Погрешности_измерений_TNR16

отклонения σ,котохарактеризуетыйразмахразброс( )случайных

отклоне,присущихдаметодунноийиз .Пэтомрпления

о-

щадьподкривымираспдляеделенияазных

σ однаитаже.Пар

а-

метры а и σ враспределГаусса,какправило,нении

известныих

нужноискподазначениямтьнным

Х1, Х2, …Хn ,полученнымизоп

ы-

та.Втеориипогрешностейсуществуетметодмаксимального( пра

в-

допод),котпобиярыйзволяустановитьсвязьмеждупараметрами

распределенияГаусса

а и σ инаборомрезультатовиз

меренийфиз

и-

ческойвеличины.Используяэтотмет,можнострогодматематич

е-

скидоказать,чтонаиболееправдоподобнойоценкойистинногозн

а-

ченияизмеряемойвеличиныявлясрарифметическоеднеетсяиз

данныхизмер

ений,т.е.

1

n

(2)

а =

Х

=

∑ X i

n

i=1

ана илучшейоценкойвторогопараметра

σ являсрквадредняятся

а-

тичнаяпогрешсредность

его S

.

X

Расчетосуществляетсяпоформуле:

n

n

∑(X i −

)2

∑ 2 X i

S X

=

X

(3)

i=1

=

i=1

n(n −1)

n(n −1)

Понятдоверительногонтервала

идоверительнойвероя

т-

надежности( )

Среднееарифметическое

являетсяприблоценкойиженной

с-

X

тинногозначения

а измеряемойвеличины.Поэ,чтэтаоцебыму

н-

кабыланаиболееполной,надообязательноуказать,какпогрева

X.Величинуабсолютного

ш-

ностьполученногорезультата

клонения

среднего

из n измереотистинногоийачения

а называютабс

о-

X

лютнойпогрешносилидоверительин средьюервало. нымего

Важнонето,чтврезультатеизмерениймыполучаем

,аважното,

X

чтонарядус

долженбытьуказанинтервал

X,впределахкоторого

X

где-тонаходится

стинноезначение

а.

Одмынможетакод сутверждоверно,чтоистинноезнатьч

е-

ние а окажевнуинтерваларися

(

−

Х ,

+ Х ),мыможемсказатьлиш

Х

Х

следующее:имкакаяется

-товероятого,чалежитностьвпред

е-

лахэтогоинтервала.Сле,довательноерительныйинтервал

X

необходимоуказыватьвместедов вероятностьюрительнойнаде(

ж-

ностью)

α попадаистизначенвпределыияногоэтогоинтервалая.

Х неможетбыть

Безу казанияверо тности

α сампосебеинтервал

принятвкач

естве

оценкипогрезультаташности.

Р(Х),товероя

Еслиизвестенроятностныйзаконраспределения

т-

ностьпопадаистизначенвпределыияногоэтогоинтервалаям

о-

жетбытьра

ссчитанап

оформуле:

X

+ X

(4)

α = ∫ Р(Х )dХ

Расчетпоказывает,чтоужепричизмеренийсле

X

− X

n > 30 выборпог е

ш-

ности

X =σ (

X σ = Z =1),давенадежностиличину

α,равную0,68.

Другимисло,еслвамизятьинтервалнадежности

(

−σ ,

+σ ),то

Х

Х

можноутверждать,что68случаяхиз100истиннаявеличина

а по-

падетвуказанныйинтервал, 32случаяхиз100

– непопадетвэтот

интервал.

( Х

= Z = 2),то

Вслучае,когда

X = 2σ

α получаетсяравной0,95.

Если Х = 3σ (

= Z = 3),

2σ

Х

α = т0,997,.е.запределыдоверительного

σ

интервалавыйдетвсеголишьоколоизмерений3 1000.

РаспределСтьюдентаие

Формула(3),покоторойоцениваесреднеквадратичноесяклон

е-

ние σ,являетсясправедливойлишьпри

n → ∞ .Число

измеренийв

е-

альнопнеыможбытьтахескбольшим,поэтомунечноиспол

ь-

зоватьсреднеквадотклонендляогранчислаечноеенного

з-

меренийнельзя.

а

Чтобыполучитьоценкудоверительногоинтерваладлявеличины

йвместоотн

ошения

вслучаемалых

n,втеориипогрешносте

Х

σ = Z ,

вводятвеличину

t (α, n) =

X

− a

=

X

(5)

коэффициентСтьюдента

SX

SX

Этавеличина(

)

являетсяфункциейчисла

измерений n ивеличины

α - доверительнвер,кояйнамтораяности

задаетсяилижемывыбираемсами.

n распределенане

Оказывается,чтослучайнаявеличинапрималых

понормальномузакону(1),п

озакону,открытомуСтьюдентом.

Видэтогозаконасущес

твеннозависитотвыбора

n.

Плотнвероятностиьраспределения

P(t),соответствующ

аязак

о-

нуСтьюдента,им

еетвид:

α

Г

P (t ) =

2

,

(6)

n −1

t 2

α

2

π n −1

Г

+

1

2

n −1

Заднадежностьвая

α,равн уюо

пределеннойвеличи,придан еом

значении n,потабл.м2 ожнопределитьк эффициент

t.Т,огдапр

е-

деливпредварительно

S

поформуле(3),жноценитьабсолю

т-

X

нуюпогрезультаташность(

довериинтервалельный

)

Х пофо

р-

муле:

(7)

X= t (α,n) SX

Таблица2.

n

α

0,2

0,4

0,6

0,8

0,9

0,95

0,99

2

0,33

0,73

1,38

3,1

6,31

12,7

63,7

3

0,29

0,62

1,06

1,9

2,92

4,30

9,52

4

0,28

0,58

0,98

1,6

2,35

3,18

5,84

5

0,27

0,57

0,94

1,5

2,13

2,78

4,60

6

0,27

0,56

0,92

1,5

2,02

2,57

4,03

7

0,27

0,55

0,90

1,4

1,94

2,45

3,17

8

0,26

0,55

0,90

1,4

1,89

2,36

3,50

9

0,26

0,54

0,90

1,4

1,86

2,31

3,36

10

0,26

0,54

0,86

1,4

1,83

2,26

3,25

15

0,26

0,54

0,87

1,3

1,76

2,14

2,98

20

0,26

0,53

0,85

1,3

1,73

2,09

2,86

30

0,26

0,53

0,85

1,3

1,70

2,05

2,76

40

0,26

0,53

0,85

1,3

1,69

2,02

2,71

60

0,25

0,53

0,85

1,3

1,67

2,00

2,66

∞

0,25

0,52

0,84

1,3

1,65

1,95

2,59

Истинноезначениеизмвеличиныряемой

а будетнаходитьсявпр

е-

делахинтервала(

Х − Х , Х + Х )свер

оятностью α,т. е.

(8)

± Х )

а = (Х

Объективнымкритериекачествапроведизмявенныхрений

ляет-

сяотноситпогреш,определяемаяльотношениемостьабсолю

т-

нойпогрешксреднемузначениюости

змеряемойвеличины:

ε =

Х

(9)

Х

Выявлениепромахов

Ранееужеговорил,чтоесливзятьдоверительныйсьинтервал

(Х −3σ, Х + 3σ ),тольковслучаях3 из1000измереожнийо

и-

датьвыходизмеренийуказанногодоверительногоинтерв

ала.Если

неставитсяспециальзадача,гдеточиграетноснаяость, внуюль

томожносчитатьда

нные,выходящзадоверинтервалтельный

Х = ±3σ ,промахамиихприч обрабостовойнеучи.Втыватьке

практирас,причеогртскачхничизмеренийхсл,длянном

оценкипромаховпредп

олагается,что

σ = S

.

X

Выборчисланеобходимыхизмерений

учетпогрешности

з-

мерительного

прибора

Иногдаусловияработытребуютполучениемаксимальнойточности

сиспользованиемопределенногоизмерительногоустройства,име

ю-

щегоценуделения

С.

Счи, экспериментоаетсядостовернорустанзнавливаетч

е-

ниепоказанийприборасточн

остью

С 2 = δ

(здесь δ - погрешность

измеритеприбора)Если. задьногоатьсяоверительнойвероятн

о-

стью α = то0,68,можносоставитьравенстводляопредечислаения

необходимыхизмерений

n: S

≤ δ .Подставляя

S

из(3),пол

учаем:

X

X

n

n

∑ 2 Xi

∑ 2 Xi

i=1

≈

i=1

= δ

n n −1

n

n

∑ 2 Xi

(10)

n =

i=1

Ясно,чтврезультатеизмнельзясделатьренийошибкуменьше,

δ

чемта,котоопрпогрешноседеляетсяаяизмериприбора. тельногоью

Поэтвокомунчательномрезультате

вкачеабспогретвеолютной

ш-

ностипринимслучпогрешнайнуююттолькогда, онагдасть

существеннопревышаетприборную.Вслучае,когдаэтребования

невыпоислучаняются

йнаяпогрешностьоказываетсясравнимой

прибопогрнойешностью

δ,границыдове

рительногоинтервала

определяютсяпофо

рмуле:

(11)

X=

t2 +α, n 2SX δ 2

Еслижеприбопогявлрнаяешноопредет,т..сятьеляющей

величинасущественнобольшевеличиныслучайнойп грешности,

присущейданномуметоду, в кончательномрезультат

еучитыв а-

юттолькоприбопог.рВэтомнуюешностьслучаеногократныеи

з-

мернев ния

ыполняют.

Порядокобработкирезультатовпрямыхизм

ерений

Когдафизическаявеличина

а определяетсянепосредственно

о-

мощьютогоилииногозмер

ительногоприборапрямые(

змерения),

оценкаистинногозначенияизмервеличиныпогрешностиемой

можетбытьосуществленаследующемпоря

дке:

1. Составтаблицарезультатовяетсяизмерений.

n измерений:

2. Вычислясреднзначениетсяарифметическоеиз

1

n

X

=

∑ X i

3. Определяютсяпогрешностиотдельныхиз

n i=1

мерений:

2 X i = (

− X i )2

X

4. Вычисляюквадратыпогрешностейделся

ьныхизмерений:

n

SX

∑ 2 Xi

=

i=1

n n −1

6.

Еслиимеютсярезкоотличающиостальныхзнач,выяенияся

с-

няют,неявлонияютсяпром

ахами.

7.

Задаютсязначениемдоверительнойвероятности

α (влабораторных

работахфизическогопрактикумаобычноприн

имают α впределах

от0,8до0,9

).

t(α,

n)дляз

8.

Опредепотабкоэффици2лицеяютС ьюдента

а-

данадежностиной

α

ич

ислапр

оведенных

измерений n.

9.

Опреграницыделяютоверительногоинтерв

ала:

11. Окончательныйрезаписультат

ываетсявиде:

X ) ед=.измер.

α ...

a = (X

±

ε = ...%

Расчетпогрешностизмеренийкосвенных

Какужеуказывалось,косвенныеизмеренияфизическойличины

определяютсяпрямымиизме физическихугихенвеличинями,

которыенаходятсявопределеннойфункциональнойзависим

остиот

искомойвеличи

ны.Дляопределенадежрезулькосвеиниятата

н-

ныхизмнеобходрений

имоприменятьраспределениевероятностей

рассматриваемойфункции.Однако,такойстрп вогийдходмно

гих

случможнозаяхменить

упрощенным.

Пуисвеличинакомаять

Х являетсяфункциейтоль

кооднойпер

е-

менной,т..

X = f (х),причем,

х определяетсяизпрямыхизмерений

(х = х ± х).Приизменении

х на dх произойдет

зменефуниекции

Х на

dX.Применяяразложенфункциие

f (x + x) врядТе

йлора:

X ± dX = f ( x) +

df ( x)

dx ,

откуда

dx

df ( x)

dX =

dx

dx

Заменяязначокдифференциала

d значкомошибки

,получаем

формулудляабсолютнойпогрезультаташностикосвенныхизм

е-

рений:

df (x)

X =

=

x f ʹ(x ) x

dx

x=x

Окончательныйрезультатможнопредставить

иде:

Х

(ед . изм)

±

Х = Х

Относитпогравнае: шностьльная