Задачи и упражнения к главе 2. Элементарные преобразования матриц

Краткие теоретические сведения. Сложение, вычитание и умножение строк и столбцов осуществляется поэлеметно:

Строка называется нулевой.

Элементарные преобразования строк матрицы:

I-го типа: перестановка двух строк местами.

II-го типа: прибавление -ой строке матрицы её-ой строки, умноженной на число (запись);

III-го типа: умножение -ой строки на ненулевое число (запись);

Первое ненулевое число строки назовем её лидером. Лидеры строк матрицы подчеркнуты. Лидер третьей строки расположен в 4-ом столбце.

Матрицу называют ступенчатой, если

1) нулевые строки расположены ниже всех остальных;

для каждой ненулевой строки

2) лидер следующей строки расположен правее лидера данной строки. "Правее" означает в столбце с большим номером.

Всякую матрицу конечным числом элементарных преобразований строк можно превратить в ступенчатую матрицу.

В простейшем случае схема приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований строк имеет следующий вид:

2.1. При помощи элементарных преобразований строк преобразовать матрицусначала к ступенчатому виду, а затем к приведённому ступенчатому виду.

2.2. Приведите матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) ; 8) .

2.3. Элементарными преобразованиями строк приведите матрицы из предыдущей задачи к приведённому ступенчатому виду.

2.4. Используя элементарные преобразования строк и столбцов привести определитель к ступенчатому виду и вычислить его:

2.5. Используя пропорции докажите, что следующие четыре условия на матрицу размера равносильны:

1)

2) существуют ненулевой столбец ненулевая строка () такие, что ()

3) все строки матрицы пропорциональны друг другу;

4) все столбцы матрицы пропорциональны друг другу.

2.6. Найти ранг матрицы:

а) б) в) г)

д) е) ж)

з) и) к)

л) м) н)

2.7. Покажите что, приписывание к матрице одной строки или одного столбца или не меняет её ранга, или увеличивает его на 1.

2.8. Вычислить ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

2.9. Найти ранги матриц, приведением к ступенчатому виду:

1) . 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9)

10) 11) ;

12) ; 13) ;

14) ; 15) .

2.10. Найти числаи, такие, что.

2.11.Определить, являются ли данные векторы линейно независимыми:

а) б)

в) г)

д) е)

2.12. Найти базу (базис) и ранг системы векторов, представить небазисные векторы в виде линейных комбинаций базисных векторов:

1) .

2) .

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

2.13. Привести матрицу к приведённому ступенчатому виду. Найти базис системы строк матрицы. Найти её ранг. Найти базис системы столбцов и выразить небазисные столбцы через базисные.

а) , б), в),

д) , е), ж), ж). з)и), к),

л) , м),

2.14. Найти обратную матрицу по данной матрице :

1) 2) 3) 4)

5)

2.15. Вычислить матрицу, обратную к данной матрице.

2.16. Вычислить обратную матрицупо формуле обратной матрицы:

а). .б). .в). .

г). .д). е). .

Вычисление обратной матрицы можно также осуществить с помощью элементарных преобразований строк:

.

2.17. Вычислить обратную матрицудля данной матрицыс помощью элементарных преобразований строк. В конце решения сделать проверку:

а) ; б);

в) г)=; д)=

2.18. Найти с помощью элементарных преобразований матрицу обратную данной:

2.19.Вычислить матрицу обратную данной.

1. . 2.. 3..

4. . 5.. 6..

7. . 8.. 9..

10. . 11.. 12..

13. . 14.. 15..

16. . 17.. 18..

19. . 20.. 21..

22. 23.. 24..

25. . 26.. 27..

28. . 29..

2.20.С помощью обратной матрицы решить матричные уравнения:

а) ;

б) ;

в)

г)

д)

е) .

2.21.Найти общее решение матричного уравнения

.

Ответы на задачи к главе 2