17. Гармонические функции. Восстановление голоморфной функции по её действительной части. Сопряжённые гармонические функции. Бесконечная дифференцируемость гармонических функций.

Определение 1

Однозначная в области Gдействительная функция u(x,y) действительных переменных

x, y ∈ R, обладающаянеприрывными частными производными 2-ого порядка и

Теорема 1

Действительная и мнимая части голоморфной в некоторой области функции обладают дифф. Частными производными всех порядков и являются функциями гармоническими в той же области.

Теорема 2

По ф-ии u(x,y), гармонической в односвязной области G, можно найти такую аналитическую функцию f(z), что Re f(z)=u(x,y). Эта функция определена с точностью до постоянного, чисто

где (x₀,y₀) –фиксированная точка в области G.

Определение 2

Гармонические функции u(x,y), v(x,y) такие, что функция f(z)=u+iv является голоморфной функцией переменного z=x+iy называются взаимно-сопряженными.

18. Теорема Мореры.

Теорема: Если ф-ия непрер-на в односвязной обл. G и , взятый по контуру , равен нулю, то f(z) голоморфна в G.

Док-во: вытекает обращение в 0 ин-ла вдользамкн. спрямл. кривой, леж. вG. Это равн-но тому, что зависит только от нач. и кон. т. Г.

Для кривой Г сG (т.1п.9)

Пот т.2п.9 (z0,z явл. голоморфной ф-цией в G, причем F’(z)=f(z).

Отсюда в силу диф-ти ф-ии F(z) любое число раз (сл.1п.7) сл. сущ-ие F’’(z)=f’(z), z. Т.о., ф-ия f(z) голоморфна в G.

Теорема 1(п.9): Если ф-ия f(z) голоморфна в односвяз. обл. G, то знач. ин-ла , взятого вдоль спрямл. кривой Г сG, зависит от начал. и конеч. точек пути интегрирования.

19. Теоремы Вейерштрасса о последовательностях и рядах равномерно сходящихся голоморфных функций.

Теорема 1: Если каждая ф-я f_n (n непр-на на спрямл. кривой Г с С_я и посл-ть {f_n} равном. сходся на Г, то

Опред. Говорят, что некот. св-ва имеют место внутри обл.GС_я, если оно выполн. на каждом замкн. огранич. мн-ве, лежащ. в этой обл-ти.

Теорема 2: Если кажд. ф-ия f_n(nN) голоморфна в обл. G с С_z и посл-ть {f_n} равномерно сход. внутри G к f, то f-голоморфна к G и {f_n^(k)} (k сход. в G к f^(k).

Теорема 3: Если кажд. ф-ия f_n (n голоморф. в обл. G и ряд равном. сход-ся внутриG к S(z), то S(z) голоморфна в G и ряд сход-ся вG.

20. Теорема Единственности голоморфной функции.

Теорема: Пусть ф-я f голоморфна в обл. G с С_z и обр. в нуль на беск. множ-ве E точек, имеющих конечную предельную точку в обл. G, тогда f=0.

Док-во: Пусть z₀- предел. точка мн-ва E, z_0,тогда в силу непрер-ти f имеем f(z₀)=0. По т.Тейлора ф. f можно представить рядом степени z-z₀ в нек. окр. V(z₀,) т.z₀. Пусть C_m, (m- это первый, отлич. от нуля, коэф. ряда *(z-z₀)^m+…=(z-z₀)^m *, где=С_m+С_m+1(z-z₀)+…(С_m≠0)-голоморф. в окр-ти V функция, ≠0. Поскольку-непрер. в т.z₀, сущ. окр-ть V(z₀,), в котор.≠0, тогда вV(z₀,), (=min {,}) ф-ияобращается в нуль в т.z₀, что противоречит опред. т. z₀ как предел. т. множ-ва, на кот. f=0. Т.о., все коэф. разлож-ия ф. f в ряд Тейлора в окр-ти V(z₀,) равны 0 иf=0 в окр-ти V(z₀,). Пустьz^*-любая фиксир. т. в обл-ти G. Соединим z₀ и z^*ломанной L с G с конеч. числом звеньев. Пусть d – расст. L до . Рассм-м кругU_s=U(z_s,()c центром в т. z_s. z₀,z₁,…,z_n выберем на L так, чтобы z_s+1, а т. z^* c U_n. Тогда f=0 в каждой из этих окр-ей в U_s, s=0,1,…n. Дей-но, при s=0 утв. уже доказано. Предположим, что f=0 в круге U_s (s≤n-1), центр z_s+1 круга U_s+1 содерж. в U_s , и, сл-но, явл. предел. точкой для бескон. мн-ва, на кот. f=0. Согласно доказанному, сл-т, что f=0 в U_s+1 + в U_n, f(z^*)=0.

Сл-ие: Если ф-ии f и g, голомор. в обл. G, равны на беск. мн-ве. т., имеющ. предел т. G, то f=g в G.