![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§1. Основные понятия векторной алгебры
- •§2. Проекция вектора на ось.
- •§3. Координаты вектора
- •§4. Скалярное произведение векторов
- •§5. Векторное произведение векторов
- •§5. Смешанное произведение векторов
- •Глава 2. Прямая на плоскости
- •§1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости
- •§3. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •§4. Расстояние от точки до прямой
- •§5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Глава 3. Плоскость в пространстве.
- •§1. Уравнение плоскости в пространстве
- •§ 2. Взаимное расположение плоскостей в пространстве
- •Глава 4. Прямая в пространстве
- •§1. Общие уравнения прямой в пространстве
- •§2. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве
- •§ 3. Переход от одного вида уравнения прямой к другому виду
- •§4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.
- •Глава 5. Взаимное расположение прямой и плоскости
§4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.
Для двух прямых в пространстве возможны следующие варианты их взаимного расположения:
а) прямые совпадают;
б) прямые параллельны;
в) прямые пересекаются;
г) прямые скрещиваются.
Рассмотрим как зная уравнения прямых
определить их взаимное расположение.
Пусть прямые
и
заданы своими каноническими уравнениями
.
Тогда прямая
проходит через точку
и имеет направляющий вектор
,
а прямая
проходит через точку
и имеет направляющий вектор
.
Если прямые совпадают или параллельны,
то векторы
и
компланарны, то есть существует число
такое, что верно равенство
.
При этом, если прямые совпадают, то
тройка чисел
,
являющихся координатами точки
,
будет решением уравнения прямой
.
Если же прямые параллельны, то тройка
чисел
не будет решением уравнения прямой
,
то есть при подстановке этих чисел в
уравнение прямой
не будут получены верные числовые
равенства.
Рис. .35
Если направляющие векторы прямых
и
не коллинеарны, то прямые либо пересекаются
в одной точке, либо скрещиваются.
Если прямые пересекаются в одной
точке, то либо точки
и
совпадают, то есть имеют равные координаты,
либо пересекаются в другой точке и тогда
точки
и
лежат на разных прямых. В последнем
случае векторы
и
лежат в одной плоскости (смотри Рис.
18), то есть компланарны. Условием же
компланарнасти является равенство нулю
смешенного произведения этих векторов.
Поэтому, если
,
то прямые пересекаются в одной точке. Если же смешанное произведение не равно нулю, то прямые скрещиваются.
Рассмотрим пример.
Пример.
Определить взаимное расположение прямых
.
Направляющие векторы прямых
и
не коллинеарны, так как если бы они были
коллинеарны, то существовало бы число
такое, что справедливо векторное
равенство
.
Или, в координатах
.
Но, как легко видеть, эта система не
совместна. Следовательно, прямые либо
пересекаются в одной точке, либо
скрещиваются. Первая прямая проходит
через точку
,
вторая через точку
, причем эти точки не совпадают. Найдем
смешанное произведение векторов
и
.
Так как смешанное произведение не равно нулю, то прямые скрещиваются.
Перейдем к рассмотрению угла между
прямыми в пространстве. Угол между двумя
прямыми определяется как угол между их
направляющими векторами. При этом
необходимо учесть, что в зависимости
от выбора направлений направляющих
векторов угол между ними может быть как
острым, так и тупым (или прямым). Так,
если в качестве направляющих векторов
(см. Рис. 18) выбрать
и
,
то угол между ними будет острым. Этот
угол равен острому углу
между прямыми. Если же в качестве
направляющих векторов выбрать
и
,
то угол между ними равен
Рис. 36.
тупому углу
между прямыми. Косинус угла между
направляющими векторами можно определить
через скалярное произведение по формуле
.
При этом , если
,
то получаем, что угол
острый угол между прямыми. Если же
,
то угол
является тупым углом между прямыми.
Однако, острый и тупой угол в сумме
составляют 180o.
Поэтому, найдя один из них, легко можно
найти и другой. Если же воспользоваться
формулой
,
то всегда будем получать острый угол
между прямыми (или прямой). Рассмотрим
пример.
Пример.
Найти угол между прямыми
.
Направляющие векторы прямых равны
и
.
Следовательно, воспользовавшись
формулой для нахождения косинуса острого
угла, получим
.
Тогда острый угол между прямыми равен