1.2. Построение пути на графе

В основе алгоритмов (табл. 1.1) построения кратчайшего пути [s, t] между источником s и стоком t в ориентированном графе G = (X, U) лежат процедуры вычисления некоторых пометок (x_i), приписываемых вершинам x_j  X. Значения (x_i), представляют собой верхние ограничения на длины путей [s, x_j] от s до всех x_j, которые могут уменьшаться в процессе итерационных вычислений. Величина (x_i) изменяется каждый раз при выполнении условия

(x_i) + l(x_i, x_j) < (x_j), (1.1)

где l(x_i, x_j) - длина дуги (x_i, x_j)  U. Новое значение пометки определяется как

(x_j) = (x_i) + l(x_i, x_j).

Процесс прерывается, если ни одно из ограничений (x_j) не может быть улучшено. Окончательное значение пометки ^*(x_j) показывает истинное значение длины кратчайшего пути [s, x_j].

Таким образом, чтобы определить длину пути [s, t], необходимо вычислить расстояния от s до всех вершин графа. При этом не существует алгоритма определения расстояния от источника s до стока t, который был бы более эффективным и не требовал вычислений длин путей [s, x_j] до всех вершин x_j  X \ s [6]. Методы вычисления значений ^(x_j) для основных алгоритмов поиска кратчайшего пути на графе представлены в следующих разделах.

Построение пути на графе (т. е. определение последовательности вершин или дуг) по известным значениям ^(x_j) может быть выполнено двумя способами. Пусть дуга (x_i, x_j)  U лежит на кратчайшем пути [s, t], т. е. (x_i, x_j)  [s, t]. Тогда для вершин x_i и x_j должно быть справедливым соотношение

^(x_j) = ^(x_i) + l(x_i, x_j) (1.2)

Первый способ построения кратчайшего пути основан на систематической проверке условия (1.2). Здесь последовательность вершин графа, составляющих кратчайший путь [s, t], определяется в обратном порядке, начиная от стока t. В частности, для пути

[s, t] =(s, x⁽¹⁾, x⁽²⁾, …, x^(k), t) (1.3)

можно найти вершину x^(k)  Г^-1(t), удовлетворяющую условию

^(x^(k)) = ^(t) - l(x^(k), t).

Затем определяется вершина x^(k-1) Г^-1(x^(k)), для которой

^(x^(k-1)) = ^(x^(k)) - l(x^(k-1), x^(k)).

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнут источник s.

Второй способ построения пути предполагает неявное использование соотношения (1.2), когда уже при вычислении каждого значения (x_j) указывается вершина, из которой ведет путь в x_j, уменьшающий величину (x_j). В этом случае пометка любой вершины графа состоит из двух частей и имеет вид [(x_j), m_j], где m_j - вершина, из которой помечена x_j.

Значение m_j изменяется одновременно с (x_j), т. е. если справедливо условие (1.1), то m_j = x_i. Окончательно, для пути [s, t] вида (1.3) вершина x^(k) определяется условием x^(k) = m_t в соответствии с пометкой стока [^(t), m_t]. На следующую вершину x^(k-1) = m_k указывает пометка ^(x^(k)), m_k] и т.д.

У П Р А Ж Н Е Н И Я

1.9. Что показывают пометки, приписываемые вершинам графа в алгоритмах поиска кратчайшего пути?

1.10. Как используются значения пометок вершин для построения кратчайшего пути на графе?

1.11. Можно ли построить путь [s, t], начиная от источника s?

1.12. Разработать подпрограмму построения кратчайшего пути в ориентированном графе по известным значениям пометок ^(x_j). Длины дуг l(x_i, x_j) и структура графа G = (X, U) задается матрицей весов D = _nn, где d_ij = l(x_i, x_j) при (x_i, x_j)  U и d_ij =  при (x_i, x_j)  U.

1.13. Реализовать рекурсивный вариант подпрограммы построения пути [s, t] по условиям предыдущего задания.

1.14. Построить кратчайшие пути [x_i, x_j], , для графа, показанного на рис. 1.4. Значения ^(x_j) пометок вершин x_j  X приведены в упражнении 1.23.