практическая часть
.docx
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
Задача 1.
Даны вершины треугольника A(-2;0), B(2;4), C(4;0).
Составить:
1) параметрические и канонические уравнения трёх сторон;
2) в общем виде уравнение медианы АЕ и высоты АD;
Решение:
B(2;4)
D
E
A(-2;0)
C(4;0)
Рис. 9 к задаче.
1)Найдём направляющий вектор стороны АВ:
АВ ={2-(-2);4-0}={4;4}, для составления параметрических уравнений стороны АВ, используем координаты точки А и вектора АВ по формуле
получаем
или - параметрические уравнения стороны АВ
Аналогично для сторон ВС и АС:
==, ==
- параметрические уравнения стороны ВС.
- параметрические уравнения стороны АС.
Чтобы записать уравнения сторон в каноническом виде воспользуемся
формулой: =, для стороны АВ подставим координаты
направляющего вектора АВ и вместо координаты точки А, получим
= или = - канонические уравнения стороны АВ.
Аналогично для сторон ВС и АС:
= - канонические уравнения стороны ВС.
= или = - канонические уравнения стороны АС.
2) Найдем координаты точки Е, как середину отрезка ВС
===3, ===2 => E(3;2), по формуле
=, для точек А и Е получаем
= ; =5y; 2x-5y+4=0 - общее уравнение медианы АЕ.
Так как высота АD перпендикулярна стороне ВС воспользуемся признаком перпендикулярности двух прямых ·=-1.
Перепишем канонические уравнения стороны ВС в общем виде, получим 2x+y-8=0, выразим отсюда y, получим уравнение стороны ВС с угловым коэффициентом в виде y=-2x+8, отсюда =-2, значит , по формуле ), для координат точки А и получим
y-0 =(x+1); 2y = x+2 или x-2y+2=0 уравнение высоты АD.
Иначе: нормальный вектор прямой ВС n{2;1} является направляющим
вектором высоты АD, по формуле = для координат точки А и вектора n, получим
= ; x+2=2y; x-2y+2=0 уравнение высоты АD
Ответ: 1) AB: , = ;
BC: , = ;
AC: = ;
2) AE: 2x-5y+4=0;
AD: x-2y+2=0.
Э.Ф. Капленко, С.Г. Маркова Сборник задач по геомнтрии 2 часть, стр 31
Задача 2.
Составить уравнения прямой, проходящей через точки .
Решение:
Найдём направляющий вектор прямой:
=
Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору ():
= ; )=0
Выполним проверку:
Подставим координаты точки в полученные уравнения:
= ; 0
Получены верные равенства.
Подставим координаты точки :
= ; 0
Получены верные равенства.
Вывод: канонические уравнения прямой составлены правильно.
Ответ: =
Э.Ф. Капленко, С.Г. Маркова Сборник задач по геомнтрии 2 часть, стр 36
Задача 3.
Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору
Решение:
Канонические уравнения прямой составим по формуле:
.
Ответ: .
Э.Ф. Капленко, С.Г. Маркова Сборник задач по геомнтрии 2 часть, стр 45
Задача 4.
Составить параметрические уравнения следующих прямых:
а) = ;
б) ;
в) x=0; y-6=0.
Решение:
Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.
а) Из уравнений = снимаем точку и направляющий вектор:
(-4;0;5), .
Составим параметрические уравнения данной прямой:
б) Рассмотрим канонические уравнения ; . Выбор точки здесь несложен:
Запишем направляющий вектор , а на оставшееся место поставим ноль: (0;7;-3)..
Составим параметрические уравнения прямой:
в) Перепишем уравнения в виде
то есть «z» может быть любым. А если любым, то пусть, например, . Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях находятся «x» и «y», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули: . На оставшееся место ставим единицу: . Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля.
Запишем параметрические уравнения прямой:
Ответ: а) ;
б) ;
в)
Э.Ф. Капленко, С.Г. Маркова Сборник задач по геомнтрии 2 часть, стр 44
Задача 5.
Выяснить взаимное расположение двух прямых
: = =, : = = .
1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:
: = = => (-4;-5;6), (-2;4;6)
: = = => (0;1;-3), (1;-2;-3)
2) Найдём вектор: =(0-(-4);1-(-5);-3-6)=(4;6;-9)
3) Вычислим смешанное произведение векторов:
(· = -2·-+4·=
=-2·(18+18)-(-36-36)+4·(-12+12)=-72+72+0=0
Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.
4) Проверим направляющие векторы (-2;4;6), (1;-2;-3) на коллинеарность.
Составим систему из соответствующих координат данных векторов:
Из каждого уравнения следует, что λ= - , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.
Вывод: прямые параллельны либо совпадают.
5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку (-4;-5;6) , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :
= = ,
-4≠3≠-3
Таким образом, общих точек у прямых нет, значит они параллельны.
Ответ: ║.
Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян Сборник задач по геометрии часть1, стр 53
Задача 6.
Найти точку пересечения прямых
: = = , : = =
Решение:
Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:
: , :
Точка пересечения прямых M( принадлежит прямой поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :
M:
Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:
M:
Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:
=> =>
Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются, то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Из первого уравнения выразим и подставим его во второе и третье уравнение:
=> =>
Тогда:
Подставим найденное значение параметра в уравнения:
=> =>
Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения:
=> => =>
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить.
Ответ: M(8;-8;-8).
Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян Сборник задач по геометрии часть1, стр 58
Задача 7.
В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS (с вершиной S) точка M — середина ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью ABM.
Решение.
Сечение изображено на рис. 10.
Рис. 10. К задаче
Самое главное тут — выяснить, по какой прямой секущая плоскость ABM пересекает плоскость SCD. Для этого заметим, что AB ║ CD, и по признаку параллельности прямой и плоскости имеем AB ║ SCD. А из теоремы следует тогда, что прямая MN пересечения плоскостей ABM и SCD параллельна прямой AB (и, стало быть, прямой CD).
Таким образом, MN — средняя линия треугольника SCD. Сечением пирамиды будет трапеция ABMN.
Ответ: трапеция ABMN.
Л.С. Атанасян Аналитическая геометрия часть вторая, стр 179.
Задача 8.
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны.
Решение.
Пусть ABCD — правильная треугольная пирамида (рис. 10). Докажем, например, что AD ⊥ BC.
Рис. 11. К задаче
Пусть точка M — середина ребра BC. Рассмотрим плоскость ADM. Ясно, что высота DH
нашей пирамиды лежит в этой плоскости (поскольку H лежит на медиане AM).
Докажем, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADM. Для этого нам нужно предъявить две пересекающие прямые, лежащие в плоскости ADM и перпендикулярные BC. Какие же это прямые?
Во-первых, это прямая DH. В самом деле, будучи высотой пирамиды, DH перпендикулярна плоскости ABC. По определению это означает, что DH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC - в частности, прямой BC.
Во-вторых, это прямая AM. Действительно, будучи медианой равностороннего треугольника ABC, отрезок AM является его высотой и потому перпендикулярен BC.
Итак, мы убедились, что BC ⊥ DH и BC ⊥ AM. По признаку перпендикулярности прямой
и плоскости мы заключаем, что BC ⊥ ADM. Стало быть, BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ADM — в частности, прямой AD. Это мы и хотели доказать.
Обратите внимание, какая схема рассуждений реализована в данной задаче. Допустим, мы
хотим доказать, что прямая l перпендикулярна прямой m. Действуем следующим образом:
1. Берём подходящую плоскость π, в которой лежит прямая l.
2. В плоскости π находим две пересекающиеся прямые a и b, такие, что m ⊥ a и m ⊥ b.
3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости делаем вывод, что m ⊥ π.
4. По определению перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости π. В частности, m ⊥ l, что и требовалось.
Эта схема часто работает во многих задачах.
Л.С. Атанасян Аналитическая геометрия часть вторая, стр 177
Задача 9.
Найти точку пересечения прямой и плоскости
2x-y+z+4=0.
Решение:
Рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости:
3· 2 + 2· (-1) + (-1)·1 = 3 ≠ 0 , значит прямая и плоскость пересекается. Пере-
пишем уравнение прямой в параметрическом виде:
Подставим эти уравнения прямой в уравнения плоскости, найдём значение
параметра t:
Чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости подставим значение t в параметрические уравнения прямой:
Ответ: - точка пересечения прямой и плоскости.
Л.С. Атанасян Аналитическая геометрия часть вторая, стр 157.
Задача 10.
Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой и направляющим вектором (3;-2;4), и плоскости 2x-3y-3z+12=0.
Решение.
Вытащим вектор нормали плоскости: (2;-3;-3).
Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: ·= 2·2-3·(-2)-3·4=6+66-12=0, значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.
Подставим координаты точки в уравнение плоскости:
2·0-3·5-3·(-1)=12=0
2·0-3·5-3·(-1)+12=0
0-15+3+12=0
0=0
Получено верное равенство, следовательно, точка лежит в данной плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости.
Ответ: прямая лежит в плоскости.
Л.С. Атанасян Аналитическая геометрия часть вторая, стр 178.