- •1. Множества и бинарные отношения
- •Множества
- •Определения и примеры
- •1.1.1 Множество
- •Операции над множествами
- •Элементы комбинаторики
- •Бинарные отношения
- •Определения и примеры
- •2.1.2 Отображения
- •Операции над отношениями
- •Выполнение операций над отношениями
- •Свойства отношений
- •Эквивалентность и толерантность
- •2.4.1 Эквивалентность
- •2.4.3 Толерантность
- •2.4.6 Задача о наименьшем покрытии (ЗНП)
- •Алгоритм решения ЗНР
- •Отношения порядка
- •Строгий порядок
- •Свойства строгого порядка
- •Некоторые свойства дерева
- •Анализ отношений порядка
- •2.5.8 Решетки
- •2.5.10 Решетка
- •2.5.11 Булева решетка
- •Нормированные булевы решетки
- •Модели нормированной булевой решетки
- •Булевы функции (БФ)
- •Определения и примеры
- •Равенство булевых функций
- •3.3.1 СДНФ
- •3.3.3 СКНФ
- •3.3.5 Представление формул в СДНФ и СКНФ
- •Минимизация булевых функций
- •3.4.1 Импликанта
- •Полные системы булевых функций
- •2. Математическая логика
- •Логика высказываний
- •Основные понятия
- •4.1.7 Логическое следствие
- •4.1.8 Теоремы о логическом следствии
- •Логика предикатов
- •5.0.13 Связанные и свободные переменные
- •Предваренная нормальная форма
- •Стандартная нормальная форма
- •Подстановки и унификация
- •Метод резолюций для логики первого порядка
- •Исчисление высказываний
- •3. Графы
- •Определения и примеры
- •Определения графа
- •Части графа
- •Изоморфизм графов
- •Задание графов с помощью матриц
- •Матрица инциденций
- •Матрица соседства вершин
- •Матрица смежности
- •Типы графов
- •Обыкновенные графы
- •Графы Бержа
- •Помеченные и взвешенные графы
- •Другие способы задания графа
- •Связность графов
- •Маршруты, цепи, циклы
- •Число маршрутов
- •Компоненты связности
- •Нахождение компонент и бикомпонент
- •Кратчайшие цепи
- •Алгоритм Форда
- •Алгоритм Дейкстры
- •Обходы графа
- •Поиск в глубину на графе
- •Поиск в ширину на графе
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Эйлеровы пути
- •Гамильтоновы цепи и циклы
- •Цикломатика графов
- •Цикломатическое число
- •Деревья
- •Свойства дерева
- •Каркасы
- •Алгоритм нахождения каркаса графа.
- •Кратчайший каркас графа.
- •Алгоритм Прима.
- •Теорема о хорде каркаса.
- •Число каркасов графа.
- •Разрезы
- •Пространства суграфов
- •Пространство циклов
- •Пространство разрезов.
- •Потоки в сетях
- •Задача о максимальном потоке
- •Постановка задачи
- •Экстремальные части графа
- •Основные понятия
- •Покрытия
- •Задача о наименьшем покрытии
- •Паросочетания
- •Раскраска вершин графа
- •Хроматическое число
- •Оценки хроматического числа
- •Точные алгоритмы раскраски вершин
68 Глава 2. Бинарные отношения
При n = 2 A2 µ A по определению транзитивности. Предположим, что при некотором n ¡ 1 An¡1 µ A. Из предположения индукции и теоремы 2.11 получим An = An¡1A µ AA
µ A. Теперь справедливо включение |
|
|
£ |
||||||||
b |
|
|
|
[ ¢ ¢ ¢ [ Ak [ ¢ ¢ ¢ µ A [ A [ ¢ ¢ ¢ [ A [ ¢ ¢ ¢ . |
|
||||||
A = A [ A2 |
|
|
|||||||||
Оба включения выполнены, следовательно A = A. |
|
||||||||||
Теорема |
2.18 |
|
Если A = A, то A транзитивно. |
|
b |
|
|||||
Д о к а з а2 |
т е л ь с т в bо . |
A2 µ A = A [ A2 [ ¢ ¢ ¢ |
. Так как |
||||||||
b |
A |
|
|
A |
|
|
транзитивности). |
£ |
|
|
|
A = A |
, то |
µ |
(определение |
|
|
||||||
|
|
|
b |
|
|
Теорема 2.19 Если отношение A рефлексивно и транзитивно, то
A= A2:
До к а з а т е л ь с т в о . 1. °) Из рефлексивности
[xAy ) xAx ^ xAy] ) A µ A2.
2. °( Из транзитивности [xAy ^ yAy ) xAy] ) A2 µ A. £
2.4Эквивалентность и толерантность
Вэтом разделе рассматриваются такие свойства бинарных отношений, которые формализуют понятия равенства и сходства.
Отношение эквивалентности является ма- Эквивалентность тематической абстракцией таких понятий как равенство, одинаковость, взаимозаме-
няемость.
Определение. Отношение A на множестве M называется отношением эквивалентности ( эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Примеры 2.19.
1. Отношение "равенства” на множестве чисел есть отношение эквивалентности.
2.4. Эквивалентность и толерантность |
69 |
|
|
|
|
2.Для целых чисел “равенство по модулю 2” также является примером эквивалентности.
3."Равенство” чисел в различных системах счисления – эквивалентность. J
Напомним, что покрытие множества M – это семейство
fMiji 2 Ig непустых подмножеств множества M, такое, что
[
M = Mi:
i2I
Если при этом Mi \ Mj = ?; i 6= j, то fMiji 2 Ig – разбиение множества M:
Сами подмножества Mi называются классами данного покрытия или разбиения.
Теорема 2.20 Пусть задано разбиение fMiji 2 Ig множества M и бинарное отношение hA; Mi определено как "принадлежать общему классу разбиения”. Тогда A – эквивалентность.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дано разбиение fMiji 2 Ig множества M. Так как M = S Mi, то 8x 2 M ) x 2 Mi, т.е.
i2I
каждый элемент x множества M содержится в некотором классе.
1. Очевидно, соотношение 8x[xAx] выполняется, т.е. A рефлексивно (x и x принадлежат одному классу разбиения).
2. Далее, xAy ) yAx – если пара элементов x; y входит в один класс, то и пара y; x входит в тот же класс, т.е. A симметрично.
3. Пусть теперь выполнены соотношения xAy и yAz. Это значит, что x; y 2 Mi, а y; z 2 Mj. Получили, что Mi \ Mj =6 ?. Это может быть лишь в том случае, когда Mi и Mj совпадают, т.е. это один и тот же класс. Значит,
x; y 2 Mi ^ y; z 2 Mi ) x; z 2 Mi,
т.е. выполняется соотношение xAz. А это означает, что отношение A транзитивно. £
Теорема 2.21 Если отношение hA; Mi – эквивалентность, то существует разбиение fMiji 2 Ig множества M такое, что соотношение xAy выполняется тогда и только тогда, когда x и y принадлежат общему классу разбиения.
70 |
Глава 2. Бинарные отношения |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть отношение hA; Mi рефлексивно, симметрично и транзитивно. Построим для каждого элемента x 2 M подмножество Mx = fzjxAzg.
Лемма Для любых x; y либо Mx = My, либо Mx \ My = ?.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Mx \ My =6 ?. Нужно доказать, что Mx = My.
Пусть z 2 Mx \My, тогда по определению Mx и My должны выполняться соотношения xAz и yAz. Из симметричности A следует zAy, а из транзитивности: xAz ^ zAy ) xAy. Далее, для любого w 2 My выполняется yAw. Из xAy и yAw следует xAw, т.е. w 2 Mx. Это означает, что My µ Mx.
С другой стороны, для любого v 2 Mx выполняется xAv. Из симметричности xAy ) yAx. Из транзитивности
yAx ^ xAv ) yAv, т.е. v 2 My.
Это означает, что Mx µ My. В итоге, Mx = My. £
Из леммы и рефлексивности A следует, что множества вида Mx образуют разбиение множества M. Это разбиение называется соответсвующим данному отношению A. Покажем, что такое разбиение (и классы разбиения) удовлетворяют условиям теоремы.
1. °) Пусть отношение A рефлексивно, симметрично и транзитивно, и пусть для некоторых x; y 2 M выполняется соотношение xAy. Это означает, что y 2 Mx (по определению Mx). Но и x 2 Mx (из рефлексивности xAx отношения A). Следовательно, оба элемента x и y входят в Mx.
2. °( Пусть некоторые элементы u и v содержатся в Mx: u; v 2 Mx. Для доказательства теоремы нужно показать, что выполняется соотношение uAv.
Действительно, из определения Mx следует xAu и xAv. Из симметричности A следует uAx. Из транзитивности A следует: uAx ^ xAv ) uAv. Теорема доказана. £
З а м е ч а н и е 1. Отметим, что доказательство теоремы (2.21) проведено конструктивно. Вначале мы построили подмножества вида Mx = fzjxAzg, соответствующие отношению A, а затем доказали, что они являются классами разбиения.
2.4. Эквивалентность и толерантность |
71 |
|
|
|
|
З а м е ч а н и е 2. Множество является максимальным по некоторому свойству, если оно не содержится во множестве, обладающем этим же свойством. Классы эквивалентности, полученные в теореме 2.21, являются максимальными подмножествами попарно эквивалентных элементов множества
M. I
Мы получили разбиение множества M на подмножества fMiji 2 Ig эквивалентных друг другу элементов – классы эквивалентности. Множество классов эквивалентности по отношению A принято обозначать M=A (читается: фактор-мно- жество множества M по отношению A).
Пусть дано разбиение fMiji 2 Ig множества M. Выберем в каждом подмножестве M некоторый элемент e 2 Mi и назовем его эталоном для всякого x 2 Mi. Отношение eЭx назовем “быть эталоном" или “e – эта-
лон для x”. Тогда отношение эквивалентности £ можно определить так:
соотношение x£y выполняется, если x и y имеют общий эталон e, т.е. eЭx ^ eЭy. Таким образом, отношение эквивалентности можно определить с помощью отношения “быть эталоном” и, наоборот, любое отношение “быть эталоном” определяет некоторую эквивалентность.
Пусть £ – отношение эквивалентности, а Э – такое отношение “быть эталоном”, что x£y выполняется тогда и только тогда, когда x и y имеют общий эталон, т.е. выполнение соотношения x£y равносильно существованию z, такого, что eЭx и eЭy. Так как eЭx есть xЭ¡1e, то можно записать: £ = Э¡1Э, т.е. отношение эквивалентности выражается алгебраически через более простое отношение “быть эталоном”.
Из определения отношения Э “e является эталоном для x” следуют его свойства:
1.8x9e[eЭx] – для всякого элемента x существует эталон e.
2.eЭe – любой эталон есть эталон для самого себя.
3.Эталон единствен, т.е. из e1Эx и e2Эx следует e1 = e2.
72 |
Глава 2. Бинарные отношения |
|
|
Эти свойства можно считать аксиомами отношения “быть эталоном”. Заметим, что эти аксиомы теперь введены безотносительно к разбиению. Покажем теперь, что из аксиом следует определение эталона с помощью разбиения. Для этого сначала по отношению Э построим новое отношение £, определяемое правилом:
x£y, если x; y имеют общий эталон, т.е. если существует такой e, что eЭx и eЭy; при этом £ = Э¡1Э.
Покажем, что £ – отношение эквивалентности.
1.Из свойства 1, у каждого x есть эталон и, следовательно, x£x, т.е. £ рефлексивно.
2.Симметричность £ очевидна: если x; y имеют общий эталон, то и y; x имеют общий эталон.
3.Если x£y и y£z, то это значит, что x; y имеют общий эталон, а y не может иметь эталона, отличного от эталона для z (единственность эталона). Значит, x£z.
Итак, доказано, что £ – отношение эквивалентности. Но тогда по теореме (2.21) существует разбиение fMiji 2 Ig множества M на классы эквивалентности.
Очевидно, что каждый класс эквивалентности состоит из всех элементов, имеющих общий эталон x. По свойству 2 отношения "быть эталоном” xЭx, т.е. x обязательно принадлежит некоторому классу Mi. Таким образом, отношение Э, определенное аксиоматически свойствами 1 – 3, всегда может быть задано разбиением с выбранными представителями (эталонами) в каждом классе.
Пример 2.20. M = fa; b; c; d; e; f; gg;
Э = fhg; ai; hg; ei; hd; bi; hd; ci; hd; fi; hd; di; hg; gig;
£ = Э¡1Э = fha; ai; ha; ei; ha; gi; hb; bi; hb; ci; hb; fi; hb; di; hc; bi; hc; ci; hc; di; hc; fi; hd; bi; hd; ci; hd; di; hd; fi; he; ai; he; ei; he; gi; hf; bi; hf; ci; hf; di; hf; fi;
Графы, представленные на рисунке, соответствуют отношениям эквивалентности и “быть эталоном".