- •Федеральное государственное бюджетное
- •Проверка теоремы гюйгенса-штейнера методом вращательных колебаний
- •Введение
- •Описание аппаратуры
- •Порядок выполнения работы
- •Часть I. Определение коэффициента жёсткости пружин
- •2MГРg kl.
- •Часть II. Измерение значений момента инерции систем
- •Контрольные вопросы
- •150048, Г. Ярославль, Московский пр-т, д. 151.
Федеральное государственное бюджетное
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
Кафедра «Физика»
ФИЗИКА
ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 62
Москва 2013
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
Кафедра «Физика»
ФИЗИКА
ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний для студентов специальностей и направлений ИПСС, ИТТСУ, ИУИТ, ИЭФ, вечернего факультета
Под редакцией проф. В.А. Никитенко
Москва 2013
УДК 53(075.8)
K-59
Кокин С.М., Ляпушкин Н.Н.. Физика. Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера методом вращательных колебаний. Методические указания к лабораторной работе 62 / Под ред. проф. В.А. Никитенко. – М.: МИИТ, 2013. –16 с.
Методические указания содержат описания лабораторных работ по физике, предназначенных для студентов первого и второго курсов институтов ИПСС, ИТТСУ, ИУИТ, ИЭФ, вечернего факультета.
©МИИТ, 2013
Работа 62
Проверка теоремы гюйгенса-штейнера методом вращательных колебаний
Цель работы. Определение моментов инерции твердых тел относительно оси, не совпадающей с центром масс; проверка теоремы Гюйгенса Штейнера.
Введение
Напомним, что для описания вращательного движения в соответствующем разделе механики используются следующие понятия:
Момент инерции
Моментом инерции I материальной точки относительно выбранной оси является величина равная произведению массы m этой точки на квадрат расстояния r от точки до оси вращения:
I mr2. (1)
Моментом инерции системы материальных точек относительно выбранной оси называется алгебраическая сумма моментов инерции всех N точек, входящих в систему, относительно этой оси (рис. 1а):
I . (2)
Тело массой m можно представить в виде совокупности материальных точек массой dm каждая (рис. 1б), поэтому для момента инерции тела можно записать:
I . (3)
Из соотношений (1) – (3) следует, что момент инерции – величина аддитивная, то есть момент инерции IСИСТ системы, состоящей из нескольких тел, равен сумме моментов инерции этих тел относительно выбранной оси:
IСИСТ I1 I2 … IN. (4)
В частности, момент инерции сплошного однородного диска (цилиндра) массой m и радиусом r равен 0,5mr2.
Физический смысл момента инерции твердого тела: I – это мера инертности тела при вращательном движении (см. далее основной закон динамики вращательного движения).
Момент импульса
Моментом импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта О является величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого из О к материальной точке, на её импульс :
[]. (5)
По величине L rpsin (здесь – угол между векторами и ); направлениеопределяется по правилу левой руки (рис. 2).
Момент импульса системы материальных точек относительно некоторого начала отсчёта О равен сумме моментов импульса этих точек:
…. (6)
Можно показать, что для момента импульса абсолютно твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростью относительно некоторой оси1и имеющего момент инерцииI относительно этой оси, справедливо соотношение:
I. (7)
Момент силы
Моментом силы относительно некоторого начала отсчёта О называется вектор вида
[]. (8)
Здесь - радиус-вектор, проведённый из О к точке приложения силы . По величине M rFsin ( – угол между векторами и ); направлениеопределяется по правилу левой руки (рис. 3).
Основной закон динамики вращательного движения
Сумма моментов сил, действующих на систему тел, равна скорости изменения её (системы) момента импульса:
. (9)
Для вращающегося абсолютно твёрдого тела с учётом соотношения (7) и определения2углового ускорения формула основного закона динамики вращательного движения принимает вид:
I. (10)
Здесь I – момент инерции тела относительно оси вращения.
Формула (9) является аналогом формулы второго закона Ньютона для системы тел при её поступательном движении: сумма всех сил, действующих на систему, равна скорости изменения её (системы) импульса:
(11)
В свою очередь, формула (10) является аналогом формулы второго закона Ньютона для поступательного движения тела постоянной массы: сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение:
m (12)
Сравнение формул (10) и (12) говорит о том, что точно так же, как масса в случае поступательного движения тела является мерой его инертных свойств, в случае вращательного движения мерой инертных свойств тела является его момент инерции I относительно оси вращения. Именно поэтому задача вычисления момента инерции приобретает важное значение во всех случаях, в которых необходимо описать поведение вращающихся объектов. В ряде случаев решить эту задачу помогает теорема Гюйгенса-Штейнера (или просто «теорема Штейнера»).
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями d (см. рис. 1.в):
I I0 md2. (13)
Целью настоящей работы как раз и является экспериментальная проверка справедливости соотношения (13).