![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Классическое и геометрическое определения вероятности
- •1.1.Классическое определение вероятностей. Задачи
- •1.2.Геометрическая вероятность
- •1.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.1. Операции над событиями. Независимость событий
- •2.2. Условная вероятность
- •2.3. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.3. Задачи для самостоятельной работы
- •Глава 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Глава 4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Глава 5. Дискретные случайные величины и их характеристики
- •5.1. Дискретные случайные величины
- •5.2. Задачи для самостоятельной работы.
- •Глава 6. Непрерывные случайные величины и их характеристики
- •6.1. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- •Глава 7. Элементы математической статистики
- •7.2. Доверительное оценивание
- •1. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной дисперсии)
- •2. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при неизвестной дисперсии)
- •3. Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Список литературы
Глава 2. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей
Пусть
,
– вероятностное пространство, где
– множество элементарных исходов
эксперимента,
–
–алгебра
событий,
– вероятностная мера. Пусть
– некоторое событие, вероятность
которого .
Определение.
Условной
вероятностью события
при условии, что наступило событие
называют число
:
.
(2.1)
Определение.
События
и
называются независимыми, если выполняется
равенство
Теорема.
События
и
независимы тогда и только тогда, когда
справедливо соотношение
,
при
.
Теорема
(умножения вероятностей). Пусть
–события вероятностного пространства,
причем
.
Тогда
.
(2.2)
Пусть
–события вероятностного пространства,
причем
и
.
Тогда
.
(2.3)
Теорема
(сложения вероятностей). Пусть
–события вероятностного пространства.
Тогда
.
(2.4)
2.1. Операции над событиями. Независимость событий
Опыт состоит в подбрасывании двух монет. Рассматриваются следующие события:
- появление герба
на первой монете;
- появление цифры
на первой монете;
- появление герба
на второй монете;
- появление цифры
на второй монете;
- появление хотя
бы одного герба;
- появление хотя
бы одной цифры;
- появление одного
герба и одной цифры;
- непоявление ни
одного герба;
- появление двух
гербов.
Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события
- попадание при
-м выстреле (
). Представить в виде сумм, произведений или сумм произведений событий
и
следующие события:
- все три попадания;
- все три промаха;
- хотя бы одно
попадание;
- хотя бы один
промах;
- не меньше двух
попаданий;
- не больше одного
попадания;
- попадание в мишень
не раньше, чем при третьем выстреле.
Опыт состоит в последовательном подбрасывании двух монет. Рассматриваются события:
- появление герба
на первой монете;
- появление хотя
бы одного герба;
- появление хотя
бы одной цифры;
- появление герба
на второй монете.
Определить, зависимы или независимы пары событий:
1)
иE;
2)
иF;
3) D
и
;
4)D
и
.
Определить условные и безусловные вероятности событий в каждой паре.
Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события:
- появление туза;
- появление карты
красной масти;
- появление бубнового
туза;
- появление десятки.
Зависимы или независимы попарно следующие события:
1)
иB;
2)
иC;
3) B
и
;
4)B
и D;
5) C
и D.
2.2. Условная вероятность
Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он ответит на три последовательно заданных ему вопроса.
В общежитии проживает 10% студентов университета. 75% студентов, проживающих в общежитии, увлекается спортом, среди них 46% юношей. Какова вероятность встретить в студенческом городке юношу, увлекающегося спортом и живущего в общежитии?
У человека имеется N ключей, из которых только один подходит к двери. Он последовательно испытывает их. Процесс испытания может закончиться при 1, 2, …., N испытаниях. Показать, что каждый из этих исходов имеет вероятность 1/N.