Глава 5

Логика предикатов

В логике высказываний атом представляет собой повествовательное (утвердительное) предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным, но не то и другое вместе. Атом рассматривается как еди-

ное целое и его структура и состав не анализируются. Есть, однако, рассуждения которые не могут быть представлены столь простым способом. Классическое умозаключение (силлогизм), которое часто используется в качестве иллюстрации предикатов первого порядка

все люди смертны Сократ – человек

Сократ смертен

не может быть доказано в логике высказываний, хотя это рассуждение интуитивно корректно. Распишем это рассуждение через высказывания

p: все люди смертны q: Сократ – человек r:Сократ смертен.

r не является логическим следствием в рамках логики высказываний, так как p ^ q ! r не является общезначимой

159

формулой. Причина этого заключается в том, что в логике высказываний не учитывается структура атомов p; q; r.

В логике предикатов первого порядка понятие атома расширяется. Вводятся еще три логических понятия: термы, предикаты и кванторы.

Для построения атомов используются четыре типа символов:

1.Индивидные символы или константы.

2.Символы предметных переменных или переменные. Для обозначения переменных будем использовать строчные буквы латинского алфавита, возможно с индексами (t; u; v; x; y и другие).

3.Функциональные символы (функции или функторы). Для обозначения функторов будем использовать строчные буквы из ряда f; g; h или слова из строчных букв.

4.Предикатные символы (предикаты). Для обозначения предикатов будем использовать прописные буквы из ряда P; Q; R, или слова, начинающиеся с прописной буквы.

Предполагается, что задана область определения D функторов и предикатов (домен, domain), которая в логике называется предметной областью, или областью интерпретации.

Константы и переменные представляют элементы области D. Функция (функтор) – это отображение списка констант в константу из D.

1. Константы: a; john, “Волга впадает в Каспийское море 0.7.

2.Переменные: x; y.

3.Функции (функторы): divide(1; x) – результат деления 1 на x; plus(x; 3) – соответствует x + 3.

Если функциональный символ (функтор) имеет n аргументов, то он называется n-местным функциональным символом.

4. Предикаты: P arent(x; y) – x является родителем y. Предикаты (предикатные символы) отображают список

констант в истинностные значения “истина"или “ложь". Это отображение осуществляется в процессе интерпретации, т.е.

установлении соответствия между элементами предметной области и значением предиката.

Весь спектр возможных аргументов предиката охватывается понятием терм. Интуитивно терм означает объект. Дадим точное определение терма.

Определение. Терм определяется рекурсивно следующим образом:

1.Константа есть терм.

2.Переменная есть терм.

3.Если f ¡ n-местный функциональный символ и t1; : : : ; tn

–термы, то f(t1; : : : ; tn) – терм.

4.Термы порождаются только конечным числом примене-

ний правил 1–3.

З а м е ч а н и я. 1. Индивидный символ или константу можно рассматривать как функциональный символ без аргументов.

2. Определение терма включает и рекурсивные функторы, например, plus(plus(x; 1); x). I

Теперь дадим точное определение атома.

Определение. Если P ¡ n-местный предикатный символ и t1; : : : ; tn – термы, то P (t1; : : : ; tn) – атом.

З а м е ч а н и e. Можно считать, что предикат с одной переменной (одноместный предикат) выражает свойство объекта (терма). Например: x есть простое число, y есть студент и т.д.

Многоместный предикат выражает отношение между объектами, например,

Любит(Паниковский, жареных, гусей) Любит(Бендер, холодное, пиво)

Заметим также, что имеется несколько вариантов представления некоторого факта или утверждения об отношении на языке логики предикатов первого порядка. Например, утверждение “солдатик оловянный"можно представить такими атомами:

Оловянный(солдатик);

ется связанной. В противном случае переменная называется

свободной.

Пример 5.2.

(8x)P (x; y) : переменная x связана (квантором), а переменная y свободна. J

Заметим, что переменная в формуле может быть свободной и связанной одновременно.

Пример 5.3.

(8x)P (x; y) ^ (8y)Q(y).

Переменная y свободна в (8x)P (x; y) и связана в (8y)Q(y) J В формулах (8x)P (x) или (9x)P (x) кванторы связывают переменную в том смысле, что хотя в записи формул встречается символ x, обозначающий переменную, обе эти формулы представляют именно высказывания, а не предикаты (пропозициональные функции). Значит, эти формулы от переменной больше не зависят. Присутствие переменной в формуле указывает лишь из какого предиката это высказывание образовано. Фактически, в этих формулах x не является переменной.

Рассмотрим подробнее смысл высказываний (8x)P (x) и (9x)P (x). Пусть предметная область есть D = fa; b; cg. Тогда высказывание (8x)P (x) равносильно сложному высказыванию P (a) ^ P (b) ^ P (c). Хотя квантор общности (универсальный квантор) можно использовать и относительно бесконечных множеств, в практических целях удобно считать, что квантор 8 является обобщением конъюнкции конечного числа единичных высказываний.

Подобно квантору общности квантор существования (экзистенциальный квантор) 9 тоже обобщает, но обобщает операцию дизъюнкции. Для той же предметной области D высказывание (9x)P (x) равносильно высказыванию P (a)_P (b)_

P(c).

Ввысказываниях могут встретиться оба типа кванторов. Рассмотрим, например, высказывание типа “у каждого (человека) (есть) свои причуды". Пусть D = A£B, где A = fa; b; cg – множество людей, а B = fs; tg – множество причуд; предикат

163

R(x; y) обозначает, что у человека x есть (существует) причуда y. Тогда высказывание “у каждого свои причуды” можно записать в виде:

(8x 2 A)(9y 2 B) R(x; y) = (8x 2 A)[(R(x; s) _ R(x; t)] = = [R(a; s) _ R(a; t)] ^ [R(b; s) _ R(b; t)] ^ [R(c; s) _ R(c; t)].

Другой пример. Пусть D = A £ B, где A = f2; 5g; B = f3; 4; 5g. Высказывание (9x 2 A)(8y 2 B)[y > x] равносильно высказыванию

(8y 2 B)[y > 2] _ (8y 2 B)[y > 5] =

= [(3 > 2) ^ (4 > 2) ^ (5 > 2)] _ [(3 > 5) ^ (4 > 5) ^ (5 > 5)].

Дадим теперь строгое определение формулы применением атомов, логических связок и кванторов.

Определение. Правильно построенные формулы (ППФ) логики первого порядка рекурсивно определяются следующим образом.

1.Атом есть формула.

2.Если F и G формулы, то :F , (F ^ G), (F _ G), F ! G,

F$ G – формулы.

3.Если F формула, а x – свободная переменная в F , то (8x)F и (9x)F – формулы.

4.Формулы порождаются только конечным числом применений правил 1, 2, 3.

За м е ч а н и я. 1. Как и в логике высказываний, круглые скобки можно заменять квадратными и фигурными, а можно опускать совсем, когда это позволяет контекст. Скобки могут быть опущены в соответствии с приоритетом связок. Расширим эти приоритеты – будем считать, что кванторы имеют самый низший приоритет. Поэтому можно писать 8xP (x), 9xP (x) (полагая по умолчанию, что x 2 D).

2.Термины “функция (функтор)” и “предикат” являются синонимами терминов “функциональная форма” и “предикатная форма”, соответственно.

3.Термин “логика предикатов первого порядка” или “исчисление предикатов первого порядка” означает, что в формулах действие квантора распространяется только на термы.

В системах второго порядка действие кванторов может распространяться и на сами предикаты, например, 9P 8xP (x) (существуют такие предикаты P , что для всех x 2 D выполняется P (x)). Здесь P выступает в роли переменной-предиката.

Если рассматривать термы как объекты, а предикаты как свойства или отношения, то исчисление предикатов второго

иболее высоких порядков описывает

²свойства свойств;

²свойства отношений;

²отношения между свойствами;

²отношения между отношениями;

²отношения между свойствами и отношениями. I

5.1Интерпретация формул в логике предикатов первого порядка

Формулы исчисления предикатов, как и формулы исчисления высказываний, получают истинностные значения в процессе интерпретации.

Интерпретация устанавливает соответствия между элементами предметной области (области интерпретации) и значениями констант, функциональных и предикатных символов.

Определение. Интерпретация формулы F логики первого порядка состоит из непустой предметной области и указания значений всех констант, функциональных и предикатных символов, встречающихся в F .

При этом:

1.Каждой константе ставится в соответствие некоторый элемент из D.

2.Каждому n-местному функциональному символу f(x1; : : : ; xn) ставится в соответствие отображение f : Dn 7!D, где

Dn = fhx1; : : : ; xnigjx1 2 D; : : : ; xn 2 Dg.

3. Каждому n-местному предикатному символу P (x1; : : : ; xn) ставится в соответствие отображение P : Dn 7!1f; 0g.

Следует подчеркнуть, что интерпретация проводится именно на предметной области D. Когда определяется истинностное значение кванторов на D 8x следует интерпретировать как “для всех элементов x из D”, а 9x – как “существует элемент x из D”.

Для каждой интерпретации формулы на области D формула может получить истинностное значение “истина” или “ложь” по следующим правилам.

1.Если заданы истинностные значения формул F и G, то истинностные значения формул :F , (F ^G), (F _G), (F ! G), (F $ G) интерпретируются с помощью таблиц истинности этих связок.

2.Формула 8xF (x) получает значение “истина”, если F (x) имеет значение “истина” для каждого x из D; в противном случае она получает значение “ложь”.

3.Формула 9xF (x) получает значение “истина”, если F (x) имеет значение “истина” хотя бы для одного x из D; в противном случае она получает значение “ложь”.

За м е ч а н и е. Формула, содержащая свободные переменные не может быть интерпретирована (получить истинностное значение). Далее будем считать, что формула либо не содержит свободных переменных, либо свободные переменные рассматриваются как константы. I

Пример 5.4.

Определить истинностное значение формулы

8x[P (x) ! Q(f(x); a)]

для следующей интерпретации: область D = f1; 2g;

значения для a: a = 1;

значения для f: f(1) = 2; f(2) = 1; значения для P и Q: P (1) = 0; P (2) = 1.