III. Поверхности второго порядка
Исследовав методом сечений, определить вид поверхности второго порядка, заданной уравнением:
а) 5х2 – 3у2 + 3z2 = 1, б) х2 – 5у2 + 8z2 = –1, в) – 8х2 – 2у2 + 5z2 = – 1,
г) 5х2 – 3у2 – 3z2 = 0, д) 9х2 + 4z2 = 7у, е) – 3у2 + 2z2 = –5х,
ж) – 3у2 + 3z2 = 1, з) – 7х2 – 3 у2 – 5z2 = – 1, и) 3у + 7z2 = 0.
Найти уравнение прямолинейных образующих однополостного гиперболоида х2 + 9у2 – z2 = 9, проходящих через точку А(3,
,
– 1).Написать уравнения прямолинейной образующей поверхности х2 + у2 = 1, проходящей через точку (0, – 2,3).
Написать уравнения той прямолинейной образующей поверхности х2 + у2 – z2 = 0, которая проходит через точку (1, 1, –1).
Написать уравнения тех прямолинейных образующих гиперболического параболоида
,
которые
параллельны плоскости 6х
+ 4у
– 8z
+ 1 = 0.
IV. Преобразования плоскости
На плоскости даны две точка А и А, прямая d. Построить образ прямой d при параллельном переносе, при котором А → А.
На плоскости даны точка М и три прямые а, а и с, причем прямые а и с не параллельны и а││а. Построить образ точки М при параллельном переносе, при котором а → а, с→ с.
Найти координаты образа точки М(2, 6) при параллельном переносе, при котором А(1, – 1) → А(5, – 4).
На плоскости даны точка О, две непараллельные прямые d и d, равноудаленные от точки О. Построить образ данной точки М при повороте вокруг точки О, при котором прямая d переходит в прямую d.
Даны две равные окружности (О1, r) и (О2, r).Построить точку при повороте вокруг которой на угол 90° первая окружность переходит во вторую.
Составить формулы поворота вокруг точки (1, – 1) на угол – 90°.
Найти координаты образа точки М(0,0) при повороте с центром А(1,1) на угол 45°.
Даны две точка А и А’ и прямая d. Построить образ прямой d при осевой симметрии, при которой точка А переходит в точку А’.
Найти уравнения всех инвариантных прямых осевой симметрии, при которой окружность (х – 2)2 + (у – 3 )2 = 2 переходит в окружность (х + 4)2 + (у – 5)2 = 2.
Доказать, что формулы а) х' = х, у' = – у +6; б) х' = – х – 2, y' = y +1; в) x' = у – 1, у' = х+1 задают движение. Определить вид этого движения и найти элементы, его задающие. Найти образ прямой 2х+3у– 5=0 при этом движении.
Составить формулы движения первого рода, при котором прямая x – y = 0 является образом прямой x – y – 4=0, а точка А(2, 0) инвариантна.
Найти уравнение прообраза прямой 2х – 5у + 1=0 при гомотетии, зная, что точки A'(0,10) и B'(5, 0) являются образами точек А(1, 1) и В(0, 3).
Найти координаты прообраза точки (–1, 8) при гомотетии с центром (1, –5), переводящей точку (0,0) в точку (–4, 20).
Найти уравнение прообраза прямой 3х – 5у + 3=0 при гомотетии, зная, что точки А' (–2, 5) и В' (3, –5) являются образами точек А(3, –1) и В(2,1).
Определить, какие из данных формул являются формулами подобия 1) х' = 3х – 5у + 1 2) х' = ½ х + 1
у' = 5х + 3у – 7, у' = ½ у + 9,
3) х' = 6х + 4у – 7 4) х' = 8у + 3
у = 4х + 6у – 9, у' = 8х – 1.
На плоскости даны два треугольника. Существует ли аффинное преобразование, при котором первый треугольник переходит во второй треугольник? Сколько таких аффинных преобразований существует?
Дана ось косого сжатия d, точка М, не лежащая на оси, и её образ точка М'. Построить прообраз данной точки А, не лежащей на оси.
Дана ось сдвига d, точка М, не лежащая на оси, и её образ точка М'. Построить образ и прообраз данной точки А, не лежащей на оси.
Доказать, что формулы х' =2х – 3у + 2, у' = 2х – 5у + 4 задают родство. Написать уравнение оси родства, определить вид родства и найти уравнение какой-нибудь инвариантной прямой, отличной от оси.
Составить формулы перспективно-аффинного преобразования плоскости с осью 3х – у + 1 = 0, при котором М(1, 3) переходит в точку М'(3,4). Определить вид этого перспективно-аффинного преобразования.
Указать среди данных перспективно аффинных преобразований сдвиги и косые сжатия.
1) х' = 4х + 3у –12 2) х' = 2х – 3у + 6
у' = – 3х – 2у + 12, у' = х – 2у + 6,
3) х' = 2х – 3у – 1 4) х' = 5х – 8у + 4
y' = 2х – 5у – 2, у' = 2х – 3у + 2.