9

при одном частном значении произвольной постоянной.

Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти его общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида

содержащее решение y в неявной форме. Такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Частным интегралом называется соотношение, которое получается из общего интеграла при конкретном значении произвольной постоянной.

Как известно, уравнение произвольной кривой на плоскости записывается в виде f (x, y) = 0. Сравнивая это соотношение с

выражением для общего интеграла (1.6), легко заключить, что при различных конкретных значениях C будем получать различные интегральные кривые. Поэтому геометрически общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка изображается семейством интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра C. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через заданную начальную точку (x0, y0 ).

Например, интегрирование уравнения y′ = −x / y приводит к

общему интегралу вида x2 + y2 = C 2, где С – произвольная по-

стоянная. Это конечное соотношение при разных С представляет собой, очевидно, семейство концентрических окружностей с центром в начале координат различного радиуса С (рис. I.1).

Рис. I.1

10

Частному интегралу будет соответствовать одна окружность, проходящая через заданную начальную точку (x0, y0).

1.2. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешëнное относительно производной y′ = f (x,y). Задавая ко-

ординаты (x, y) произвольной точки на плоскости, можно определить значение производной в этой точке y′, то есть найти на-

правление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Поэтому говорят, что дифференциальное уравнение первого порядка определяет поле направлений в той области D на плоскости, в которой определена правая часть уравнения. В каждой точке этой области известно направление касательной к интегральной кривой, проходящей через данную точку. Геометрически поле направлений изображается векторами (или штрихами) с угловым коэффициентом y′ = f (x, y) ≈ tgα (см. рис. I.2).

Рис. I.2

Геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одинаковый наклон, то есть выполняется соотношение y′ = C = const, называется изоклиной данного

дифференциального уравнения.

Уравнение изоклины, соответствующей значению C, будет, очевидно, f (x,y) = C . Построив семейство изоклин при разных

11

значениях C , можно приближëнно найти семейство интеграл ь- ных кривых данного уравнения.

Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых.

Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения

y′ = x2 + y2 ,

проходящую через заданную точку M 2; 2 .

2 2

Уравнение изоклин получим, полагая y′ = C . Следователь-

но,

x2 + y2 = C или x2 + y2 = C 2.

Таким образом, изоклинами данного уравнения являются концентрические окружности с центром в начале координат, причëм угловые коэффициенты касательных к искомым интегральным кривым равны радиусам этих окружностей С.

Для построения поля направлений даем постоянной С раз-

следовательно, окружность радиуса C1 = 0,5 интегральные кри-

вые пересекают под одним и тем же углом, составляющим ≈ 27 с положительным направлением оси OX (см. рис. I.3).

Рис. I.3

12

Изоклину, соответствующую C2 =1, то есть окружность радиуса C2 =1, интегральные кривые пересекают под одним и тем

же углом, составляющим 45 с положительным направлением оси OX, так как при этом y′ ≈ tgα =1.

Поле направлений на плоскости изображается штрихами. После этого уже можно приближëнно провести искомые инт е- гральные кривые, в частности, через заданную точку (см.рис. I.3).

Замечание. Для большей точности построения интегральных кривых можно определить направление вогнутости и точки перегиба этих кривых (если они существуют). Для этого необходимо продифференцировать уравнение (1.3). Тогда знак правой части определит знак второй производной y′′, то есть знак кр и-

визны интегральных кривых.

Для многих важных и часто встречающихся на практике дифференциальных уравнений можно получить лишь приближëнное решение или решение, выражающееся не через элементарные функции, а через, так называемые, специальные функции. Существует лишь достаточно ограниченный класс простейших дифференциальных уравнений, для которых можно получить решение “в квадратурах”, то есть в виде замкнутых формул, содержащих элементарные функции и интегралы от них. К ним относятся рассмотренные ниже типы дифференциальных уравнений.

1.3.Дифференциальные уравнения с разделëнными

иразделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделëнными перемен-

ными имеет вид

ренциалом dx стоит функция только одной переменной x, а перед

где