![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
28. Криволінійні кординати.
До цього часу ми мали справу з декартовими або косокутними координатами. Положення точки зручно визначити за допомогою криволінійних координат.
-92-
Три координати
називаються
криволінійними координатами точки,
якщо вони однозначно визначають положення
точки в просторі.
Вони вводяться за допомогою системи рівнянь
/28.1/
Тобто
/28.1/
Рівняння /28.1/ можна розв’язати
відносно
Функції /28.1/ і /28.2/ будемо вважати неперервними, диференційованими, а при необхідності – однозначними.
Приклад 1. Циліндрична система координат.
Циліндричними координатами точки М є
Вони зв’язані з декартовими
координатами
за
допомогою відомих співвідношень
Приклад 2. Сферична система координат.
Сферичними координатами точки є
При цьому
Приклад 3. Криволінійні координати точки задані рівняннм
У першому з рівнянь /28.2/
зафіксуємо криволінійну координатну
,
тобто приймемо
Очевидно, це є рівнянням
певної поверхні в просторі
,
яку ми будемо називати координатною
поверхнею. Існують всього три координатні
поверхні.
-93-
Вони перетинаються вздовж трьох ліній
Які ми будемо називати координатними лініями.
Координатні лінії, в свою
чергу перетинаються в одній точці М
Означення .Якщо три координатні лінії є взвємно перпендикулярними в кожній точці простору, то криволінійнап систеиа координат називається ортогональною.
Поверхня
Є циліндром радіуса
,
поверхня
-площиною, яка проходить через
вісь
і
утворює кут
з площиною
поверхня
-площина,
паралельна до площини
на
віддалі
від цієї
площини.
Як видно з рис.73, три лінії
є взаємо перпендикулярними.
Подібним
чином переконуємось, що ортогональною
є і сферична система координат.
Координатними поверхнями є
-сфера радіуса
-94-
- площина що проходить через
вісь
і утворює кут
з площиною
- конус, описаний навколо осі
,
твірна якого утворює кут
з віссю
.
Як видно з рис. 74. три криві
є ортогональними.
Розглянемо криволінійний
простір, визначений координатами
тобто
поруч з точкою М, визначеною
радіусом-вектором
,
розглянемо нескінченно близьку точку
з радіусом-вектором
.
Тоді
/28.4/
порівняємо
цей вираз з формулою
І, зокрема з формулою
Де
- масштабні вектори косокутної системи,
- контраваріантні складові вкктора
.
У рівності /28.4/
ми можемо вважати контраваріантними
складовими вектора
.
Тоді
можна
інтегрувати як масштабні вектори в
криволінійній системі координат
На відміну від косокутної
системи часткові похідні
є змінними величинами, тому
-кожній точці криволінійного простору можна поставити у відповідність
-95-
косокутну систему. Визначену
масштабними векторами
.
Таку косокутну систему називають
локальною або репером.
Нарисуємо координатні поверхні
і координатні лінії, що відповідають
точці М криволінійного простору. Нехай
точка
лежить на координатній лінії
,
тоді
У нашому конкретному випадку
/ точка
знаходиться на лінії
І тому
-вектори
і
колінеарні, вектор
є дотичним до координатної лінії
.
З другого боку
Де
- довжина дуги
,
тому
вираз
називають коефіцієнтом Ламе. Враховуючи, що
одержимо
Взагалі: масштабний вектор
є дотичним до координатної осі
, його довжина дорівнює коефіцієнтові
Ламе
За аналогією з теорії косокутних координат введемо луальні вектори в криволінійному просторі. Будемо виходити з формули
-96-
Приймаючи
,
ми одержуємо
З другого боку
Порівнюючи дві останні рівності маємо
Легко переконатися, що як і для косокутних координат
дійсно
Тому що
незалежні
координати, похідна
і дорівнює символу Крон екера.
Зауважимо, що вектор
- перпендикулярний до поверхні
.
Це випливає з загальних властивостей
градієнта скалярної функції/ див, 6/
29.матричний тензор в криволінійних координатах
Повернемося до формули
І згадаємо. Що величини
є контраваріантними складовими вектора
у локальній системі координат, визначеній
масштабними векторами
.
Коваріантні складові вектора визначається
рівністю
Розкриємо скалярний добуток
в декартові системі
-97-
І врахуємо, що
Тоді
/29.1/
Введемо позначення
/29.2/
Формула /29.1/ визначає операцію опускання індекса у контраваріантного вектора
/29.3/
Отже, величини
треба інтерпретувати як коваріантні
складові метричного тензора.
Таким чином. Ми ввели коваріантний метричний тензор у криволінійному просторі.легко бачити, що /29.2/ формально збігається з означенням метричного тензора в косокутному просторі
У випадку ортогональної криволінійної системи
Приклад І. знайдемо компоненти метричного тензора для циліндричної системи координат.
Маємо
-98-
.
Приклад 2.Компоненти метричного тензора для сферичної системи координат
,
,
,
,
,
.
Нескладний підрахунок дає:
,
,
,
,
,
.
Приклад 3.
Знайдемо компоненти метричного тензора
для координат поверхні тора
Координати поверхні тора пов’язані з декартовими за допомогою таких співвідношень:
,
,
,
Приймаючи
,
,
,
маємо
-99-
,
,
,
,
,
.
Контраваріантні складові метричного тензора визначимо за формулами:
, /29.6/
тобто
. /29.7/
Як і в теорії косокутних координат, коваріантний метричний тензор зв’язаний з контраваріантним відомим співвідношенням:
. /29.8/
Справедливість цієї формули очевидна з такого ланцюга рівностей:
-100-
Зокрема, якщо криволінійна
система ортогональна
співвідношення між ко- і контраваріантними
складовими метричного тензора істотно
спрощуються. Наприклад, при
,
,
і взагалі
,
.
У випадку ортогональної
системи дуальний базис
в ортогональним подібно як і базис
.
Приймаючи в /29.8/
маємо
,
,
,
,
і взагалі
,
.
Приклад 1.Матриця контрваріантного метричного тензора для циліндричної системи координат має вигляд
,
що можна перевірити безпосередньо
,
,
,
-101-
,
,
.
Приклад 2.Для сферичної системи координат
.
Зафіксуємо точку
криволінійного простору і розглянемо
в цій точці вектор
.
Його ко- і контраваріантні складові
визначені формулами
,
,
.
Перемножуючи останню рівність
на
,
одержимо
,
і аналогічно
.
Таким чином, відомі правила опускання і піднімання індексів справедливі і в криволінійному просторі.
Нехай задане векторне поле
.
-102-
Ми можемо говорити про ко- і
контраваріантні складові вектора
в різних точках простору. При переході
від точки
до точки
складові вектора змінюються:
а) за рахунок зміни вектора при переході від однієї точки простору до іншої;
б) за рахунок зміни репера
/масштабних векторів
/.
Рис. 77
Всі формули теорії косокутних координат залишаються правильними і для криволінійних просторів тільки тоді, коли мова йде про одну і цю ж точку простору.
В розв’язуванні проблем дослідник укріплює свої сили, знаходить нові методи і нові точки зору, відкриває більш широкі і вільні горизонти.
Д.Гільберт