Практическая часть Задача 1
Даны вершины треугольника A(-2;0), B(2;4), C(4;0). Составить:
1) параметрические и канонические уравнения трёх сторон;
2) в общем виде уравнение медианы АЕ и высоты АD.13
Решение:
B(2;4)
D
E
C(4;0)
A(-2;0)
Рис. 9 к задаче.
1)Найдём направляющий вектор стороны АВ:
АВ ={2-(-2);4-0}={4;4}, для составления параметрических уравнений стороны АВ, используем координаты точки А и вектора АВ по формуле
получаем
или
- параметрические уравнения стороны
АВ
Аналогично для сторон ВС и АС:
=
=
,
=
=
- параметрические
уравнения стороны ВС.
- параметрические
уравнения стороны АС.
Чтобы записать
уравнения сторон в каноническом виде
воспользуемся формулой:
=
,
для стороны АВ подставим координаты
направляющего вектора АВ и вместо
координаты точки А, получим:
=
или
=
- канонические уравнения стороны АВ.
Аналогично для сторон ВС и АС:
=
- канонические уравнения стороны ВС.
=
или
=
- канонические уравнения стороны АС.
2) Найдем координаты точки Е, как середину отрезка ВС
=
=
=3,
=
=
=2
=>E(3;2),
по формуле
=
,
для точек А и Е получаем:
=
;
=5y;
2x-5y+4=0
- общее уравнение медианы АЕ.
Так как высота АD
перпендикулярна стороне ВС воспользуемся
признаком перпендикулярности двух
прямых
·
=-1.
Перепишем
канонические уравнения стороны ВС в
общем виде, получим 2x+y-8=0, выразим отсюда
y, получим уравнение стороны ВС с угловым
коэффициентом
в виде y=-2x+8, отсюда
=-2,
значит
,
по формуле
),
для координат точки А и
получим:
y-0
=
(x+1);
2y
= x+2
или x-2y+2=0
уравнение высоты АD.
Иначе: нормальный вектор прямой ВС n{2;1} является направляющим
вектором высоты
АD, по формуле
=
для координат точки А и вектораn,
получим :
=
;x+2=2y;
x-2y+2=0
уравнение высоты АD.
Ответ: 1) AB:
,
=
;
BC:
,
=
;
AC:
=
;
2) AE: 2x-5y+4=0;
AD: x-2y+2=0.
Задача 2
Составить
уравнения прямой, проходящей через
точки
.14
Решение:
Найдём направляющий вектор прямой:
=
Уравнения
прямой составим по точке 
и направляющему вектору 
(
):
=
;
)=0
Выполним проверку:
подставим
координаты точки
в
полученные уравнения:
=
;
0
Получены
верные равенства. Подставим координаты
точки 
:
=
;
0
Получены верные равенства.
Вывод: канонические уравнения прямой составлены правильно.
Ответ:
=
Задача 3
Составить
канонические уравнения прямой по точке
и
направляющему вектору
Решение:
Канонические уравнения прямой составим по формуле:
.
Ответ:
.
Задача 4
Составить параметрические уравнения следующих прямых:
а)
=
;
б)
;
в) x=0; y-6=0.15
Решение:
Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.
а) Из
уравнений
=
снимаем точку и направляющий вектор:
(-4;0;5),
.
Составим параметрические уравнения данной прямой:
б)
Рассмотрим канонические уравнения
;
.
Выбор точки здесь несложен:
Запишем
направляющий вектор
,
а на оставшееся место поставим
ноль: 
(0;7;-3)..
Составим
параметрические уравнения прямой:
в)
Перепишем уравнения
в виде
то
есть «z»
может быть любым. А если любым, то пусть,
например, 
.
Таким образом, точка
принадлежит
данной прямой. Для нахождения направляющего
вектора используем следующий формальный
приём: в исходных уравнениях
находятся
«x»
и «y»,
и в направляющем векторе на данных
местах записываем нули:
.
На оставшееся место ставим единицу: 
.
Вместо единицы подойдёт любое число,
кроме нуля.
Запишем
параметрические уравнения прямой:
Ответ:
а)
;
б)
;
в)
