40

Таким образом, с математической точки зрения задача об изгибе консольно защемлëнного стержня сводится к задаче Коши (2.2), (2.3), а задача об изгибе шарнирноëопртого стержня – к краевой задаче (2.2), (2.4).

2.1.Интегрирование дифференциальных уравнений n – го порядка методом понижения порядка

Если правая часть уравнения (2.1) является известной непрерывной функцией f (x) только одной переменной x или не со-

держит искомую функцию y: f (x,y′,y′′, ,y(n−1) ), или не содер-

жит явно независимую переменную x: f (y,y′,y′′, ,y(n−1) ), то для

решения уравнения (2.1) может быть применëн метод понижения порядка.

1. y(n) (x) = f (x). (2.5)

Это простейшее уравнение n -го порядка, общее решение которого получается в квадратурах последовательным интегрированием n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная:

y(n−1) = ∫ f (x)dx +C1,

y(n−2) = ∫dx∫ f (x)dx +C1x +C2,

………………………………………….

В результате общее решение уравнения будет иметь вид

гочлен (n-1)-ой степени от x, коэффициентами которого являются

41

Пример. Найти максимальный прогиб шарнирно опëртого стержня при действии на него равномерно распределëнной поп е- речной нагрузки интенсивности q(x) = q0 (см. рис. 5б).

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении стержня с абсциссой x. равен алгебраической сумме моментов сил, действующих по одну сторону от сечения:

M (x) = q20l x − q02x2 ,

где первое слагаемое – момент от опорной реакции, а второе – момент от равномерно распределëнной поперечной нагрузки. Поэтому уравнение изгиба стержня (2.2) примет вид

Это уравнение относится к типу уравнений (2.5). Интегрируя его дважды, получим общее решение в виде

Произвольные постоянные находим из граничных условий (2.4):

Максимальный прогиб стержня при действии равномерно

Уравнение (2.8) не содержит искомой функции y(x).

Рассмотрим процедуру интегрирования уравнения данного типа на примере уравнения второго порядка

Интегрируя уравнение (2.12), находим его общий интеграл в

виде

где С1 - произвольная постоянная. Далее в (2.13) заменяем левую

часть согласно (2.10). и вновь получаем уравнение первого порядка относительно искомой функции y:

Интегрируя уравнение (2.14), находим общее решение исходного уравнения (2.9) в виде

Замечание. Если уравнение (2.9) не содержит ни искомой функции y, ни её производных до ( k- 1) - го порядка включительно, то есть имеет вид

y(n) = f (x, y(k ), y(k +1), , y(n−1) ),

то его порядок может быть понижен сразу на k единиц подстановкой

y(k ) = z(x).

получаем линейное неоднородное уравнение первого порядка

43

x3 z′+ x2z =1

Интегрируем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

Разделяем в нëм переменные:

dzz = −dxx .

После интегрирования получим

ln z = −ln x + lnC1 = ln Cx1 .

Следовательно, общее решение уравнения (2.18) будет

Далее ищем решение уравнения (2.17) в форме, аналогичной по структуре выражению (2.19), но произвольную постоянную в (2.19) заменяем неизвестной функцией v(x):

dv(x) = dxx2 .

Интегрируя это уравнение, находим v(x) = −1/ x +C1. Поэтому согласно (2.20) имеем

44

Заменяя в выражении (2.21) z по формуле (2.16), приходим к уравнению третьего порядка относительно искомой функции y(x):

функцию от x и относится к первому из рассмотренных нами типов (см. (2.5)). Интегрируя его последовательно три раза, окончательно получим общее решение исходного уравнения, содержащее 4 произвольных постоянных :

Это уравнение не содержит явно независимой переменной x. В частном случае уравнение второго порядка данного типа будет

Тогда по правилу вычисления производной от сложной функции

Поэтому уравнение (2.24) приводится к уравнению первого порядка относительно функции z(y):

Интегрируя уравнение (2.27), находим его общее решение в виде

где C1 - произвольная постоянная. Далее в (2.28) заменяем левую часть согласно (2.25) и вновь приходим к уравнению первого по-

45

рядка с разделяющимися переменными относительно искомой

Интегрируя уравнение (2.29), окончательно получим общий интеграл исходного уравнения (2.24) в виде

Уравнение не содержит явно независимой переменной x и потому относится к третьему из перечисленных типов. Принимаем y′(x) = z(y), тогда с учетом (2.26) получим уравнение первого

порядка с разделяющимися переменными

16y3 z dydz = 4 y4 −1.

Приводим его к виду zdz = 4 y4 −3 1 dy. Интегрируя, получим

16y

откуда получим 2 = ±2+8C1 , C1 = 14 . Подставляя C1 в (2.31), приходим к уравнению

этом не удовлетворяются начальные условия).

интегрирования получим ln(2y2 +1) = x +ln C2, 2y2 +1 = C2ex . Из первого начального условия находим C2 = 2.

В результате решение задачи Коши запишется в виде y = ex − 12.

минус отброшен, так как при этом не удовлетворяются начальные условия).

Используя начальные условия, находим C1 = 0. Поэтому y′ = y2 , и уравнение легко интегрируется: − 1y = x +C2. Далее из первого

начального условия находим C2 = −1. Поэтому решение задачи Коши запишется в виде

y =1−1 x .

Замечание. При решении задачи Коши часто целесообразно (как в приведëнных примерах) определять значения произвол ь- ных постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения исходного уравнения, так как при произвольных значениях C1,C2,...интегрирование может оказаться весьма слож-

ным, а то и вообще невозможным. Действительно, например, в последней задаче решение уравнения y′ = y4 +C1 приводит по-