![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •5. Магнитное поле
- •5.1. Магнитное поле в вакууме
- •5.2. Основные свойства магнитного поля
- •5.3. Силы, действующие на проводник стоком
- •5.4. Магнитное поле в веществе
- •5.4.1. Намагничение вещества, намагниченность
- •5.4.2. Токи намагничивания I′.
- •5.4.3. О расчете поля b в магнетике.
- •5.4.5. Вектор h.
- •2) Связь между векторами j и h.
- •4) Когда внутри магнетика токи намагничивания j′ равны нулю?
- •5) Граничные условия для b и h на границе раздела двух однородных магнетиков.
- •6) Преломление линий вектора b и h
- •7) Ферромагнетики, гистерезис.
5.2. Основные свойства магнитного поля
1) Теорема Гаусса для поля вектора B
Как и электрическое поле, магнитное поле представляют в виде набора силовых линий – направление касательной в каждой точке силовой линии совпадает с направлением B, а густота (плотность) силовых линий пропорциональна его величине (модулю) в данном месте.
Теорема Гаусса для B гласит. Поток вектора B (поток его силовых линий) через замкнутую поверхность равен нулю:
=
0.
(5.9)
Из выражения (5.9) следует:
1 – магнитное поле не имеет источников, т.е. магнитные заряды отсутствуют в отличие от электрического поля;
2 – силовые линии магнитного поля не имеют ни начала, ни конца – они либо замкнуты сами на себя либо через бесконечность, т.е. приходят из бесконечности и в бесконечность уходят;
3 – поток вектора B через поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы этой поверхности S. Последнее легко понять, если поток представить в виде потока силовых линий.
2) Теорема о циркуляции для поля вектора B (для магнитного поля постоянных токов в вакууме)
Циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру Г равна произведению μο на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:
= μο
I,
(5.10)
Г
где
I
=
, причем Ik
– величины
алгебраические. Ток считается
положительным, если его направление
связано с выбранным направлением обхода
по контуру правилом правого винта. Ток
противоположного направления считается
отрицательным.
Если
токи распределены по объему, то ток I
=
.
Здесь интеграл берется по произвольной
поверхности S
натянутой на конур Г, j
–
плотность
тока в точке элемента dS
поверхности
S,
причем вектор dS
образует с направлением
обхода
по контуру правовинтовую систему. Таким
образом, выражение (5.10) в общем случае
имеет вид:
= μο
(5.11)
В отличие от электрического поля циркуляция B по замкнутому контуру отлична от нуля, а это означает, что поле B не потенциально. Поле B – вихревое или соленоидальное.
5.3. Силы, действующие на проводник стоком
1) Сила dF, действующая на элемент объема dV проводника с током со стороны магнитного поля легко получается из выражения (5.1) для аналогичной силы, действующей на движущийся заряд, если заряд q заменить на ρdV и далее точно так же, как при выводе закона Био–Савара выражения (5.5), (5.7) в пункте 5.1. 5):
dF = [jB]dV , (5.12)
и если ток течет по тонкому проводу, то
dF = I[dl, B], (5.13)
где dl – вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (5.12) и (5.13) выражают закон Ампера. Для получения силы со стороны магнитного поля, действующей на заданный объем проводника или его линейный участок необходимо проинтегрировать, соответственно, (5.12) и (5.13) по элементам тока объема или линейного участка. Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами Ампера.
2) Сила, действующая на контур с током. Результирующая сила F, которая действует на контур Г стоком I в магнитном поле, определяется из (5.13) как
F
= I
(5.14)
Г
Из
(5.14)
видно, что если поле B
однородное, то результирующая сила
равна нулю, т.к. B
можно вынести за знак интеграла, а
оставшийся интеграл
=
0,
поскольку представляет собой сумму
замкнутой цепочки векторов
dl
(а
не скаляров, когда интеграл равен длине
контура).
Если же магнитное поле неоднородно, то,
в общем случае, результирующая сила
отлична от нуля.
Особый интерес представляет плоский контур (окружность) достаточно малого размера. Такой контур называют элементарным или магнитным диполем, поведение которого, описывается с помощью магнитного момента pm диполя. По определению
pm = ISn, (5.15)
где I – ток в контуре; S – площадь ограниченная контуром диполя; n – нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в
Рис.14.
контуре правилом правого винта (см. рис.14). В магнитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом pm (так же как электрический диполь электрическим моментом ре = ql в электрическом отношении).
Расчет результирующей силы, действующей на магнитный диполь (маленький по размерам) со стороны неоднородного магнитного поля дает
F
= pm
, (5.16)
где
pm
– модуль магнитного момента контура;
–
производная
вектора B
по направлению нормали n
или, что то же самое, по направлению
вектора pm
.
Выражение
(5.16)
аналогично выражению для силы, действующей
на электрический диполь в электрическом
поле. Из выражения (5.16) видно, что как и
в случае электрического диполя: 1)
в однородном магнитном поле сила равна
нулю, т.к.
=
0;
2) направление силы F
, в общем случае, не совпадает ни с
вектором B
, ни с вектором pm
; направление F
совпадает с направлением элементарного
приращения вектора B,
взятого в направлении вектора pm
в месте расположения контура.
Проекция силы F на какое то интересующее нас направление, например X , равно
Fx
= pm
,
(5.17)
где
– производная проекции вектораB
по направлению нормали n
к контуру.
3) Момент сил, действующих на контур с током.
Рассмотрим плоский контур с током в однородном магнитном поле B . В этом случае, как мы уже знаем, результирующая сила, действующая на контур со стороны магнитного поля равна нулю. В таком случае, как известно из механики, если результирующая сил равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от выбора точки 0 , относительно которой определяют моменты этих сил. Тогда результирующий момент M амперовых сил в нашем случае, по определению, будет
M
=
, (5.18)
Где dF – определяется выражением (6.3). Соответствующий расчет по формуле (5.18) (мы его не приводим) дает
M = [pmB], M = pmBsinα, (5.19)
где pm – магнитный момент контура с током (для плоского контура pm=ISn), α – угол между векторами pm и B. Если pm ↑↑ B (α = 0) то момент сил M = 0 и положение контура будет устойчивым, а если pm ↑↓ B то тоже M = 0, но положение контура будет неустойчивым.
4) Работа при перемещении контура с током.
Если контур с током находится в магнитном поле B, то на каждый элемент контура, согласно (5.12) и (5.13), действует амперова сила, следовательно, при перемещении контура эти силы (магнитное поле) будут совершать работу. В случае постоянного магнитного поля эта работа δA при элементарном (малом) перемещении контура с током I , определяется как
δA = IdФ, (5.20)
где dФ – приращение магнитного потока через контур при данном перемещении.
Полная работа амперовых сил при перемещении контура с током от начального положения 1 до конечного положения 2 получаем после соответствующего интегрирования выражения (5.20)
A
=
.
(5.21)
Если при этом перемещении ток I остается постоянным, то
A = I (Ф2 – Ф1), (5.22)
где Ф1 и Ф2 – магнитные потоки через контур в начальном и конечном положениях. Выражение (5.22) дает величину и знак совершаемой работы.