![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Пример 2.8
Найти полное
приращение и полный дифференциал функции
в точке
,
если.
а)
;
б)
;
в)
.
Оценить погрешность замены полного приращения дифференциалом в каждом из этих случаев.
Решение. Найдем полное приращение и полный дифференциал данной функции в точке М для произвольных значений приращений аргументов.
По определению,
полное приращение функции
равно
,
тогда в точке
,
т.е. при
получим
.
Полный дифференциал функции в точке М, согласно информации 2.2.4, равен
,
где
.
Найдем частные производные функции
:
,
,
откуда
,
.
Тогда дифференциал данной функции в
точке М
равен
.
Для вычисления абсолютной погрешности и относительной погрешности будем использовать формулы:
,
.
Тогда для каждой из заданных в условии задачи пар значений приращений аргументов получим следующие результаты.
а)
При
имеем
,
(т.к.
).
Отсюда абсолютная
погрешность замены полного приращения
функции ее дифференциалом будет равна
,
а относительная погрешность
.
б)
При
имеем
,
Тогда абсолютная
погрешность замены полного приращения
дифференциалом равна ,
а относительная погрешность
.
в)
При
получим
,
Тогда абсолютная
погрешность замены приращения
дифференциалом равна ,
а относительная погрешность –
.
Замечание.
Если сравнить
величины погрешностей
и
соответственно в каждом из случаем а)
– в), то можно установить, что они
уменьшаются с уменьшением приращений
.
Это подтверждает тот факт, что при
достаточно малых приращениях
аргументов выполняется приближенное
равенство
, поэтому полное
приращение можно приближенно заменять
дифференциалом. Этот прием широко
используется в приближенных вычислениях.
Пусть некоторая
величина z
является
функцией двух переменных х
и у:
.
Определяя каким-либо образом (приближенные)
значения величин
и
,
мы допускаем погрешности
и
,
т.е. истинные значения х
и у соответственно
равны
и
.
Тогда значение величины
,
вычисленное по приближенным значениям
х0
и у0
аргументов, получается с погрешностью
.
Как оценить величину
этой погрешности, если известны
погрешности
и
аргументов?
Так как для малых
справедливо приближенное равенство
,
то
,
откуда
.
Величину
называют
максимальной абсолютной погрешностью,
а величину
– максимальной
относительной погрешностью,
которую обычно выражают в процентах.
Пример 2.9
Вычислить приближенно
,
исходя из значения функции
в точке
.
Оценить абсолютную и относительную
погрешность такого приближения..
Решение.
Искомое
значение
будем рассматривать как значение функции
в точке с координатами
,
где
,
,
,
.
Воспользуемся приближенным равенством
(информация 2.2.5)
В нашем случае
,
,
,
.
Тогда
.
Максимальная абсолютная погрешность вычислений составляет
,
а максимальная относительная погрешность равна
.
Пример 2.10
Линеаризовать функцию в окрестности заданной точки.
а)
,
;
б)
,
.
Решение. а) Используем формулу линеаризации (2.5) (информация 2.2.5)
.
В нашем случае
точка
– это точка
.
тогда
.
Найдем частные производные заданной функции
,
.
Вычислим значения
этих производных в точке
:
,
.
Тогда по формуле (2.5) имеем
,
или, после преобразований,
,
т.е. трансцендентная
функция
в окрестности точки
может быть заменена приближенно равной
ей линейной функцией
Вид этой линейной функции можно упростить,
если взять
,
получим
.
б)
Аналогично линеаризуем функцию
в точке
.
Заметим только, что в соответствии с
последовательностью переменных в
определении функции
,
значения этих переменных в точке В
таковы:
.
Запишем формулу линеаризации (2.5) в соответствии с обозначением данной функции:
,
где
– произвольная точка из окрестности
точки
.
В нашем случае М0
– это точка
.
Находим последовательно:
,
,
,
.
Тогда данная функция может быть приближенной заменена линейной так
,
или, после преобразований,
.