- •Федеральное государственное образовательное учреждение
- •Высшего профессионального образования
- •«Сибирский федеральный университет»
- •Методическое пОсобие по дисциплиНе
- •B c
- •Занятие 2 Базис, координаты векторов
- •Занятие 3 Системы координат на плоскости и в пространстве
- •Занятие 4 Проекции. Скалярное произведение векторов
- •Занятие 5 Векторное и смешанное произведение векторов
- •Занятие 6 Замена декартовой системы координат
- •Модуль II занятие 7 Общее понятие об уравнениях линий и поверхностей
- •Занятие 8 Уравнения прямых на плоскости
- •Занятие 9 Плоскость в пространстве
- •Занятие 10 Прямые в пространстве
- •Модуль III занятие 11 Основные типы нераспадающихся кривых второго порядка на плоскости
- •Занятие 12 Классификация кривых второго порядка на плоскости
- •Занятие 13 Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •.M(X,y,z)z
- •O y
- •Модуль IV занятие 14 Преобразования плоскости
- •Занятие 15 Афффинные преобразования и классификация поверхностей второго порядка
- •Занятие 16 Элементы вычислительной геометрии. Триангуляция Делоне
- •Занятие 17 Элементы вычислительной геометрии. Диаграмма Вороного
Занятие 9 Плоскость в пространстве
Основные типы уравнений плоскости
Векторно-параметрическое уравнение плоскости:
. (9)
Общее уравнение плоскости:
Ax+By+Cz+D=0. (10)
Нормальное уравнение плоскости:
x cos+ycos+zcos-p = 0, (11)
где – координаты вектора единичной длины, перпендикулярного к плоскости.
Уравнение в отрезках на осях имеет вид .
Примечание: Уравнения (11) и уравнение в отрезках на осях являются частными разновидностями уравнения (10).
Основные определения
Пучком плоскостей в пространстве назовем совокупность плоскостей, проходящих через фиксированную прямую, либо попарно параллельных.
Связкой плоскостей в пространстве назовем совокупность плоскостей в пространстве, проходящих через фиксированную точку.
Пусть плоскость параллельна двум неколлинеарным векторам и и проходит через точку с радиус-вектором . Тогда уравнение плоскости имеет вид
,
где – радиус-вектор текущей точки плоскости, u, v – числовые параметры, принимающие действительные значения.
Если плоскость параллельна двум неколлинеарным векторам ии проходит через точкуМ(х0, у0, z0), то координатно-параметрические уравнения этой плоскости имеют вид
где .
Общее уравнение плоскости имеет вид
Ах + By + Cz + D = 0,
где A2+B2+C2=0.
Если плоскость перпендикулярна ненулевому вектору и проходит через точку, радиус-вектор которой, то уравнение этой плоскости можно представить в виде
,
где – радиус-вектор текущей точки плоскости .
Если система координат в пространстве прямоугольная, р – расстояние от начала координат до плоскости и – углы между лучом, проведенным от начала координат перпендикулярно к плоскости , и осями координат OX, OY, OZ соответственно, то общее уравнение плоскости может быть записано в виде
.
Если плоскость проходит параллельно двум неколлинеарным векторам и – через точку, радиус-вектор которой , то уравнение плоскости с помощью смешанного произведения векторов можно задать в виде
Если плоскость пересекает оси OX,OY,OZ в точках (а, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с) соответственно и , то общее уравнение прямой можно записать в виде
Если в пространстве заданы точки A(x0, y0, z0), B(x1,y1, z1), C(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой, то уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, можно записать в виде
.
Если плоскость задана общим уравнением Ах+By+Cz+D=0, то необходимым и достаточным условием параллельности плоскости и вектора будет следующее:
Al+Bm+Cn=0.
Плоскости и , задаваемые уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 соответственно, будут параллельны тогда и только тогда, когда существует такое, что A1=, B1=, C1=C.
Если и D1=D, то и совпадают.
Пусть две плоскости (и) принадлежат одному пучку. Тогда любая плоскость этого пучка задается уравнением
.
Если плоскость задана в прямоугольных координатах уравнением Ax+By+Cz+D=0, то вектор перпендикулярен к плоскости.
Примечание. Аналогичное утверждение нетрудно сформулировать относительно взаимного расположения двух точек и плоскости в пространстве.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы уравнения плоскостей и : и. Тогда наименьший из углов между плоскостями и можно определить из формулы
.
Пусть в прямоугольной системе координат задан вектор и плоскость : Ax+By+Cz+D=0. Тогда угол между вектором и плоскостью удовлетворяет уравнению
.
Задача 74. Точка лежит в плоскости, векторимеет координаты. Доказать, что точкалежит в положительном полупространстве относительно данной плоскости.
Задача 75. 1) Зная параметрические уравнения плоскости:
, составить ее общее уравнение.
2) Зная общее уравнение плоскости , составить ее параметрические уравнения.
Задача 76. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости:
1)
2)
3)
4)
5) .
Задача 77. Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку и равноудаленных от трех точеки.
Задача 78. В пучке, определяемом плоскостями инайти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку
Задача 79 (с решением). В прямоугольной системе координат заданы плоскости π и π
x-2y+z+4=0, 2x+y–z–7=0.
Найти уравнение биссекторной плоскости π того двугранного угла, образованного ππ, которому принадлежит точка (1,1,1).
Решение. Искомую плоскость π образуют те точки M(x,y,z), которые равноудалены от π и π и лежат в одном с точкой M квадранте,
M0(x,y,z)
образованном плоскостями πи π. Расстояниеиот точкиM(x,y,z) до плоскостей πи π находятся по формулам
ρ=
но точки М0 и M одинаково расположены относительно плоскостей π и π2, поэтому
Следовательно,
ρ=, ρ=
и из условия ρ= ρ получаем
3x-y-3=0.
Задача 80. Найти угол между плоскостями:
1) и
2) и
Задача 81. Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями ивнутри которого лежит точка