kvant_mech

решениемэтогоуравненияидажеприводитьявныйвид Plm (θ) ввиду его громоздкости, а ограничимся тем, что чуть ниже приведем некоторые их свойства при первых значениях l и m.

Подведем итоги решения задачи о моменте импульса: lz=mħ; m = –l, –l+1, –l+2, …, –1, 0, 1, 2,…, l–1;

l 2 = 2l(l +1), l = 0,1, 2,...; Y (θ,ϕ) = APlm (θ)eimϕ .

Коэффициент А должен быть определен из условия нормировки:

∫Y (θ,ϕ)2dΩ =1,

где dΩ = sinθdθdϕ – элемент телесного угла.

§37 Пространственное квантование. Угловые диаграммы

Рассмотрим теперь несколько волновых функций, соответ-

ствующих собственнымзначениямоператоров lˆz и lˆ2 при наименьших значениях l

Ylm (θ,ϕ) = APlm (θ)eimϕ .

Состояния с разными l принято обозначать буквами: l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

s, p, d, f, g, h, k, l,…

Угловые распределения вероятности принято изображать с помощью угловых диаграмм или диаграмм направленности. В направлении θ откладывается вектор, длина которого пропор-

циональна Ylm (θ,ϕ)2 = Plm (θ)2 .

1). s-состояние. l=0, m=0; lx=ly=lz=0 и l 2 = 0.

101

Физически очевидно, что s-состояние сферически симметрично ввиду равенства нулю момента импульса и, естествен-

но, всех его компонент. Ylm (θ,ϕ) не зависит от углов,

Y0,0 2 = 41π .

Угловая диаграмма – окружность или сфера в трехмерном пространстве (вращение окружности вокруг оси OZ). S-состояние – единственное, в котором все три проекции момента импульса имеют определенное значение, несмотря на то,

что lˆx , lˆy , lˆz не коммутируют. Это не противоречит доказан-

ной теореме поскольку соотношение коммутации при нулевых компонентах выполняется.

2).p-состояние. l=1, m=–1,0,1;lz=–ħ,0,+ħи l 2 = 2 2 .Со-

стояние трехкратно вырождено, (lz имеет три возможных значения).

Решая уравнение (19.15), можно показать, что функции Plm (θ) = P1m (θ) дают следующие зависимости вероятности от угла θ, отсчитываемого от положительного направления оси

Распределения вероятности и векторная диаграмма для этих функций приведены на рис.1.

102

В отличие от классической механики, lz может иметь лишь дискретные,кратныеħзначения:–ħ,0,ħи,следовательно,век- тор l может образовывать с осью OZ только дискретные углы θ= 45º, 90º и 135º. Т.к. lx и ly при этом не определены, то l

может лежать где угодно на поверхности конусов. Это явление называетсяпространственнымквантованиемиимеетместодля любых состояний, кроме s-состояния.

3). d-состояние. l=2; m= –2, –1, 0, 1,2; lz= –2ħ, –ħ, 0, +ħ, +2

и l 2 = 6 2 . Состояние 5-ти кратно вырождено, (lz имеет пять возможных значений). Функции Plm (θ) = P2m (θ) имеют вид:

Распределения вероятности и векторные диаграммы для этих функций приведены на рисунках. Полезно заметить, что

с ростом l углы между конусами, на которых лежит вектор l , становятся меньше, а с ростом т убывают радиусы основания конусов, поэтому при больших l и m углы между возможны-

ми направлениями вектора l становятся малыми, и пространственное квантование становится все менее существенным, l все более «классическим».

103

Рис. 18 Пространственное квантование в случае d- состояния

Здесь мы имеем дело с еще одним проявлением принципа соответствия: при m, равном своему максимальному значению, «лепестки» угловой диаграммы при больших l становятся очень узкими, а тело вращения, которое из нее получается, все более приближается к плоскости XOY. Это совпадает с теорией орбит по Бору-Зоммерфельду при m=l. С такой же ситуацией мы сталкиваемся при m≤ l и больших l, когда тела вращения квантово-механических угловых диаграмм, получающихся в результате вращения вокруг оси OZ, приближаются к конусу орбит по теории Бора-Зоммерфельда.

104

ЛЕКЦИЯ 14

§37 Уравнение Шредингера для частицы в центральном поле. Разделение переменных

Запишем полный гамильтониан в частицы в центральном поле:

Момент импульса сохраняется, поэтому этот оператор коммутирует с lˆz и lˆ2 и, следовательно существуют состояния, в ко-

торых lz , l 2 и энергия Е имеют одновременно определенные значения, а уравнение Шредингера

может быть решено с помощью разделения переменных. По-

ложим ψ(r,θ,ϕ) = R(r) Ylm (θ,ϕ), подставив в (20.2), разделим обе части уравнения на Ψ и умножим на r2. Оставляя в левой части уравнения только энергию и функции радиуса, получаем:

Левая часть функция только радиуса, а правая – только углов, поэтому каждая часть равна постоянной величине. Более того, отношение функций в правой части, как мы уже знаем, равно l(l+1). Следовательно, уравнение длярадиальной функции при-

105

нимает вид:

Напомним: полная волновая функция ψ(r,θ,ϕ) = R(r) Plm (θ) eimϕ описывает состояния, в которых lz , l 2 и Е имеют определенные значения. Физическая

информация, содержащаяся в ψ(r,θ,ϕ), заключается в том, что квадрат модуля Ψ, умноженный на элемент объема dV, дает вероятность нахождения электрона в этом объеме:

ψ(r,θ,ϕ)2 dV = ψ(r,θ,ϕ)2 dr dΩ = dW (r,θ,ϕ),

dΩ = sinθdθ dϕ , конечно, в случае финитного движения,

когдаψ(r,θ,ϕ) нормирована. Распределение вероятности обладает осевой симметрией и не зависит от угла ϕ, поскольку

Интегрируяпоϕ,получим: dW (r,θ) = 2π ψ(r,θ)2 sinθdθ dr . Если нас интересует распределение вероятности только

2ππ∫ Plm (θ)2 sinθdθ =1. Поскольку в уравнение для Plm (θ)

0

мнимая единица не входит, функции Plm (θ) могут быть выбранывещественными.Фактическипосоображениямматематиче-

106

ского удобства в постоянный нормирующий множитель у некоторых Ylm (θ,ϕ) может вводиться мнимая единица.

Наоборот,еслимыинтересуемсятолькорадиальнымраспределениемвероятностей,тодлявероятностинахожденияэлектрона в шаровом слое между r и r+dr (под каким угодно углом θ ),

интегрируем dW (r,θ) по θ и находим: dW (r) = R(r)2 r2dr . Функция R(r) может быть выбрана вещественной, т.к. в уравнение для нее (20.5) мнимая единица не входит.

§38 Уравнение Шредингера для радиальной функции водородоподобного атома

Уравнение для радиальной компоненты волновой функции имеет вид:

Удобно ввести вспомогательную функцию Φ(r) = rR(r), которую для краткости мы в дальнейшем также будем называть радиальной волновой функцией, тогда уравнение для нее при-

Уравнение имеет вид одномерного уравнения Шредингера на интервале 0 ≤r≤ ∞, при чем Φ(0)=0, а роль потенциальной энергии играет

Uэффýô ô (r) =U (r)+ 2lm(l +r21).

2 e

107

l 2

Второе слагаемое в правой части, равное 2mer2 (ср. с задачей

Кеплера), представляет собой, как и в классике, «центробежную» энергию – кинетическую энергию, связанную с вращени-

ем вокруг центра. В кулоновском поле U (r) = − Zer 2 уравне-

ние для радиальной функции имеет вид:

с граничными условиями Φ(0)= Φ( )=0.

График эффективной потенциальной энергии для;l=0 и l≠0 выглядит так, как указано на рисунке. Из вида этого графика ясно, что движение финитно, когда Е<0 (связанный электрон) и инфинитно при Е 0 (рассеяние электрона на ядре).

Uефф

r2

-1/r r

Рис. 19 Эффективный потенциал кеплеровой задачи для радиального движения

108

§39 Отыскание собственных функций и собственных значений. Уровни энергии

Ограничимся случаем Е<0 и представим уравнение Шредингера в виде:

Введем, как и ранее, вспомогательные операторы, определяемые формулами:

pˆl = drd + l +r 1− 2(lα+1) и qˆl = drd − l +r 1+ 2(lα+1).

Можно показать, что верны следующие соотношения:

двух формул уравнение Шредингера может быть записано в двух видах:

Можно показать, что собственные значения λl имеют точ-

109

грированием по частям и, пользуясь тем, что внеинтегральные члены равны нулю т.к. Φl(0)=Φl(∞)=0, можно получить,

00

равенству в этой формуле. В самом деле, пусть интеграл равен

соответствующаяэтомусобственномузначению,ееможнонайти, расшифровывая,оператор qˆl .

Для того, чтобы найти остальные собственные значения и функции, покажем, что pˆl является повышающим оператором. Введем Φl(1) = pˆl Φl(0)+1, подставляя эту функцию во второе мо-

110