ = 0 , если j′ = 0, что и требовалось доказать.
5) Граничные условия для b и h на границе раздела двух однородных магнетиков.
Граничные условия для вектора B получаем, используя теорему Гаусса для него (5.9) = 0. При этом действуем точно так же, как при определении граничных условий для вектора P и D в лекции 4 разделы 4.4 г) и 4.5.3. 2) даже рисунок тот же рис.7. Тогда получим, что поток вектора B через замкнутую поверхность S в виде прямого цилиндра охватывающего элемент поверхности границы раздела ∆S , при стремлении к нулю его высоты будет равен потоку через торцы цилиндра, а именно B2n∆S – B1n∆S, который, согласно теореме, равен нулю. Тогда после сокращения на ∆S, получим
B2n = B1n , (5.42)
т.е. нормальная составляющая вектора B одинаковая по обе стороны границы раздела двух магнетиков. Эта величина скачка не испытывает.
Граничные условия для вектора H получаем, используя теорему о циркуляции =I (5.36) так же, как для вектора E. Для большей общности положим, что по поверхности раздела магнетиков 1 и 2 течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i. Применим теорему о циркуляции вектора H к очень малому контуру, в виде прямоугольника, который охватывает границу раздела длиной ℓ (это и длина прямоугольника), а его плоскость перпендикулярна поверхности раздела (при этом нормаль N к контуру параллельна поверхности раздела). Для ясности смотри рис.21. Тогда устремив полувысоту h контура к нулю и, соответственно, пренебрегая вкладом в циркуляцию по боковым сторонам (4h) контура, получим для всего контура:
H2τℓ + H1τ′ℓ = iNℓ , Рис.21.
где iN – проекция вектора i на нормаль N к контуру (вектор N образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему). Взяв обе проекции вектора H на общий орт касательной τ (в среде 2) (другими словами приведя все к общей касательной τ), получим H2τ = – H1τ′ и после сокращения на предыдущее уравнение примет вид
H2τ – H1τ = iN , (5.43)
т.е. тангенциальная составляющая вектора H при переходе границы раздела двух магнетиков претерпевает скачек, связанный с наличием поверхностного тока проводимости.
Если на границе раздела магнетиков токов проводимости нет (i = 0), то тангенциальная составляющая вектора H оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела:
H2τ = H1τ . (5.44)
Итак, если на границе раздела двух однородных магнетиков тока проводимости нет, то при переходе этой границы составляющие Bn и Hτ изменяются непрерывно, без скачка, а составляющие Bτ и Hn при этом претерпевают скачек.