![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
26. Антисиметричні тензори другого рангу.
Нагадаємо, що тензор другого рангу називаємо асиметричним, якщо
-88-
/26.1/
З /26.1/ випливає, що
І матриця тензора набуває вигляду
/26.2/
- антисиметричний тензор другого рангу має три різні, відмінні від нуля компоненти.
Введемо позначення
І переконаємось, що
є
компонентами псевдовектора. Для цього
запишемо закон перетворення тензора
Тоді
/26.3/
-89-
Вирази для
знайдемо,
використовуючи правило циклічної
перестановки
/26.4/
/26.5/
У випадку перетворення інверсії
І тоді
/26.6/
- величини
дійсно
перетворюються як складові псевдовектора.
Як тільки розв’язана одна проблема,
на її місце випливають нові проблеми.
Д.Гільберт
27. Диференціальні операції над тензорами.
Розглянемо тензорне поле – випадок, коли компоненти тензора є функціями координат точки
/26.1/у
Прикладами тензорних полів є:
скалярне поле
векторне поле
тензорне поле напружень у
деформованому середовищі
/кожній
точці деформованого середовища
відповідають свої значення складових
тензора напружень/.
Розглянемо скалярне поле
і
знайдемо три часткові похідні по
координатах.
-90-
Як відомо, вони визначають
коваріантний вектор градієнта скалярної
функції. Таким чином, шляхом звичайного
диференціювання ми можемо з тензора
рангу
одержати
тензор рангу
Розглянемо тепер коваріантний вектор – функцію точки
і утворимо часткові похідні
Переконаємось, що дев ять
величин
/ми
будемо називати їх мішаними похідними/
визначають коваріантний тензор другого
рангу. При переході до нової системи
Отже,
є коваріантним тензором.
Подібним чином можна
переконатися що дев ять величин
є компонентами мішаного
тензора другого рангу. Це з рештою,
випливає і з того, що мішані похідні
/27.2/ і /27.3/ є мішаними добутками вектора
і
вектора
/
Таким чином, шляхом мішаного
диференціювання ми підвищуємо ранг
тензора на одиницю – тензора рангу
одержуємо
тензор рангу
.
Згортаючи тензор /27.3/ ми
одержимо тензор рангу
-
відомий вираз для дивергенції тензора
Різниця мішаних похідних
/27.3/
є антисиметричним тензором
другого рангу
,
який, по суті, є ротором вектора
.
Можна переконатися, що шляхом
мішаного диференціювання можна підвищити
на одиницю ранг довільного тензора.
Часткові похідні від тензора
рангу
/27.4/
-91-
є компонентами тензора рангу
.
Для цього треба вивчити трансформаційні
властивості величин /27.5/. Зокрема, похідні
визначають
коваріантний тензор третього рангу.
Згорнемо тензор
по
індексах
і
.
Очевидно,резуль –
вектор, позначимо його через
.Тоді
/27.5/
або в проекціях на координатні осі
/27.5/
Кожний з цих виразів нагадує вираз для дивергенції вектора /сума часткових похідних по координатах/, тому вектор –a називають векторною дивергенцією тензора. Рівність /27.6/ символічно можна записати
/27.5/
Векторна дивергенція тензора часто зустрічається в теоретичній фізиці /механіка деформованого середовища, електродинаміка, теорія відносності/.
Операції згортання і операції
мішаного диференціювання є, в певному
сенсі, протилежними. Перша понижує ранг
тензора на дві одиниці, друга – підвищує
ранг на одиницю. Це дає змогу побудувати
тензор будь-якого рангу, якщо заданий
тензор рангу
.
Наприклад, застосовуючи операцію мішаного диференціювання, а потім згортання
Як завжди, розв’язування однієї задачі породжує
нові. І останньої задачі ніколи не буде.
А.Смородинський