Динамика, обозначения и единицы измерения.

F -Сила , ньютон, кг, грамм; m - Масса, кг, грамм.

а – Ускорение линейное метр/сек; t - Время; сек, часы.

P – Импульс, кг*м/сек; Е - Энергия джоуль. Эрг

G - Гравитационная постоянная, 6,67 10 м

S – Путь; метр, км, см, мм . V – Скорость; метр/сек, км/час

- Угловая скорость вращающегося тела; радиан / сек

 -Угловое положение вращающегося тела; радианы или градусы от начала отсчета.

r - Расстояние между телами, м, см, км; R - Радиус Земли, других планет, км.

Дифференциальная форма формул Ньютона

Мгновенные значения. V =lim S /t ( при t0) = dS/dt;

a = dV/dt = dS/dt; F = m *dV/dt

Интегральная формулы для пути –S, скорости-V, импульса –P, работы -A.

S =V dt; V =a dt; P =F dt; A =F ds;

F = m*a , Второй закон Ньютона, или F = m *dv / dt в дифференциальной форме.

P = m *V, Величина импульса

F * t = m*V2 - m *V1 = p2 –p1, где V2 и V1 конечная и начальная скорости

F = G * m1*m2 / r , Закон всемирного тяготения, притяжение масс m1,m2

При расстоянии между ними - r

F = m*V/R - Центробежная сила при движении по окружности радиуса R. Прировняв силу притяжения и центростремительную силу массы летающей вокруг Земли, m*g = m*V/R найдем первую космическую скорость V = = 8,2 км/сек, Тело брошенное с такой скоростью к горизонту станет спутником Земли.

Ек = m *V / 2 Кинетическая энергия тела

Еп = m*g*R Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли.

Прировняв потенциальную и кинетическую энергию тела, найдем вторую космическую скорость, при которой тело преодолевает тяготение Земли, становится спутником Солнца, т.е. планетой.

m V / 2= mgR, Отсюда V =2 g*R, или V = = 11,2 км/сек

На основе закона сохранения количества движения основано реактивное движение. Уравнения реактивного движения тел с переменной массы И.В. Мещерского для задачи К.Э. Циолковского показывают, что максимальная скорость, приобретаемая ракетой –V определяется формулой

V = Vr * Ln(Mo/Mн). Где Vr–скорость истечения реактивной струи, Ln(Mo/Mн) – натуральный логарифм отношения полной массы Мо к массе полезной нагрузки Мн.

Максимальная высота -H достигаемая ракетой в поле тяготения Земли:

H = (Ln(Mo/Mн) * Vr) ^2 / 2 g ( Обозначения см. выше)

При этом предполагается, что все топливо сгорит мгновенно и подниматься будет только полезная нагрузка. Естественно, что значительная часть топлива будет израсходовано на подъем самого топлива и оболочки ракеты, и реально достигаемая высота будет значительно меньше. Интересно отметить, что при отношении стартового веса ракеты к полезной нагрузке не менее 50 , скорость истечения реактивной струи должна быть 2-5 раз быстрее пули, чтобы запустить спутник Земли!

Приложения законов механики, гидродинамика, колебания и волны.

Приложения к лекциям м.Ф. Шабанова. Лекция № 5

5.1 Гидродинамика, стационарное и турбулентное течение, капилляры.

Течение жидкости. Идеальной называется жидкость, не имеющая вязкости. В результате частицы жидкости не связаны и ведут себя свободно. Устанавливается стационарное течение, когда через русло сечения S протекает со скоростью v одинаковый объем жидкости за одинаковое время:

S₁v₁=S₂v₂=const

Рассмотрим идеальную (невязкую) жидкость, стационарно текущую в трубе или по руслу реки и запишем для нее Закон сохранения кинетической-∆mv²/2 и потенциальной -∆mgh энергии для втекающей и вытекающей струи:

∆mv₂²/2+∆mgh₂ = ∆mv₁²/2+ ∆mgh₁ где h -высота

Энергия может изменяться только при совершении работы -А. Например, силы давления -Р:

∆A=P₁∆V-P₂∆V , где ∆V=S₁V₁∆t=S₂V₂∆t - изменение объем жидкости.

∆m=p∆V – изменение массы равно плотности –p на изменение объема -∆V

Подставим и получим уравнение Бернулли, выведенное в 1738г.:

pv₂²/2+ pgh₂+P₂=pv₁²/2+pgh₁+P₁=pv²/2+pgh+P=const

Уравнение Бернулли для горизонтального течения, когда h=0,

pv²/2+P=const где p-плотность жидкости, v-скорость течения, Р-давление