обработка результатов измерений

Она описывает свободные незатухающие гармонические колебания с собственной

В данной лабораторной работе формула (124) является базовой. Зная момент инерции тела J, и экспериментально определяя период колебаний Т, можно вычислить жесткость проволоки k.

8.2. Описание установки и методика измерений

Установка FPM-05 (рисунок 24) содержит рамку 1 подвешенную на проволоке 2. На рамке с помощью подвешенной планки закрепляется тело в виде параллелепипеда 3. Установка содержит также фотоэлектрический датчик 4, счетчик числа полных колебаний, электромагнит 5 и секундомер с цифровой индикацией.

Рисунок 24 – Схема установки: а) вид сбоку; б) вид сверху.

С помощью фотоэлектрического датчика, расположенного на плите, механические колебания тела преобразуются в электрические импульсы, которые после усиления подаются на входы секундомера и сумматора полных колебаний. На исследуемом теле укреплена специальная стрелка 6. Во время крутильных колебаний с помощью этой стрелки периодически перекрывается световой поток, падающий на фототранзистор, при этом формируются электрические импульсы.

Электромагнит служит для управления моментом начала колебаний. Он установлен на той же плите, что и фотоэлектронный датчик. Его положение можно изменить и фиксировать, ориентируясь по специальной шкале и стрелке, прикрепленной к электромагниту.

Клавиши управления “сеть”, “сброс”, “пуск” и “стоп” вынесены на лицевую панель прибора.

8.3. Порядок выполнения работы

8.3.1.Получить принадлежности у преподавателя. Приборы и принадлежности: крутильный маятник FРМ-05, тело в виде параллелепипеда или куба, линейка.

Получить у преподавателя разрешение на проведение измерений.

8.3.2.Отжать клавишу “пуск”, включить установку в сеть, нажав клавишу “сеть”. Повернуть тело, подвешенное на проволоке, в сторону электромагнита, чтобы зафиксировать положение рамки с телом.

50

8.3.3. Нажать клавишу “сброс”. Нажать клавишу “пуск” и после отсчета счетчиком 9 полных колебаний нажать клавишу “стоп”. Секундомер покажет время t 10 полных колебаний. Считать показания секундомера. Записать результаты измерений в таблицу 22.

Таблица 22 – Экспериментальные данные.

8.3.4.Повторить п. 8.3.3 не менее пяти раз. Записать результаты измерений в таблицу 22.

8.3.5.Выключить установку. Измерить ребра данного параллелепипеда а, b, с (рисунок 25) или куба линейкой. Записать результаты измерений в таблицу 22.

Рисунок 25 – К определению моментов инерции тела в виде параллелепипеда относительно осей симметрии.

8.3.6. Определить систематические погрешности микросекундомера и линейки. Выбрать коэффициент Стьюдента. Сдать принадлежности преподавателю.

8.4. Обработка результатов измерений

8.4.1. Определить среднее время десяти колебаний tср. Вычислить период колебаний крутильного маятника по формуле

где n=10 – число полных колебаний. 8.4.2. По формулам (см. рисунок 25):

Jx = 12m (a 2 + b2 ), J y = 12m (b2 + c2 ), Jz = 12m (a 2 + c2 ) (126)

рассчитать моменты инерции Jx, Jy и Jz тела относительно соответствующих осей X, Y, Z. Масса параллелепипеда m=1962±16 г. Записать результаты в таблицу 23.

Таблица 23 – Обработка результатов измерений.

8.4.3.Рассчитать по формуле (124) коэффициент жесткости проволоки. Момент инерции J следует подставлять в формулу относительно той оси, относительно которой вращается тело.

8.4.4.По полученным Jx, Jy и Jz данного тела построить эллипсоид инерции (рисунок 26). Для этого необходимо выбрать соответствующий масштаб по осям ΟΧ, ΟΥ и ΟΖ и нанести соответствующие рассчитанные моменты инерции.

8.4.5.Сформулировать выводы. Оформить отчет по лабораторной работе.

51

9. Лабораторная работа 9. Изучение упругих свойств металлического стержня

Введение

При кручении тонкостенного трубчатого образца материала касательное напряжение τ в поперечном сечении, связанно с углом сдвига α линейной зависимостью

в которую входит модуль сдвига G. Модуль сдвига является характеристикой упругих свойств вещества материала при малых деформациях.

Цель работы: изучение упругих свойств металлического стержня методом крутильных колебаний, определение модуля сдвига материала.

9.1. Краткая теория

Торсионом называется упругий металлический стержень, работающий на кручение. Закручивание стержня вокруг своей оси происходит под действием момента упругих сил, возникающего в стержне. На рисунке 27 показана часть закручиваемого круглого цилиндра, имеющего длину l. Любая прямая линия, проведенная до закручивания цилиндра по частицам материала и параллельная оси симметрии, при закручивании превращается в винтовую линию. Сечения, находящиеся на расстоянии l, повернуты на угол ϕ.

Для вывода основных соотношений удобно рассмотреть в цилиндре колечко произвольного радиуса r, с бесконечно малой толщиной dr и высотой l, показанное на рисунке 28. При закручивании верхнее сечение колечка поворачивается относительно нижнего на угол dϕ, а образующая цилиндрической поверхности dl

маятником. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения

Рисунок 27 – Закручивание стержня вокруг его оси.

53

Здесь J – момент инерции крутильного маятника, ϕ - угол поворота стержня от положения равновесия. М – момент сил, действующий на стержень при его закручивании, который при малых углах закручивания (малых ϕ) описывается формулой

где τ - касательное напряжение, связанное с углом сдвига α линейной зависимостью τ = Gα , в которую входит модуль сдвига G. Модуль сдвига является характеристикой упругих свойств вещества стержня или проволоки.

Касательное напряжение τ пропорционально α и, следовательно, тоже растет с увеличением расстояния от оси стержня

Суммарный момент сил, действующий на всем поперечном сечении цилиндра, находится интегрированием по колечкам от оси цилиндра до его радиуса R

Величина момента сил М постоянна по всей длине цилиндра. Моменты сил на торцах любой выделенной части цилиндра уравновешивают друг друга (нет вращения цилиндра). При этом из (131) следует линейная зависимость между относительным поворотом поперечных сечений цилиндра – углом ϕ и расстоянием l, на котором они находятся. Таким образом, для нахождения связи приложенного момента сил М с углом поворота ϕ поперечных сечений цилиндра, находящихся на расстоянии l, получаем уравнение

Зависимость (133) выполняется при напряжениях намного меньших модуля сдвига, то есть

Уравнение (135) и, следовательно, его решение (136) и (137) получено для свободных незатухающих колебаний.

9.2. Описание экспериментальной установки и методики измерений

Рассмотрим торсионный маятник в виде длинного вертикального стержня, к нижнему концу которого прикреплена балка с двумя симметрично расположенными, одинаковыми по массе

54

грузами (рисунок 30). Положение грузов можно изменять. Верхний конец стержня зажат в кронштейн.

Рисунок 30 – Схема установки: а) крутильный маятник; б) расположение грузов на нем.

При фиксированном положении грузов на балке маятник может совершать свободные колебания с частотой ω и периодом Т. Момент инерции маятника J определяется следующим уравнением

55

Графиком функции (142) в координатах (r2, T2) будет прямая линия (рисунок 31).

Рисунок 31 – Линеаризованный график.

Следовательно, модуль кручения можно вычислить как f = 8π2ma . Момент инерции балки определяется как

JБалки = (2b − R 2 )m .

Модуль кручения стержня определяется его размерами, формой и модулем сдвига G материала. Для круглого стержня диаметром d с закреплением имеем:

9.3.1.Получить у преподавателя необходимые детали и инструменты, соберите экспериментальную установку, для чего:

- закрепить с помощью кронштейна стержень вертикально; - к свободному концу стержня с помощью зажима подвесить балку с отверстиями для

крепления двух грузов-дисков так, чтобы нижний конец образца выступал на 1–2 см из балки, затем закрепить образец винтом;

- на балке установить диски на одинаковом максимальном расстоянии r от оси вращения; - определить с помощью линейки расстояние между осью стержня и одним из грузов; - измерить радиус диска штангенциркулем.

Получить у преподавателя разрешение на проведение измерений.

9.3.2.Определить диапазон возможных амплитуд отклонения системы, для чего, слегка

закрутив образец за конец балки, отпустить его и измерить отрезок времени t, за которое система совершает N колебаний. Результаты измерений записать в таблицу 24.

Для устранения паразитных изгибных колебаний следует при работе придерживать пальцами образец под стержнем.

Убедиться, что в рассматриваемом случае затуханием колебаний, то есть необратимыми потерями энергии, можно пренебречь. Если после 25 периодов колебаний амплитуда уменьшается меньше, чем в 2 раза, то можно пользоваться результатами для незатухающих колебаний. Кроме этого следует убедиться, что период колебаний не зависит от начальной

56

амплитуды. Начальную амплитуду нужно уменьшать до тех пор, пока не исчезает зависимость периода от амплитуды.

9.3.3. Установить диски в новое положение на одинаковом расстоянии r от оси вращения, переместив оси дисков в соседние отверстия на балке. Отклонить маятник от положения равновесия и измерить отрезок времени t , за которое система совершает N колебаний. Результаты измерений записать в таблицу 24.

9.3.4.Выполнить п. 9.3.3 еще 5 раз.

9.3.5.Измерить параметры поперечного сечения стержня и записать значение в таблицу 24.

9.3.6.Выполнить п. 9.3.3-9.3.5, используя в опыте стержень прямоугольного сечения.

9.3.7.Определить систематические погрешности приборов и выбрать коэффициент Стьюдента. Разобрать экспериментальную установку. Вернуть детали и инструменты преподавателю.

9.4. Обработка результатов измерений 9.4.1. Провести необходимые расчеты и заполнить таблицу 24.

9.4.2.Построить в одной системе координат, с учетом погрешностей, линеаризованные графики r2 = f (T2 ) по результатам двух опытов.

9.4.3.Вычислить угловые коэффициенты для каждого графика.

9.4.4.По угловым коэффициентам вычислить модули кручения f и модули сдвига G для каждого образца.

9.4.5.Для каждого опыта оценить погрешность измерения модуля сдвига G.

9.4.6.Проанализировать графики и результаты, сформулировать выводы. Оформить отчет о лабораторной работе.

9.5. Контрольные вопросы

9.5.1.Что такое касательное напряжение и модуль сдвига? От чего зависят эти величины?

9.5.2.Вывод формул (132), (137).

9.5.3.Пояснить, в чем заключается линеаризации уравнения (141)?

9.5.4.Объяснить метод, используемый в работе для определения модуля сдвига?

9.5.5.Теорема Штейнера.

9.5.6.Укажите границы применимости экспериментальных формул.

57

10. Лабораторная работа 10. Определение момента инерции маятника Максвелла

Введение

Изменение механической энергии системы тел равно сумме работ, совершаемых внешними и диссипативными силами по перемещению тел системы

E=Aвнеш+Aдисс. (145)

Если отсутствуют внешние и диссипативные силы, то выполняется закон сохранения энергии. Механическая энергия замкнутой консервативной системы тел не изменяется (сохраняется).

Целью работы является изучение закона сохранения механической энергии системы тел и измерение момента инерции маятника Максвелла относительно его оси вращения.

10.1. Описание экспериментальной установки и методика измерений

Маятник Максвелла (рисунок 32,а) состоит из оси 1, подвешенной на двух нитях 2, диска 3, закрепленного на середине оси и кольца 4. В опыте маятник Максвелла, вращаясь равноускоренно из состояния покоя, опускается с высоты h. На основании закона сохранения энергии потенциальная энергия маятника в поле сил тяжести переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения

где J – момент инерции маятника, m – масса маятника, ω – угловая скорость.

Рисунок 32 – Маятник Максвелла: a) части маятника; б) геометрические размеры маятника.

Используя соотношение (146) и учитывая, что

где a – ускорение, v – скорость движения центра масс маятника, d=do+2dН, do – диаметр оси маятника, dН – диаметр нити, выразим момент инерции маятника

В правой формуле (147) учтено, что мгновенная ось вращения маятника находится на расстоянии d=do+2dН от оси симметрии маятника (рисунок 32,б). Здесь же указаны геометрические размеры маятника.

Таким образом, зная время движения маятника t с известной высоты h, его массу и геометрический размер d, можно экспериментально определить момент инерции маятника Максвелла.

Схема экспериментальной установки изображена на рисунке 33. Установка FPM-03 снабжена фотоэлектрическими датчиками, закрепленными на кронштейнах 1, 2. Кронштейны установлены на стойке 3. Нижний кронштейн можно перемещать вдоль стойки и фиксировать его в любом положении, определяя, таким образом, длину пути h маятника 4. В месте расположения верхнего датчика закреплен электромагнит 5. При отжатой клавише “пуск” на панели установки электромагнит включен, что позволяет зафиксировать маятник в верхнем положении.

58

С целью отсчета длины пути h, на стойке нанесена миллиметровая шкала. При нажатии на клавишу “пуск” электромагнит отключается, маятник начинает опускаться. Фотоэлектрический датчик на верхнем кронштейне фиксирует начало движения груза. Датчик на нижнем кронштейне вырабатывает электроимпульс конца измерения времени. На основании установки закреплен секундомер.

Рисунок 33 – Положение датчиков.

Момент инерции маятника можно определить теоретически по формуле

где mo, mд, mк – соответственно, масса оси, диска и кольца маятника Максвелла; do, dд, dк – внешние диаметры оси, диска, кольца (рисунок 32,б).

Проверка точности производится на основании измерения рабочей погрешности момента

10.2. Порядок выполнения работы

10.2.1.Получить принадлежности у преподавателя: установку FPM-03 с маятником Максвелла, штангенциркуль.

Получить у преподавателя разрешение на проведение измерений.

10.2.2.Отжать клавишу "пуск" секундомера. Нажать клавишу "сеть".

10.2.3.На ось маятника намотать нить и зафиксировать маятник при помощи электромагнита в верхнем положении.

10.2.4.Нажать клавишу "сброс", потом "пуск" и считать время падения маятника. Результат измерения внести в таблицу 25.

Таблица 25 – Результаты измерений Jэ.

10.2.5.Повторить пункты 10.2.3-10.2.4 пять раз.

10.2.6.Выключить установку. Измерить высоту падения маятника по вертикальной линейке на стойке прибора.

10.2.7.Измерить геометрические размеры маятника (рисунок 32,б): do, dд, dк штангенциркулем. Заполнить таблицу 26. Диаметр нити dн=0,5 мм. Массы оси mo, диска mд и кольца mк указаны на них.

Таблица 26 – Результаты измерений Jт.

10.2.8. Определить систематические погрешности приборов. Сдать принадлежности преподавателю.

59