- •Федеральное государственное образовательное учреждение
- •Высшего профессионального образования
- •«Сибирский федеральный университет»
- •Методическое пОсобие по дисциплиНе
- •B c
- •Занятие 2 Базис, координаты векторов
- •Занятие 3 Системы координат на плоскости и в пространстве
- •Занятие 4 Проекции. Скалярное произведение векторов
- •Занятие 5 Векторное и смешанное произведение векторов
- •Занятие 6 Замена декартовой системы координат
- •Модуль II занятие 7 Общее понятие об уравнениях линий и поверхностей
- •Занятие 8 Уравнения прямых на плоскости
- •Занятие 9 Плоскость в пространстве
- •Занятие 10 Прямые в пространстве
- •Модуль III занятие 11 Основные типы нераспадающихся кривых второго порядка на плоскости
- •Занятие 12 Классификация кривых второго порядка на плоскости
- •Занятие 13 Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •.M(X,y,z)z
- •O y
- •Модуль IV занятие 14 Преобразования плоскости
- •Занятие 15 Афффинные преобразования и классификация поверхностей второго порядка
- •Занятие 16 Элементы вычислительной геометрии. Триангуляция Делоне
- •Занятие 17 Элементы вычислительной геометрии. Диаграмма Вороного
.M(X,y,z)z
.
Mm
O y
X
Задача 104.( с решением) Выяснить, какие линии получаются при сечении поверхности однополостного гиперболоида
плоскостью x=const, z=const.
Решение. При z=const= z0 получаем в сечении эллипс
в случае z0=0 так называемый горловой эллипс
Рассмотрим теперь сечение плоскостью x=const=x0.Если , то получаем гиперболу с действительной осьюOY
. При x0=2 получаем уравнение двух прямых., целиком лежащих на поверхности гиперболоида
Если , то имеем гиперболу с действительной осьюOZ
Примечание. В случае, если плоскость координат не параллельна координатной плоскости, для определения вида кривой второго порядка, получающейся в сечении, надо перейти в прямоугольную систему координат, связанную с секущей плоскостью.
Задача 105. Написать уравнение сферы:
1) с центром в точке и радиусом;
2) с центром в точке и радиусом 1.
Задача 106. Найти ось вращения поверхности, изобразить поверхность
Задача 107. Найти уравнение поверхности, получаемой вращением параболы
1) вокруг оси ; 2) вокруг оси
Задача 108. (с решением) Доказать, что уравнение в декартовой прямоугольной системе координат является уравнением прямой круговой цилиндрической поверхностис образующими, параллельными осиOZ, причем плоскость XOY пересекает эту поверхность по окружности C радиуса a с центром в начале координат.
Решение. В самом деле, координаты точки M(x,y,z) удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда координатыпроекции точкиM на плоскость XOY удовлетворяют этому уравнению, а это значит, что точка M лежит на поверхности, заданной уравнением тогда и только тогда, когда ее проекцияна плоскостьXOY лежит на окружности C .
Значит, есть уравнение цилиндрической поверхности,
описанной выше.
Задача 109. Найти уравнение прямого кругового цилиндра радиуса с осью
Задача 110. Найти уравнение конуса с вершиной в точке касающегося сферы.
Задача 111. Найти уравнение конуса с вершиной в точке и направляющей – окружностью.
Задача 112. Найти прямолинейные образующие параболоида , пересекающиеся в точке.
Задача 113. Найти центр и радиус окружности
Задача 114. ( с решением). Выяснить, какие линии получаются при сечении поверхности однополостного гиперболоида
плоскостью x=const, z=const.
Решение. При z=const= z0 получаем в сечении эллипс
в случае z0=0 так называемый горловой эллипс
Рассмотрим теперь сечение плоскостью x=const=x0.. Если , то получаем гиперболу с действительной осьюOY
. При x0=2 получаем уравнение двух прямых., целиком лежащих на поверхности гиперболоида
Если , то имеем гиперболу с действительной осьюOZ
Примечание. В случае, если плоскость координат не параллельна координатной плоскости, для определения вида кривой второго порядка, получающейся в сечении, надо перейти в прямоугольную систему координат, связанную с секущей плоскостью.
Модуль IV занятие 14 Преобразования плоскости
Основные определения
Отображение множестваX в множество У – это правило, которое каждому элементу сопоставляет единственный элемент, называемый образом элемента х при отображении . МножествоX называется областью определения, а множество У - областью значений отображения . Совокупностьf(X) образов всех элементов называется множеством значений отображенияf (образом множества X при отображении f).
Отображение называется преобразованием множестваX. Ограничением отображения на подмножественазывается отображениесовпадающее сf на М.
Отображение называется вложением (или инъективным отображением), если изследуетОтображениеf называется наложением (или сюръективным отображением), если . Отображениеf называется взаимно однозначным отображением X на Y (или биективным отображением), если оно является вложением и наложением.
Произведением отображений иназывается отображение, определяемое равенством. Произведениеgf определено, если множество значений отображения f входит в область определения отображения g.
Тождественное преобразование i множества X определяется равенством i(x) = х для любого элемента .
Отображение называется обратным к отображениюи обозначается, если для любых,справедливы равенства. Обратное отображение существует, еслиf является взаимно однозначным: , гдех - единственный элемент из X, такой, что f(x) = y.
Прообразом элемента (в геометрии - точки) при отображенииназывается любой элементтакой, чтоf(x) = y. Полным прообразом множестваназывается совокупность всех прообразов всех элементов изS.
Точка называется неподвижной точкой преобразования, еслиf(x) = х. Множество называется неподвижным относительно преобразованияf, если все его точки неподвижны. Множество M называется инвариантным относительно преобразования f, если для любой точки . также. Любое неподвижное множество инвариантно, обратное неверно.
В задачах этого занятия угол поворота плоскости при заданном базисе на плоскости отсчитывается в направлении кратчайшего поворота от первого базисного вектора ко второму.
Задача 114. Дано линейное преобразование числовой прямой , (a,b – действительные числа). Доказать, что
1) f взаимнооднозначно тогда и только тогда, когда ;
2) f сохраняет направление векторов на прямой при и меняет на противоположное при.
3) при образом интервала длины является интервал длины .
Задача 115. Написать формулу, задающую линейное преобразование интервала на интервалчисловой прямой.
Задача 116. Преобразование f плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: .
1) Является ли преобразование f а): наложением; б): взаимно однозначным?
2) Найти полный прообраз произвольной точки плоскости .
Задача 117. Написать формулу, задающую линейное отображение интервала (a,b) на интервал (с, д) числовой прямой.
Задача 118. Найти радиус-вектор образа произвольной точки М(г) при данном преобразовании плоскости:
1) гомотетия с центром в точке и коэффициентом]
2) центральная симметрия относительно точки ;
3) параллельный перенос на вектор ;