Индивидуальное задание
Номера задач к вариантам
Часть 1
Вариант |
Номера задач, которые нужно решить | |||||||||
1 |
1.1 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
6.1 |
7.1 |
8.1 |
9.1 |
10.1 |
2 |
1.2 |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
6.2 |
7.2 |
8.2 |
9.2 |
10.2 |
3 |
1.3 |
2.3 |
3.3 |
4.3 |
5.3 |
6.3 |
7.3 |
8.3 |
9.3 |
10.3 |
4 |
1.4 |
2.4 |
3.4 |
4.4 |
5.4 |
6.4 |
7.4 |
8.4 |
9.4 |
10.4 |
5 |
1.5 |
2.5 |
3.5 |
4.5 |
5.5 |
6.5 |
7.5 |
8.5 |
9.5 |
10.5 |
6 |
1.6 |
2.6 |
3.6 |
4.6 |
5.6 |
6.6 |
7.6 |
8.6 |
9.6 |
10.6 |
7 |
1.7 |
2.7 |
3.7 |
4.7 |
5.7 |
6.7 |
7.7 |
8.7 |
9.7 |
10.7 |
8 |
1.2 |
2.3 |
3.4 |
4.5 |
5.6 |
6.7 |
7.1 |
8.2 |
9.3 |
10.4 |
9 |
1.1 |
2.2 |
3.3 |
4.4 |
5.5 |
6.6 |
7.7 |
8.1 |
9.2 |
10.3 |
10 |
1.3 |
2.4 |
3.5 |
4.6 |
5.7 |
6.1 |
7.2 |
8.3 |
9.4 |
10.5 |
11 |
1.4 |
2.5 |
3.6 |
4.7 |
5.1 |
6.2 |
7.3 |
8.4 |
9.5 |
10.6 |
12 |
1.5 |
2.6 |
3.7 |
4.1 |
5.2 |
6.3 |
7.4 |
8.5 |
9.6 |
10.7 |
13 |
1.6 |
2.7 |
3.1 |
4.2 |
5.3 |
6.4 |
7.5 |
8.6 |
9.7 |
10.1 |
14 |
1.7 |
2.1 |
3.2 |
4.3 |
5.4 |
6.5 |
7.6 |
8.7 |
9.1 |
10.2 |
15 |
1.1 |
2.3 |
3.6 |
4.7 |
5.5 |
6.3 |
7.2 |
8.1 |
9.7 |
10.6 |
16 |
1.5 |
2.4 |
3.3 |
4.5 |
5.7 |
6.6 |
7.7 |
8.5 |
9.3 |
10.1 |
17 |
1.2 |
2.7 |
3.5 |
4.3 |
5.1 |
6.1 |
7.2 |
8.4 |
9.7 |
10.4 |
18 |
1.3 |
2.5 |
3.7 |
4.3 |
5.5 |
6.7 |
7.1 |
8.3 |
9.5 |
10.7 |
19 |
1.4 |
2.3 |
3.5 |
4.7 |
5.6 |
6.3 |
7.6 |
8.7 |
9.5 |
10.3 |
20 |
1.5 |
2.7 |
3.6 |
4.5 |
5.4 |
6.7 |
7.6 |
8.4 |
9.7 |
10.6 |
Часть 2
Вариант |
Номера задач, которые нужно решить | ||||
1 |
1.1 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
2 |
1.2 |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
3 |
1.3 |
2.3 |
3.3 |
4.3 |
5.3 |
4 |
1.4 |
2.4 |
3.4 |
4.4 |
5.4 |
5 |
1.5 |
2.5 |
3.5 |
4.5 |
5.5 |
6 |
1.6 |
2.6 |
3.6 |
4.6 |
5.6 |
7 |
1.7 |
2.7 |
3.7 |
4.7 |
5.7 |
8 |
1.2 |
2.3 |
3.4 |
4.5 |
5.6 |
9 |
1.1 |
2.2 |
3.3 |
4.4 |
5.5 |
10 |
1.3 |
2.4 |
3.5 |
4.6 |
5.7 |
11 |
1.4 |
2.5 |
3.6 |
4.7 |
5.1 |
12 |
1.5 |
2.6 |
3.7 |
4.1 |
5.2 |
13 |
1.6 |
2.7 |
3.1 |
4.2 |
5.3 |
14 |
1.7 |
2.1 |
3.2 |
4.3 |
5.4 |
15 |
1.1 |
2.3 |
3.6 |
4.7 |
5.5 |
16 |
1.5 |
2.4 |
3.3 |
4.5 |
5.7 |
17 |
1.2 |
2.7 |
3.5 |
4.3 |
5.1 |
18 |
1.3 |
2.5 |
3.7 |
4.3 |
5.5 |
19 |
1.4 |
2.3 |
3.5 |
4.7 |
5.6 |
20 |
1.5 |
2.7 |
3.6 |
4.5 |
5.4 |
Часть 1.
Найти значения функции в указанных точках
, М1(1, 2, –3), М2(а,, –), М3(1+t1, 2, 2–t3).
U(х1,х2,х3,х4) =х1+х3– 3х2х4, М(1, 2, 2, –1), Р(, –,а,b), К(1–х1, 2, 0, 2+х4).
U(t1,t2,t3) = –3t22+t1t3, М(1, –1, –3), Р(а,b, –b), К(2, 3–t2, 1+t3).
W(t,z,v) = 3t2+ 2z2–v, М(, 1, –2), Р(с, , ), К(0, 1+z, 2–v).
, А(2, 3), В(,х), С(1 –t1, 1+t2).
, А(2, 3), В(х,), С(1 +t1, 2–t2).
, А(2, –1), В(,у), С(1 +р1, 2–р2).
Найти область определения функции. Сделать чертеж.
2.1. а) б)
2.2. а) б)
2.3. а) , б)
а) б).
а) б)
а) z=arcsin(x+2у) б)
а) z=arcсоs(x2+2у) б)
3. Некоторую деталь можно изготовить на двух станках. В таблице указаны количество единиц сырья (затраты) и количество деталей, изготовленных из этого сырья (производительности) для каждого из станков, а также обозначение функции, выражающей общую производительность станков. Требуется задать эту функцию аналитически и построить три линии уровня этой функции.
-
№
задачи
Затраты сырья (ед)
Производительность
(деталей/ед. времени)
Обозначение общей производительности
На 1
станке
На 2
станке
1 станка
2 станка
3.1.
х1
х2
2х1+х12
х22
Z(x1, x2)
3.2
t1
t2
t12
t22 + 2t2
V(t1, t2)
3.3
р1
р2
р12
4р2+р22
Z(р1, р2)
3.4
у1
у2
4у12
у22 – 4
Р(у1, у2)
3.5
т1
т2
2т12
т22+ 1
Р(т1, т2)
3.6.
z1
z2
z1–4
z22 +2z2
V(z1, z2)
3.7.
п1
п2
п12 – 6
2п22–2
W(n1, n2)
4. Определить поверхности уровня заданной функции и построить одну из них.
U = 2х+ 3у +z.
U = х2+у2+z2
U = х2+у2+3z2
U = х2+у2–4z
U = –х+у2+z2
U = х2–у2+z2, U >0.
U = х2+у2–4
5. а) Найти все частные производные первого и второго порядков заданной функции;
б) Найти точки в которых обе частные производные первого порядка от заданной функции равны нулю;
в) Показать, что заданная функция удовлетворяет указанному уравнению.
5.1. а) z= (х+ 2у)3; б)z= 1+ 6х–ху–у2; в),
а) ; б)и=х2+ 2у2– 3ху– 4х+ 2у; в)и=arctg(2x–t) , .
а) ; б)и= 2х2+у2– 3ху– 4у+ 2х; в)u=sin(x–at)+,
а) ; б)f = 3х12+3х22– 6х1– 2х23; в),.
а) r=s2t+sin(2s+3t); б)f= 3х12–х13+ 4х2+3х22; в),.
а) ; б)f=х22+х13–3х1+4; в)z =ln(x2+y2+2y+1), .
а) , б)f=t23+t13–3t1+4; в)z=ln(x2+y2+ 2x+1), .
6. Дана функция и точка из области определения этой функции. Найти:
а) градиент функции в данной точке;
б) производную функции в данной точке в указанном направлении;
в) указать физический смысл полученных величин.
6.1. z = 2x2 + 3xy + y2, М(1, 1),S = 4+3;
z = ln(x2 + 3y2), М(1, 1) ,S = (3, 2);
z = x3 – 3x2y + 1, М(3, 1), S = –3+4;
z=arctgxy, А(1, 1) , в направлении найденного градиента;
и = xy2z2, М(1, 2, 1) ,а = 4+3+k;
, А(3,), в направлении биссектрисы первого координатного угла.
, М(4,–3), в направлении биссектрисы второго координатного угла.
7. Линеаризовать данную функцию в окрестности точки М.
, М(1, 1, 1)
, М(1, 0, 0).
Z(x, t) = lg(x2 +2t2 +1),М(3,0).
, М(1, 1).
, М(2, 1).
, М(2,1).
, М(1,2).
8. Найти полный дифференциал и полное приращение заданной функции в точке А при заданных приращениях аргументов. Оценить погрешность замены полного приращения функции ее полным дифференциалом.
z = x2y, А(2, 3),х= 0,1,у= 0,2.
z = x2 – хy, А(2, 2),х= 0,1,у= –0,1.
z = x2 +2y2, А(2,1) ,х= –0,1,у= 0,2.
z = x2(y –1), А(1, 1),х= 0,1,у= 0,2.
z = 2у(х +1), А(4, 3),х= 0,2,у= –0,1.
, А(2, 1), х= 0,4,у= 0,2.
, А(1,2), х= 0,2,у= 0,4.
9. Проверить, лежит ли точка М на заданной поверхности. Если да, найти уравнение касательной плоскости к данной поверхности в этой точке. Построить плоскость.
М(1, 1, 3), z = 1 + х2+у2.
М(1, 1, 3), z = 2х2+у2.
М(1,–2, 5), z = х2+у2.
М(2, 2, 1), z = cos(х3–у3).
М(2, 2, 3), х2+у2 –z2 = –1.
М(2, 0, 2), z – y2 += 2.
М(2, 1, 3), z – х2+у2 = 0.
10. Указать физический смысл частных производных первого порядка описанной функции.
Объем газа Vесть функция его температурыtи давленияр:V=V(t,p).
Температура Т точки остывающего стержня есть функция расстояния хточки от начала координат и времениt: Т = Т(х,t)/
Температура Т воздуха в некоторой точке земной поверхности есть функция трех переменных: долготы точки, ее широтыи момента времениt, т.е. Т = Т(,,t).
Прогиб Uколеблющейся струны в точке М, находящейся на расстояниихот начала струны, в момент времениtявляется функцией этих величин:U=U(x,t).
Прогиб Uколеблющейся пластины в каждой ее точке М(х,у) является функцией координат точки и времениt:U=U(x,y,t).
Длина стороны атреугольника выражается через противоположный угол и длины других сторон по формуле, т.е. является функцией переменныхb,с,.
Площадь Sтреугольника есть функция двух его сторон аиbи периметра 2р: .