kvant_mech
.pdfУравнение Шредингера
ЛЕКЦИЯ 6
§15 Операторы импульса и кинетической энергии, гамильтониан
Теперь установим способ нахождения волновой функции
ψ(x,y,z,t) ≡ψ(r,t).
Нам известен только вид ее для свободной частицы:
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
2πi |
|
|
ψ = Aexp |
|
(p |
x + p |
y |
y + p |
z − Et) |
|
≡ Aexp |
|
(p |
|
|
|||||||||
|
h |
x |
|
z |
|
|
h |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем ее производные по координатам и времени:
∂ψ |
= − |
2πi |
или |
ih ∂ψ |
||
|
|
|
|
|||
∂t |
h |
2π ∂t |
||||
Eψ èëè Eψ = |
r − Et) .
5.1
∂ψ |
= − |
2πi |
px ψ èëè px ψ = − |
ih ∂ψ |
5.2 |
||
|
|
|
|
||||
∂xk |
|
h |
|
или |
2π ∂xk |
|
|
|
k |
k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Формулы наводят на мысль, что величинам E и pxk следу-
ет сопоставить операторы |
pˆx |
|
= − |
ih ∂ |
и |
ˆ |
ih |
|
∂ |
. Мы |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k |
2π ∂xk |
|
E = |
2π ∂t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будем операторами квантовой механики и их свойствами заниматься позднее. Пока достаточно сказать, что оператором мы называем«рецепт»,показывающий,чтонадосделатьсфункци-
ей, стоящей правее символа оператора. В нашем случае pˆxkψ означает, что Ψ нужно продифференцировать по хк, умножить
41
на –ih и поделить на 2π.
Поскольку кинетическая энергия свободно движущейся частицы есть квадратичная функция проекций импульса можно
|
|
px2 |
+ p2y + pz2 |
|
p2 |
|
записать: |
EK = |
|
|
= |
|
. |
|
2m |
|
||||
|
|
|
|
2m |
Подействуем соответствующим оператором проекции импульса второй раз
pˆx2ψ = − |
h2 ∂2ψ |
; |
pˆ y2ψ = − |
|
|
h2 |
∂2ψ ; |
pˆ z2ψ = − |
|
h2 ∂2ψ |
и, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4π2 ∂x2 |
|
|
|
|
|
4π2 ∂z2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
4π2 ∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
суммируя,получаем:pˆ |
2ψ = − |
|
|
∆ψ; |
|
∆ = |
∂ |
+ |
|
∂ |
+ |
∂ |
. |
||||||||
4π |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
Если последнюю формулу разделить на 2m, можно для Ψ получить уравнение в частных производных и ввести оператор кинетической энергии Êk:
pˆ 2 |
|
h2 |
ˆ |
, где |
ˆ |
h2 |
|
2 |
|
. 5.3 |
2m = − |
8π2m ∆ψ = Ekψ |
|
Ek = − |
8π2m ∆ = − |
2m ∆ |
|
ЕсличастицанаходитсявпотенциальномполеU(x,y,z,t),где, в общем случае потенциальная энергия может явно зависеть от времени, возникает вопрос, как обобщить уравнение (5.3)? Для свободно движущейся частицы кинетическая энергия равна полной (Ек=Е). В поле – Е=Ек + U(x,y,z,t). Мы можем записать своеобразный «закон сохранения энергии» в виде:
ˆ ˆ |
ˆ |
∂ψ |
ˆ |
2 |
∆ψ +U (x,y,z,t) ψ . 5.4 |
Eψ = Ekψ +Uψ →i |
∂t |
= Hψ = − |
2m |
||
|
|
|
|
Ĥ называется оператором полной энергии или оператором Га-
мильтона. Во втором слагаемом Ĥ потенциальную энергию можно также рассматривать как результат действия оператора
умножения U (r,t) на Ψ-функцию.
42
Уравнение (5.4) было получено Шредингером и носит его имя. Это уравнение однородное и поэтому оно определяет Ψ-функцию с точностью до постоянного множителя, который может быть и комплексным. Читатель, наверное, заметил, что предыдущее рассуждение не вывод уравнения, а некоторое наведение на путь его установления. Вывести его нельзя, как нельзя вывести 2-ой закон Ньютона и уравнения Максвелла, которые получаются обобщением опытных данных. Уравнение Шредингера "правильное" потому, что все без исключения его следствия подтверждаются экспериментом и неизменно правильно предсказывают результаты эксперимента там, где он еще не проводился.
§16 Уравнение Шредингера и принцип причинности в квантовой механике
Уравнение Шредингера является уравнением 1-го порядка по времени, это значит, что при известном потенциале U (r,t) достаточно задать ψ(r,0), чтобы найти ее продолжение через (5.4). Т.к. с квантово-механической точки зрения Ψ полностью определяет состояние частицы, мы приходим к формулировке принципа причинности в квантовой механике:
Знание силового поля U (r,t) и начального состояния ψ(r,0) однозначно определяет последующую эволюцию состояния ψ(t). Эта формулировка напоминает классическую. Разница в том, что само понятие «состояния» определяется только статистически, вероятностно, через функцию ψ(r,t), а не классически с помощью координат и скоростей или импульсов.
Рассмотрим некоторые следствия уравнения Шредингера.
43
§17 Плотность и ток вероятности
По интерпретации Борна плотность вероятности ρ нахождения частицы вблизи точки с координатами x, y, z, в момент времени t пропорциональна |Ψ| 2 Ψ*Ψ. Здесь мы будем считать, чтоρ=Ψ*Ψ,т.к.постоянныйкоэффициентздесьнебудетсущественным, и мы найдем его позже из физических соображений. Будем исходить из известного в классической физике уравне-
ния неразрывности:∂∂ρt +div j = 0, которое, в данном случае,
выражает закон сохранения полной вероятности: ∫∫∫ρdV =1,
а вектор j можно трактовать как плотность тока вероятности.
Его величина задает вероятность того, что частица за единицу времени пройдет через единичную площадку, перпен-
дикулярную вектору j , а его направление определяет наиболее вероятное направление движения частицы в данной точке в
данный момент времени t. Для определения |
j имеем: |
|
||||||||
div |
j = − |
∂ρ |
= − |
∂ |
(ψ *ψ) = − |
∂ψ *ψ −ψ * |
∂ψ . |
5.5 |
||
∂t |
∂t |
|||||||||
|
|
|
|
∂t |
|
∂t |
|
Воспользуемся сопряженным уравнением Шредингера:
|
−i |
∂ψ * |
= − |
2 |
|
∆ψ *−U (x,y,z,t) ψ * |
|
||||
|
∂t |
2m |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и подставив значения |
∂ψ и |
∂ψ * |
в (5.5), получим: |
|
|||||||
|
i |
|
|
|
∂t |
∂t |
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ), |
|||
div j = |
|
(ψ∆ψ |
*−ψ*∆ψ) = |
|
div(ψ ψ*−ψ* |
||||||
|
|
||||||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
здесь мы использовали, что ∆=div grad.
Простейшее допущение совместимое с этой формулойj = 2im (ψ gradψ*−ψ*gradψ), которое мы примем за опреде-
ление вектора j .
Если волновая функция вещественна, Ψ=Ψ*, то j =0. Это означает, что вещественные Ψ-функции описывают только специальные бесстоковые состояния частицы ("стоячие волны").
§18 Требования к волновым функциям
* |
|
|
|
|
ih |
|
||
Т.к. ρ=Ψ |
Ψ |
и |
j |
|
|
|
имеют фи- |
|
= |
2m (ψ gradψ*−ψ*gradψ) |
|||||||
|
|
|
|
зический смысл плотности и плотности тока вероятности, то
ψ(r,t) и ее производные должны удовлетворять очевидным математическим требованиям.
1.Быть везде непрерывными и однозначными;
2.Оставаться везде конечными, включая область r → ∞, если она достижима в данной задаче;
3.И, наконец, удовлетворять условию нормировки: .
∫ ∞∫ ∫ψ *ψdV =1
−∞
Все эти требования вытекают из естественных ограничений, связанных с интерпретацией произведения ΨΨ* как плотности вероятности. Например, третье требование означает, что вероятность найти частицу во всей области существования равна единице, т.е. рассматриваемая частица вообще существует, присутствует.
45
ЛЕКЦИЯ 7
§19 Стационарные состояния. Одномерные задачи
Пусть потенциальное поле не зависит от времени (стационарно) U =U (x,y,z). В этом случае уравнение Шредингера допускает разделение переменных пространственных x,y,z и времени t. Действительно, представим волновую функцию в виде:Ψ=f (t) Ψ0(x, y, z), подставим это выражение в уравнение Шредингера и разделим обе части на Ψ.
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
Hψ0 |
|
|
Уравнение приобретает вид: |
i |
f |
= |
, т.к. левая часть |
|
|
|
f |
|
ψ0 |
этого уравнения зависит только от времени, а правая – только от координат, то обе должны быть равны одной и той же постоянной Е, имеющей размерность энергии. В итоге получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hψ0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнения: |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.1 |
||
|
|
i |
f |
|
= E |
= ψ0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
6.2 |
|
|
Hψ = Eψ |
|
= |
|
− |
|
|
∆ +U (x,y,z) ψ |
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Решение (6.1) имеет вид: f (t) = e− |
|
Et |
(постоянный множи- |
|||||||||||||||
|
тель оставляем в Ψ0). Сравнивая с волной де Бройля, видим, что постоянная, действительно, должна представлять энергию частицы. Это подтверждается видом уравнения (6.2), в котором в левой части стоит оператор Гамильтона (полной энергии частицы).
46
− i Et
Решения вида: ψ = e ψ0(x,y,z) определяют так называемые стационарные состояния. Легко видеть, что в таких состояниях и вероятность и плотность тока веро-
ятности не зависят |
от времени, поскольку произведение |
||||
|
i |
|
i |
||
f *(t) f (t) = e |
|
Et e− |
|
Et =1. |
|
|
|
Уравнение Hˆψ0 = Eψ0 называется уравнением Шрединге-
ра для стационарных состояний в отличие от временнóго (5.6). В дальнейшем (за исключением теории излучения) мы будем иметь дело, главным образом, с этим уравнением и Ψ0 обозначатьпростоΨ,незабывая,когданужноумножатьнавременнýю экспоненту.
В случае, если волновая функция зависит только от одной координаты уравнение Шредингера принимает вид:
− |
2 d 2ψ |
+U (x,y,z)ψ = Eψ или ψ′′+ |
2m |
(E −U )ψ = 0 |
6.3 |
|
2m |
dx2 |
2 |
Это уравнение является однородным уравнением второго порядка, хорошо известно. Его решениями при E>U является
суперпозиция гармонических функций ψ = Aeikx + Be−ikx ,
|
|
|
|
||
где k = |
2m |
(E −U ) (тип А), а при U>E суперпозиция экс- |
|||
|
2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
понент с действительным показателем ψ = Ceλx + De−λx , где
|
|
|
|
||
λ = |
2m |
(U − E) (тип Б). Константы при экспонентах опре- |
|||
|
2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
деляются в каждой задаче из конкретных граничных условий.
47
Рассмотрение более простых одномерных задач полезно т.к. уравнение Шредингера допускает разделение переменных, в декартовых координатах это бывает тогда, когда
U =U1(x)+U2 (y)+U3(z), но нам придется иметь дело и с разделением переменных в сферических координатах.
§20 Теорема о связи характера движения со спектром энергии
Докажем одну весьма общую теорему о связи между характером движения частицы и ее энергетическим спектром, имеющуюфундаментальноезначение.Пустьпотенциальнаяэнергия U имеет самый общий вид функции с горбами и впадинами, на обеих «бесконечностях» асимптотически приближающих-
ся к постоянным величинам U1 и U2 так, что U1 |
= limU (x) и |
|
U2 |
= limU (x). Допустим, что U2 U1. |
x→−∞ |
|
||
|
x→∞ |
|
С точки зрения классической механики характер движения частицы при больших |х| зависит от Е. Если Е>Ui (i=1,2), то частица может удаляться сколь угодно далеко. Движение инфинитно. Если же Е<Ui, то движение ограничено точками поворота (х1 или х2) и в данном направлении является финитным.
Дляквантовоймеханики,какивклассике,возможныразлич-
ные случаи:
1. Пусть при х → - , U(x)→U1 и Е>U1. В этом случае, при больших отрицательных х решение уравнения Шредингера имеет вид типа А, состоит из двух линейно независимых реше-
|
|
|
|
|
|
ний ψ = Aeik1x + Be−ik1x , k1 = |
2m |
(E −U1), которые являют- |
|||
2 |
|||||
|
|
|
|
||
ся ограниченными, поскольку |
e±ik1x |
=1, и (вместе с времен- |
48
ным множителем) при любых х изображают волну, движущуюся в положительном и отрицательном направлениях оси ОХ неограниченно.
2. Если Е<U1, мы имеем решение типа Б: ψ = Ceλ1x + De−λ1x ,
|
|
|
|
|
|
где λ = |
2m (U |
1 |
− E), одно из решений |
eλ1x неограниченно |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
убывает при х → - , а другое e−λ1x неограниченно возрастает.
3. В другом направлении, при х → , U(x)→U2 все заклю-
чения п.п. 1 и 2 будут аналогичными как для Е>U2, так и для Е<U2, нужно только заменить в соответствующих формулах индекс «1» на «2» и не забыть, что во втором случае неограниченно нарастать по амплитуде будет волна eλ2x .
Выводы:
1.При Е>Ui решения в виде прямой и обратной волн остаются конечными и инфинитными в соответствующих направлениях и, в этом смысле, совпадают с классическими представлениями.
2.При Е<Ui неограниченно возрастающие решения нужно отбросить, как не имеющие физического смысла. Затухающие решения означают, что возможно проникновение частиц в классически недоступную область. Поскольку
ρψ 2 e−2λi x → 0, вероятность найти частицу убывает в е
раз на глубине |x|=1/2λi.
Мыобсудилиповедениеприближенныхрешенийприx →± , перейдем теперь к точным решениям.
Как любое дифференциальное уравнение второго порядка
49
уравнение Шредингера имеет два линейно независимых решения, будем обозначать их ϕ1 и ϕ2. Общее решение задается ли-
нейной комбинацией:
Ψ=ϕ1(x)+Aϕ2(x).
Поскольку уравнение однородное, то решения определены с точностьюдопостоянногомножителяикоэффициентприϕ1(x) можно положить равным единице.
Рассмотрим теперь три области значений энергии.
1. Е<U2<U1. Выберем решения для ϕ1 и ϕ2 так чтобы они на – вели себя соответственно этому условию. Тогда в этой области
ψ ≈ eik1x + Ae−ik1x . |
9.9 |
Первое слагаемое играет роль волны, падающей на область потенциала слева, а вторая отраженной волны. Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить Ψ на временной множитель, тогда аргумент у первой экспоненты будет иметь вид разности координатного и временнóго члена – волна идет в сторону возрастающих x, а у второй экспоненты – суммы – волна направлена в сторону уменьшения x. А играет роль своеобразного «коэффициента отражения».
При х → + ϕ1 и ϕ2 изменятся и перейдут во вполне опре-
деленные линейные комбинации функций eik2x и e−ik2x , являющихся приближенными решениями при х → + , и функции ϕi будут иметь вид:
ϕ1(x) = a1(E)eik2x +b1(E)e−ik2x и |
|
|||
ϕ |
2 |
(x) = a (E)eik2x +b (E)e−ik2x . |
9.10 |
|
|
2 |
2 |
|
Коэффициенты, если задан потенциал U(x), являются однозначно определяемыми функциями энергии. Подставляя (9.10)
в (9.9), имеем:
50