обработка результатов измерений
.pdf
4. Лабораторная работа 4. Измерение ускорения свободного падения на машине Атвуда 1
Введение
Целью работы является: 1) проверка второго закона Ньютона – ускорение, сообщаемое телу силой, прямо пропорционально этой силе и обратно пропорционально массе тела
ar = |
F |
; |
(60) |
|
m |
||||
|
|
|
2) определение ускорения свободного падения.
4.1. Описание экспериментальной установки и методика измерений
Экспериментальная установка (рисунок 14) смонтирована на базе лабораторного комплекса ЛКМ-2. На стойке укреплен двухступенчатый шкив, вращающийся вокруг горизонтальной оси, через шкив перекинута легкая (условно невесомая) нить с платформами 1 и 2 одинаковой массы m. На платформы могут устанавливаться грузы различных масс m1 и m2 , которые приводят систему “платформы-грузы” в поступательное движение с ускорениями аr1 , аr2 , шкив – во вращение с угловым ускорением ε.
При вращении шкива возникает момент силы трения в оси Mтр. Уравнения движения грузов и шкива,
согласно второму закону Ньютона и закону динамики вращательного движения, имеют вид:
(m |
+ m |
) gr |
r |
= (m + m |
) ar |
+ T |
|||||
|
1 |
r |
r1 |
1 |
r1 |
(m |
+ m2 ) g + T2 = (m + m |
2 ) a 2 |
|||
J ε = MT′ + MT′ + Mтр, |
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
где T1′, Т1 , T2′, T2 |
– |
силы |
натяжения |
||
(61)
нитей;
MT1′ , MT2′ , Mтр – соответственно, момент сил
натяжения T1′, T2′ и момент силы трения,
действующей на шкив; J – момент инерции шкива относительно оси вращения.
Рисунок 14 – Экспериментальная установка.
Пусть m2 > m1. Переходя к проекциям на ось y, и, учитывая, что a1=a2=a, T1′= Т1 ; T2′ = T2 – в
силу не растяжимости и невесомости нити: M |
T |
′ |
= T R; M |
T |
′ |
= T |
R; |
ε = |
a |
(R – радиус |
||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
R |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
шкива), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) g −T = −(m + m |
|
) a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(m + m |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(m + m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 ) g −T2 = (m + m2 ) a, |
|
|
|
|
|
|
(62) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(T2 −T1 ) R − Mтр = J R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Момент инерции шкива относительно оси вращения равен |
J = |
m |
шк |
R 2 |
|
(если считать его |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
цилиндрическим телом радиусом R), где mшк – масса шкива. Решая систему уравнений (62) относительно ускорения, получаем
30
|
(m2 |
− m1 ) g − |
M тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a = |
|
|
R |
|
. |
|
|
|
|
(63) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2m + m1 |
+ m2 |
+ |
|
mшк |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
M тр |
|
|||||
Введем новые обозначения: m=m2–m1 – масса перегрузка; F = |
– эффективная сила |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тр |
|
R |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mшк |
|
|||
трения, приведенная к радиусу шкива; |
M = |
2m + m1 + m2 |
+ |
– |
приведенная масса |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
системы. Тогда, уравнение (63) можно представить в виде |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a = |
m g − Fтр |
. |
|
|
|
|
|
|
(64) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражения (64) видно, что, во-первых, ускорение грузов прямо пропорционально
величине mg–Fтр (при постоянной приведенной массе М) и обратно пропорционально
приведенной массе системы (при постоянной величине |
mg–Fтр), во-вторых. |
|||||
Выражение (64) можно записать в виде |
|
|
Fтр |
|
|
|
a = |
|
m |
g − |
. |
(65) |
|
|
M |
M |
||||
|
|
|
|
|
||
Если приведенная масса системы M в серии опытов постоянна и сила трения не зависит от скорости движения (что для случая сравнительно небольших скоростей подтверждается
экспериментально), то зависимость ускорения от величины Mm является линейной вида y=k x+b, где в качестве углового коэффициента прямой (65) выступает величина ускорения
свободного падения k = g , b = − |
Fтр |
, |
y=a, x= |
m |
. |
Графиком |
указанной зависимости |
||||||
M |
M |
||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a = f |
является прямая, не проходящая через начало координат (рисунок 15). |
|
|||||||||||
|
M |
|
|
По угловому коэффициенту прямой можно |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
определить ускорение свободного падения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k = AB |
= g . |
(66) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрезок, отсекаемый прямой на оси абсцисс, |
|||||||||
|
|
|
|
характеризует величину |
|
Fтр |
. Это |
видно из |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mg |
|
||
|
|
|
|
выражения (65). |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Таким образом, для измерения ускорения |
|||||||||
|
|
|
|
свободного |
падения |
необходимо |
проводить |
||||||
измерение ускорения грузов при различных
Рисунок 15 – Зависимость ускорения грузов от |
массах перегрузка |
m=m2–m1, |
но |
при |
отношения m/M. |
постоянной приведенной массе системы M. |
|
||
Для обеспечения неизменности приведенной массы в опытах следует устанавливать на платформы несколько грузов и менять перегрузок перекладыванием грузов с одной платформы на другую.
Лабораторный комплекс содержит измерительную систему ИСМ-5, позволяющую измерять время поворота шкива на определенный угол ϕ. Из кинематики известно, что при вращательном равноускоренном движении тела из положения покоя угловое ускорение определяется по формуле
31
ε = |
2 ϕ |
. |
|
(67) |
||
|
|
|||||
Тогда, ускорение грузов |
t 2 |
|
||||
|
2 ϕ |
|
|
|||
a = ε R = |
R . |
(68) |
||||
|
||||||
|
|
t 2 |
|
|||
На стойке вместе со шкивом укреплена шкала для измерения углов, а на валу шкива закреплен непрозрачный диск. Этот диск и шкив имеют специальные прорези. Диск находится между двумя диодами (светодиод и фотодиод). В момент, когда прорезь на шкиве совпадает с нулевой отметкой по шкале, прорезь на диске находится между диодами. При повороте шкива свет, испускаемый светодиодом, перекрывается диском и не попадает на фотодиод. Начинается отсчет времени таймером ИСМ-5. Если тумблер “1/ T/2” в положении “1”, таймер покажет время одного оборота шкива (ϕ=2π). Если тумблер в положении “2”, таймер покажет время двух оборотов шкива (ϕ=4π). Расстояние, на которое сместится груз, равно соответственно одной или двум длинам окружности канавки шкива (такое измерение позволяет обойтись без шкалы на стойке и без измерения расстояния линейкой).
Если измерить время движения грузов t1 при повороте шкива на угол ϕ1=2π и время t2 при повороте на угол ϕ2=4π (при одинаковых прочих условиях), то, так как движение равноускоренное (формула 68), можно ввести критерий равнопеременности
|
2 |
|
|
|
|
t 2 |
|
= 2 . |
(69) |
|
||||
β = |
|
|||
t1 |
|
|
|
|
Если выполняется соотношение (69), то поступательное движение грузов и вращательное движение шкива являются равнопеременными.
При измерении времени поворота важно, чтобы начало движения диска совпадало с началом отсчета времени. Если прорезь на шкиве в начальный момент времени на отметке “0”, то это не выполняется: тело невозможно установить строго в точке срабатывания датчика, и прежде, чем фотодатчик сработает в первый раз (выдавая сигнал измерительной системе для начала отсчета времени), шкив успеет повернуться на некоторый угол, который трудно сделать менее 0,1°. Этот угол составляет порядка 10-4 от 360°, но он существенно влияет на результат измерения ускорения. Покажем это.
Отметим на числовой оси (рисунок 16) угол поворота ϕ1 шкива от начального положения шкива (“0”) до начала отсчета времени таймером (точка срабатывания датчика в первый раз), ϕ2 – угол поворота шкива от начального положения (“0”) до окончания отсчета времени (точка срабатывания датчика во второй раз).
Рисунок 16 – К определению погрешности измерения ускорения.
При движении с угловым ускорением ε шкив повернется на угол α=ϕ2-ϕ1 за время
t = |
2ϕ2 |
− |
2ϕ1 |
= |
2 |
( |
ϕ2 − ϕ1 ), |
(70) |
|
ε |
|
ε |
|
ε |
|
|
|
которое и будет измерено таймером. Отсюда ускорение с учетом (68)
a = |
2R ( |
ϕ2 − |
ϕ1 )2 = |
2R ( |
ϕ1 + α − ϕ1 )2 . |
(71) |
|
t 2 |
|
|
t 2 |
|
|
Полагая ϕ1<<α, приходим к выражению
|
2R |
(α + ϕ1 α)= |
|
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
a = |
2R α |
+ 2 |
|
(72) |
||||||
t |
2 |
t |
2 |
1 |
α |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
32
Если установить по возможности ϕ1=0, то относительная погрешность результата равна последнему слагаемому в скобках, в котором в качестве ϕ1 нужно рассматривать
погрешность установки σ(ϕ1) |
|
σ(ϕ1 ). |
|
||
|
σ(a) |
= 2 |
(73) |
||
|
a |
|
|||
|
|
α |
|
||
Если же установить заранее измеренное значение ϕ1≠0 и учесть его в расчетах, то
погрешность |
|
2σ(ϕ1 ) |
|
σ(a) |
= |
(74) |
|
a |
α ϕ |
||
|
|
1 |
|
и результат получается существенно точнее.
Если не учитывать силу трения и влияние массы шкива на ускоренное движение грузов, то формула (63) позволяет оценить ускорение свободного падения при известных массах и
известном ускорении сразу |
(2m |
+ m1 |
+ m2 ) a |
|
|
|
g = |
. |
(75) |
||||
|
m2 − m1 |
|||||
|
|
|
|
|||
4.2. Порядок выполнения работы
4.2.1.Получить принадлежности у преподавателя. Приборы и принадлежности: модель машины Атвуда на базе лабораторного комплекса ЛКМ-2, набор грузов, нить с платформами
иизмерительная система ИСМ-5.
4.2.2.Подготовить к работе прибор ИСМ-5. Тумблер “1/ T/2” в положение “1”. Тумблер “Однокр” в верхнее положение. Все остальные тумблеры, кроме тумблера “Сеть”, в среднее положение.
4.2.3.На платформах установить по одинаковому набору грузов (рекомендуется m1=m2=0,2 кг; 0,25 кг) – исходное состояние. Перекинуть нить с грузами через большую ступень шкива
(R=25,0±0,5 мм). При этом система должна находиться в равновесии. Записать массу грузов и платформ, а также, радиус шкива R, в таблицу 15. Масса одной платформы 50,0±1,0 г. Массы грузов определены с погрешностью 1,0 г.
Получить у преподавателя разрешение на проведение измерений.
Таблица 15 – Контрольный эксперимент.
Время |
1 |
|
2 |
3 |
tср |
Дополнительные данные |
t1 |
|
|
|
|
|
m1=… г, m2=… г, m=… г |
t2 |
|
|
|
|
|
R=… м, ϕ1=2π, ϕ2=4π |
β=… |
aср=…м/с2 |
|
g=…м/с2 |
|
|
|
4.2.4.Включить установку тумблером “Сеть”.
Контрольный эксперимент.
4.2.5.Часть грузов на левой платформе переложить на правую, рассчитать массу перегрузка
m. Результат записать в таблицу 15. Рекомендуется перекладывать грузы массой 10 или 20 г.
4.2.6. Измерить время t1 поворота шкива на угол ϕ1=2π (тумблер “1/ T/2” в положении “1”). Измерение проводится следующим образом. Легкий груз опускают и удерживают прижатым к основанию установки. Поворачивая шкив, устанавливают щель на шкиве на ноль (на панели ИСМ-5 загорается индикатор). При горящем индикаторе нажимают кнопку “Готов” для перевода таймера в режим ожидания. При светящемся же индикаторе отпускают нижний груз (например, левой рукой) и ловят его после первого звукового сигнала этой же рукой, так, чтобы грузы не ударились об основание и не разлетелись. Таймер зафиксируют время t одного оборота шкива после начала движения. Опыт провести три раза. Записать показания таймера в таблицу 15.
33
4.2.7.Измерить время t2 поворота шкива на угол ϕ2=4π (тумблер “1/ T/2” в положении “2”)
стеми же грузами и перегрузком. Опыт провести три раза. Записать показания таймера в таблицу 15.
Основной эксперимент. Измерение ускорения с повышением точности.
4.2.8.Вернуть систему в исходное состояние. Установить на правую платформу перегрузок
массой |
m. Тумблер |
“1/ T/2” установить в положении “1”. Записать значения M и m в |
|||||||
таблицу 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16 – Основной эксперимент. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
m, |
m |
|
t , с |
tср, c |
σ(t), |
aср, |
σ(а), |
Доп. данные |
п/п |
кг |
M |
|
|
|
с |
м/с2 |
м/с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
1. … |
|
|
|
|
ϕ1=π, α=2π |
|
|
|
|
2. … |
|
|
|
|
М=… кг, m=…кг |
|
|
|
|
3. … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mшк = 75 г |
|
… |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fтр/Mg=… |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fтр=… Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.9. Три раза измерить время t поворота шкива на угол α=2π. Измерение проводится следующим образом. Легкий груз опускают и удерживают прижатым к основанию установки. Поворачивая шкив, устанавливают щель на шкиве на ϕ1=180° (π рад).
Нажимают кнопку “Готов” для обнуления таймера. Отпускают нижний груз (например,
левой рукой) и ловят его после второго звукового сигнала этой же рукой, так, чтобы грузы не ударились об основание и не разлетелись. Записать показания таймера в таблицу 16. 4.2.10. Повторить пункт 4.2.9 для четырех различных значений масс перегрузка m при неизменной массе M. Результаты измерений и расчетов внести в таблицу 16. Рекомендуется перекладывать грузы массой 10 или 20 г.
4.2.11.Выключить установку. Определить систематические погрешности измерительных приборов и выбрать коэффициент Стьюдента. Сдать принадлежности преподавателю.
4.3.Обработка результатов измерений
4.3.1.Оценить время tср и ускорение aср (68) в каждом из опытов контрольного эксперимента. Заполнить таблицу 15. Определить величину β (69). Рассчитать контрольное значение ускорения свободного падения g (75).
4.3.2.Оценить время tср и ускорение aср (71) в каждом из опытов основного эксперимента,
погрешность измерения времени σ(t) и погрешность ускорения σ(a) |
|
||||||||||||
σ(a)= a |
|
σ(R) 2 |
|
|
2σ(t) |
2 |
σ(ϕ) |
2 |
|
||||
ср |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
. |
(76) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R |
|
|
|
|
tср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|||
Заполнить таблицу 16. |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
4.3.3. Построить график зависимости |
|
|
|
(пример на рисунке 15). Масса шкива |
|||||||||
a = f |
M |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
указана в таблице 16.
4.3.4.Определить по графику ускорение свободного падения (66). Используя график, определить значение силы трения. Записать данные в таблицу 16.
4.3.5.Сформулировать выводы. Оформить отчет по лабораторной работе.
4.4. Контрольные вопросы
4.4.1. Какова цель данной работы и в чем заключается сущность метода измерения ускорения свободного падения?
34
4.4.2.Указать физический смысл величин: масса, импульс, сила. Что такое ускорение свободного падения?
4.4.3.Сформулировать и указать физический смысл I, II, III законов Ньютона.
4.4.4.От чего зависит угловой коэффициент прямой на рисунке 15? И почему?
4.4.5.Что характеризует отрезок, отсекаемый прямой на оси абсцисс? И почему?
4.4.6.Вывести формулу (64).
4.4.7.В чем заключается метод повышения точности измерения в данной лабораторной
работе.
4.4.8.Вывести формулу (71).
35
5. Лабораторная работа 5. Измерение ускорения свободного падения на машине Атвуда 2
Введение
Ускорение свободного падения – это ускорение, которое приобретает свободная материальная точка под действием силы тяжести. Такое ускорение имел бы центр тяжести любого тела при падении на Землю с небольшой высоты в безвоздушном пространстве. Как и сила тяжести, ускорение свободного падения зависит от широты места ϕ и высоты H над уровнем моря. Приблизительно ускорение свободного падения
g=9,78049(1+5,288·10-3·sin α – 6·10-6·sin2 2α) – 3,086·10-6·H. (77)
На широте Москвы на уровне моря g=9,8156 м/с2.
Целью данной работы является определение величины ускорения свободного падения. 5.1. Краткая теория
Рассмотрим движение пробной частицы массы m (пробной называется частица, не искажающая рассматриваемое поле) в однородном и центральном силовых полях. Однородным является силовое поле, в котором на пробную частицу массы m в любой точке поля действует одинаковая сила. Любое поле в достаточно малой окрестности какой-либо точки пространства может считаться однородным.
Силовое поле называется центральным, если на пробную частицу, помещенную в это поле, действует сила, направленная вдоль луча, соединяющего частицу и центр силового поля, а величина силы зависит только от расстояния пробной частицы до центра.
Центр силового поля – это точка, где помещается частица, создающая поле. Центральное поле является сферически симметричным, т. е. все точки, лежащие на сфере некоторого радиуса с центром, совпадающим с центром поля, находятся в эквивалентном положении по отношению к полю. Важность этого случая в том, что он часто встречается в физических задачах. Так, центральными являются силовые поля, создаваемые, например, Солнцем в солнечной системе, ядром в атоме и т. п.
Рассмотрим в качестве примера гравитационное поле, создаваемое частицей массой М. Поместим в поле пробную частицу массы m, на нее со стороны поля будет действовать гравитационная сила, направленная к центру. Эта сила носит название гравитационной силы. Ее можно выразить, используя закон всемирного тяготения Ньютона
r |
= −G |
mM |
rr , |
(78) |
|
F |
|||||
|
|||||
g |
|
r3 |
|
||
|
|
|
|||
где G – гравитационная постоянная (G=6,67 10-11 Н м2 кг-2).
Отношение силы, действующей со стороны поля на пробную частицу, к величине ее массы называется напряженностью гравитационного поля
gr = |
F |
= G |
M |
rr. |
(79) |
|
m |
r3 |
|||||
|
|
|
|
|||
Как видно из (79), напряженность гравитационного поля g |
не зависит от массы пробной |
|||||
частицы, так как определяется только массой также расстоянием от источника до той точки, напряженность гравитационного поля, можно помещенную в это поле, используя формулу
Fi = mi gr,
частицы, являющейся источником поля, а в которой измеряется напряженность. Зная найти силу, действующую на частицу,
(80)
где mi – масса частицы.
Последнюю формулу можно интерпретировать и исходя из второго закона Ньютона. Напряженность гравитационного поля одновременно является и ускорением свободного падения.
Применительно к гравитационному полю Земли для высот над поверхностью планеты h, сравнимых с радиусом Земли Rз ускорение свободного падения определяется формулой
36
|
|
|
M3 |
|
|
|
|
R 3 |
2 |
|
|
||
|
g = G |
|
|
|
|
|
|
, |
(81) |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
(R 3 + h) |
|
= g0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R3 + h |
|
|
|||||
где |
g0 |
= G |
M3 |
= 9,81 |
|
м |
− |
|
(82) |
||||
R 32 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
|
|||||
– ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. |
|
||||||||||||
Определим |
теперь энергетическую |
|
|
характеристику |
гравитационного поля – |
||||||||
гравитационный потенциал ϕ.
Потенциалом ϕ называется потенциальная энергия, отнесенная к единице массы частицы
ϕ = |
Wp |
. |
(83) |
|
|||
|
m |
|
|
Найдем потенциальную энергию частицы в гравитационном поле. Элементарная работа dA |
|
при малом (на drl ) перемещении массы m под действием |
гравитационной силы F(r) |
выражается формулой |
|
dA = (F,dl )= F dl cos α = F dr. |
(84) |
Полная работа при перемещении массы m от точки 1 поля до точки 2 определяется суммированием элементарных работ вдоль траектории. Кроме того, эта работа связана с изменением потенциальной энергии. В итоге
2
A12 = ∫Fdr = − Wp = Wp1 − Wp2 .
1
Для гравитационного поля, создаваемого тяготеющим центром массой М, получаем
2 |
dr |
|
M m |
|
M m |
|
A12 = −M m∫1 |
|
|
|
|||
r2 |
= − G |
r2 |
−G |
r2 |
. |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
Следовательно, для этого случая потенциальная энергия равна
Wp = −G Mr 2m ,
(85)
(86)
(87)
с учетом того, что на бесконечном удалении тела от центра гравитации, его потенциальная энергия равна нулю.
Для гравитационного поля вблизи поверхности Земли
2 |
|
A12 = −m g0 ∫dh = m g0 h1 − m g0 h 2 . |
(88) |
1 |
|
Потенциальная энергия в данном случае определяется с точностью до произвольной постоянной. В конкретных механических задачах обычно выбирается некоторая высота, потенциальная энергия тела, находящегося на этой высоте считается равной нулю. Тогда
Wp = m g0 h, |
(89) |
причем высота h отсчитывается от соответствующего нулевого значения. 5.2. Описание установки и методика измерений
Экспериментальная установка (рисунок 17) смонтирована на вертикальной стойке со шкалой для измерения расстояний. На стойке укреплен блок, вращающийся вокруг горизонтальной оси с небольшим трением. Через блок перекинута легкая нить с грузами 1 и 2 одинаковой массы. На грузы могут устанавливаться перегрузки 3 различных масс, которые приводят систему “грузы-перегрузки” в поступательное движение, а блок – во вращение.
37
Если по одну сторону блока прибавить перегрузок массы m система придет в ускоренное движение. Уравнения
|
|
|
|
|
движения грузов, согласно второму |
|||||
|
|
|
|
|
закону Ньютона, имеют вид: |
|
||||
|
|
|
|
|
M gr + T = M ar |
1 |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
r |
|
(90) |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
(M |
+ m) g + T2 = |
(M + m) a 2 |
|||
|
|
|
|
|
где Т1, T2 – |
силы |
натяжения нитей, |
|||
|
|
|
|
|
a1 , a 2 |
– ускорение, соответственно, |
||||
|
|
|
|
|
левого и правого грузов. Уравнения (90) |
|||||
|
|
|
|
|
записаны в предположении, что трение |
|||||
|
|
|
|
|
мало и им можно пренебречь, а блок – |
|||||
|
|
|
|
|
невесом. |
|
|
|
|
|
Рисунок 17 – Схема экспериментальной установки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Переходя к проекциям на ось y, и, учитывая, что |
a1=a2=a, |
Т1 = T2 = T – |
в силу не |
|||||||
растяжимости нити, невесомости нити и блока, получим: |
|
|
|
|
||||||
M g −T = −M a, |
|
|
|
|
|
(91) |
||||
(M + m) g −T = (M + m) a. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
Решая систему уравнений (91) относительно a, получим |
|
|
|
|
|
|||||
a = |
|
m |
|
g . |
|
|
|
|
(92) |
|
2M + m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Передвигаясь с этим ускорением правый груз, пройдет путь |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
= |
2 |
, |
|
|
|
|
|
(93) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где v2 – скорость в конце пути. В конце пути S1 перегрузок m будет отцеплен и система грузов пройдет путь
S2 = v2 t 2 , |
(94) |
равномерно (по инерции). Здесь t2 – время равномерного движения. Решая совместно систему уравнений (92)-(94) относительно g, получим выражения для ускорения свободного падения
g = |
2 M + m |
|
|
S22 |
|
. |
(95) |
m |
2 |
S |
t 2 |
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
5.3. Порядок выполнения работы
5.3.1.Получить принадлежности у преподавателя. Приборы и принадлежности: установка Атвуда FРМ-02, грузы с нитью, 3 перегрузка.
Получить у преподавателя разрешение на проведение измерений.
5.3.2.Нажать клавишу “сеть”. Клавиша ”пуск” нажата. Если грузы перемещаются не свободно, то дополнительно нажать клавишу “сброс”.
5.3.3.Переместить правый груз М в верхнее положение, положить на него перегрузок m и проверить, находится ли система в состоянии покоя. Если система не находится в состоянии покоя, то отжать клавишу ”пуск”. Если не сработал магнит, нажать клавишу “сброс”.
5.3.4.Согласовать нижнюю грань перегрузка m с чертой на верхнем кронштейне.
5.3.5.Нажать клавишу “пуск” и измерить время движения системы t2. Нажать клавишу “сброс”.
5.3.6.Измерение времени повторить не менее трех раз. Записать результаты в таблицу 17.
38
Таблица 17 – Экспериментальные данные.
№ |
m, |
S1, |
S2, |
t2, |
t2ср, |
σ(t2), |
g, |
σ(g), |
п/п |
кг |
м |
м |
с |
с |
с |
м/с2 |
м/с2 |
1 |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.7.Повторить п.п. 5.3.3-5.3.6 с тремя различными перегрузками m. Масса каждого перегрузка выгравирована на его корпусе с точностью до 0,1·г, М=60,0±0,1 г.
5.3.8.Выключить установку.
5.3.9.Измерить путь S1 и S2 по шкале на стойке. Найденные значения занести в таблицу 17.
5.3.10.Определить систематические погрешности микросекундомера и линейки. Выбрать коэффициент Стьюдента. Сдать принадлежности преподавателю.
5.4.Обработка результатов измерений
5.4.1.Определить средние значения времени движения t2 на пути S2 для каждого перегрузка m. Записать результаты в таблицу 17.
5.4.2.По формуле (95) вычислить экспериментальные значения g с различными грузами.
5.4.3.Оценить погрешности измерения σ(t2) и σ(g).
5.4.4.Сравнить полученные значения со значением g, найденным по более точной теоретической формуле (77). Считать, что город Ханты-Мансийск находится на северной
широте (ϕ=61°). Лаборатория выше уровня моря на H=50 м.
5.4.5. Сформулировать выводы. Оформить отчет по лабораторной работе. 5.5. Контрольные вопросы
5.5.1.Цель работы и сущность метода определения ускорения свободного падения в данной работе.
5.5.2.Вывести формулу (95)
5.5.3.Дать определение силы тяжести, ускорения свободного падения.
5.5.4.Зная радиус Земли R = 6,4·106 м и g, измеренное в лабораторной работе, вычислить массу Земли.
5.5.5.В реальности движение системы на пути S2 не равномерное. Почему?
39