- •Министерство образования рф Сибирский государственный технологический
- •Пояснительная записка
- •3 Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам ……………………………..………………….19
- •3.4 Оценка качества переходного процесса …………….……………………..31
- •4.2 Расчет параметров корректирующего устройства ………………………..37
- •Анализ линейной системы автоматического регулирования
- •3 Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам
- •3.4 Оценка качества переходного процесса
- •4.1 Принципиальная схема корректирующего устройства
- •4.2 Расчет параметров корректирующего устройства
Анализ линейной системы автоматического регулирования
1 Преобразование структурной схемы.
На систему автоматического регулирования действует задающее и возмущающее воздействия (рисунок 1). Для системы, работающей по возмущающему воздействию, g(р) равна нулю, следовательно, структурная схема имеет следующий вид:
Рисунок 2 - Эквивалентная схема
На рисунке 2 приняты следующие условные обозначения:
W5,7(p)=W5(p)W7(p) – передаточные функции элементов прямой цепи;
W1-4(p)=W1(p)W2(p)W3(p)W4(p) - передаточные функции элементов прямой цепи;
W6(p) - передаточная функция возмущающего воздействия;
W8(p)=1/W6(p)
Находим передаточную функцию для разомкнутой цепи:
Wр(p) =W1-4(p)W5-7(p),
. (1.1)
Подставим числовые значения в выражение (1.1):
.
Находим передаточную функцию для замкнутой цепи с обратной единичной связью:
Wп(p) =W6(p)W5-7(p)
. (1.2)
Подставим числовые значения в выражение (1.2):
.
2 Исследование системы на устойчивость
2.1 Критерий Гурвица
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтоб главный определитель матрицы Гурвица и все его диагональные миноры были не отрицательны.
Критерий Гурвица предполагает исследование замкнутой системы по ее характеристическому многочлену:
По коэффициентам этого многочлена составляем квадратную матрицу следующего вида:
.
Найдм главный и диагональные миноры:
,
,
,
.
Так как система не устойчива найдём критический коэффициент усиления, при котором система будет на границе устойчивости. Критический коэффициент находят из уравнения Δ n-1 = 0.
(1.3)
Подставляя значения в (1.3) получаем Ккр = 1.48
Вывод: Данная система в замкнутом состоянии является не устойчивой, т.к. не все определители матрицы Гурвица положительны.
2.2 Критерий Рауса
Для определения устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы, Раус предложил правило оформленное в виде таблицы:
Таблица 1 - Таблица Рауса
а0 |
а2 |
а4 |
а6 |
|
а1 |
а3 |
а5 |
a7 |
|
a1a2-a0a3 b1= a1 |
а1a4-a0a5 b2= a1 |
a1a6-a0a7 b3= a1 |
а1a8-a0a9 b4= a1 |
|
b1a3-a1b2 c1= b1 |
b1a5-a1b3 c2= b1 |
b1a7-a1b4 c3= b1 |
b1a9-a1b5 c4= b1 |
|
c1b2-b1c2 d1= c1 |
с1b3-b1c3 d2= c1 |
c1b4-b1c4 d3= c1 |
c1b5-b1c5 d4= c1 |
|
|
|
|
|
|
Выписываем характеристический многочлен и вычисляем коэффициенты таблицы Рауса:
Таблица 2 - Коэффициенты таблицы Рауса
7,36*10-4 |
0,332 |
14,175 |
3,008*10-2 |
1 |
0 |
0,308 |
14,175 |
0 |
-0,386 |
0 |
0 |
14,175 |
0 |
0 |
Вывод: Данная система в замкнутом состоянии является не устойчивой, т.к. не все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны.
2.3 Критерий Михайлова
Для устойчивости АСР n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начав движение от вещественной положительной оси комплексной плоскости, обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль.
Выписываем характеристическое уравнение замкнутой АСР:
Производим подстановку р = (j):
7,36*10-4(j)4+3,008*10-2(j)3+ 0,332(j)2+ (j)+ 14,175 = 0.
Выделяем вещественную и мнимую часть многочлена:
P() + jQ() = (7,36*10-44 – 0,3322+14,175) + j( - 3,008*10-23).
Задаём значения 0 и считаем P(), Q():
Таблица 3 - Данные для построения годографа Михайлова
|
0 |
1 |
4 |
8 |
16 |
20 |
24 |
P() |
14,175 |
13,844 |
9,051 |
-4,058 |
-22,58 |
-0,865 |
67,13 |
Q() |
0 |
0,97 |
2,075 |
-7,4 |
-107,2 |
-220,6 |
-391,8 |
|
28 |
32 |
36 |
40 |
60 |
∞ |
|
P() |
206,27 |
445,96 |
820,1 |
1367,1 |
8357,5 |
+∞ |
|
Q() |
-632,3 |
-953,7 |
-1367 |
-1885 |
-6437 |
-∞ |
|
По данным таблицы 3 строим годограф Михайлова (рисунок 3).
Рисунок 3 - Годограф Михайлова
Рисунок 4 - Увеличенный участок на годографе Михайлова
Рисунок 5 - Увеличенный участок на годографе Михайлова
Рисунок 6 - Увеличенный участок на годографе Михайлова
Вывод: Данная система в замкнутом состоянии является не устойчивой, т.к. годограф Михайлова, начав движение от вещественной положительной оси комплексной плоскости (рисунок 4 – 6), обошёл в положительном направлении (против часовой стрелки) лишь 3 квадранта.
2.4 Критерий Найквиста
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутого контура САР.
Записываем передаточную функцию разомкнутой АСР:
. (1.4)
Делаем замену р = (j) и подставляем в уравнение (1.4):
.
Выделяем в знаменателе действительную и мнимую часть и домножаем на сопряженное:
.
Выписываем вещественную и мнимую части:
,
.
По данным таблицы 4 строим годограф Найквиста (рисунок 4).
Таблица 4 - Данные для построения годографа Найквиста
|
0 |
2 |
4 |
6 |
10 |
20 |
30 |
40 |
P() |
0 |
-3,865 |
-2,337 |
-1,286 |
-0,342 |
-0,004 |
0,006 |
0,003 |
Q() |
0 |
-5,166 |
-0,963 |
0,058 |
0,266 |
0,064 |
0,016 |
0,005 |
|
50 |
60 |
70 |
140 |
150 |
∞ |
60 |
60 |
P() |
0,002 |
0,0012 |
0,0006 |
0,00005 |
0,00004 |
+0 |
0,0012 |
0,0012 |
Q() |
0,0018 |
0,0008 |
0,0004 |
0,00001 |
0,00001 |
-0 |
0,0008 |
0,0008 |
Рисунок 7 - Годограф Найквиста
Рисунок 8 - Увеличенный участок годографа Найквиста
Вывод: Разомкнутая система является не устойчивой, т.к. АФЧХ (рисунок 7 – 8) системы охватывает точку с координатой (-1,j0).
2.5 Логарифмический критерий
Записываем передаточную функцию разомкнутой системы:
.
Определяем значения сопрягающих частот:
, ,. (1.4)
, ,.
ωк=к1к2к3к4к5 , ωк=14,175
Фазочастотная характеристика разомкнутой системы:
суммарная
(1.5)
для каждого звена
;
(1.6)
Используя формулы (1.4), (1.5), (1.6) заполняем таблицу 5.
Таблица 5 - Данные для построения ЛФЧХ разомкнутой системы
|
3 |
4 |
5 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
-1,57 |
1 |
-0,197 |
-0,092 |
-0,04 |
-1,9 |
5 |
-0,785 |
-0,431 |
-0,197 |
-2,985 |
10 |
-1,107 |
-0,744 |
-0,381 |
-3,802 |
10,87 |
-1,14 |
-0,785 |
-0,41 |
-3,906 |
25 |
-1,373 |
-1,161 |
-0,785 |
-4,89 |
100 |
-1,521 |
-1,463 |
-1,326 |
-5,88 |
1000 |
-1,566 |
-1,56 |
-1,546 |
-6,242 |
Рисунок 9 - Логарифмическая частотная характеристика разомкнутой системы
Вывод: Система является астатической, т.к. в передаточной функции разомкнутой системы присутствует интегрирующее звено. Из логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы (рисунок 9) видно, что система не устойчива.