3. Математическое ожидание случайной величины и ее свойства.

МО – сумма произведений значения, случайной величины на соответствующей вероятности

М(Х) = Х₁Р₁ +Х₂Р₂ +…+Х_n P_n = ∑ⁿ_k=1 x_kp_k

Ожидаем вероятностный смысл

Пусть в n испытаниях значения х₁ встречалось м₁ раз

х_{2 ----//------}m₂ раз

x_{3-------//------}m ₃ раз

m₁ + m₂ +…M_K =n

Среднее арифметическое наиб. значений:

(ср.) = Х₁m₁ + x₂m₂+…+x_km_k/n =x₁m₁/n +x₂m₂/n *p…p* x_k m_k/n =x₁p₁+x₂p₂…x_kp_k = M(x)

M(X) =

Вывод: МО приблизительно равно (или тем точнее, чем больше число испытаний)среднему арифметическому наблюдаемых значений.

Мат. ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Свойства мат. ожидания:

1. Мат. ожидание постоянной случайной величины равно самой постоянной величине.

М(С)= С

Замечание 1. Определение Случайной величины СХ случайным образом :

СХ СХ₁ СХ₂ … СХ_n

p p₁ p₂ … p_n

2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания

М(СХ)=СМ(Х)

Д-во: M(CX) = CX1p1 + CX2P2 + … CXnPn = C(X1P1 +X2P2) = CM(X)

Замечание 2. Определим ХУ след образом

У У1 …Ук

q q1 …qk

Все значения Х со всеми значениями У перемножаются:

р(ХУ=Х1У1) = р( Х = Xi) * p(Y=Yi) , если Х и У – независимые

Определение: Х и У – независимые, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая величина.

3. Если Х и У независимые …

М(ХУ)=М(Х)*М(У)

Замечание 3. Определим Х+У случайным оразом:

р( Х+У = Хi + Уj) = p(X=Xi)*(Y=Yj) = piqj

Если ХУ – зависимые, то

p(x=xi)p(y=yj)/x=xi)

4. МО суммы равна сумме МО

М(х+у)=М(х)+М(у)

4. Дисперсия случайной величины. Формул для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия – мат ожидание квадрата отклонения случ величины от ее мат ожидания (Х-M(X)) = 0

Д(Х)=М(Х-М)х))²

(Х-М(х))2	(Х1-М(х))2	…	(Хn-М(х))2
p	P1	…	pn

D(x) = ∑ⁿ _K=1 (Хn-М(х))² * p_k

ВАЖНО D(X) ≥0

Формула для вычисления дисперсии

Дисперсия равна разнице между МО квадрата ее величины

Д(Х) = М(Х²) – М²(Х)

Док-во: Д(х) =М(х – м(х))² = (М(х²- 2(М(Х) _М2(Х))=М(Х2)

Свойства дисперсии.

1)D(С) = 0, тк D(C) = M(C-M(C ) )² = O

2)Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат D(CX)=C²D(X), тк

D(CX) = M(C-M(Cx)²=M(C(x-M(x))²=C²M(x-m(x))²=C²D(x)

3)Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

D(X+Y) = D(X)+D(Y)

D(X+Y) = M(X+Y)² – M²(X+Y)=M(X²+2XY+Y²)-(M(X)+M(Y))²=M²(Y) +2M(X)M(Y)+M(Y²)-M²(X)-2 M(X)M(Y)-M²(Y)=M(X²)-M²(X)+M(Y)²-M²(y) = D(X) + D(Y)

Следствие 1. D( C+ X) = D(X)

Следствие 2. D(X-Y) = D (X)+D(Y), т к D(X-Y) = D(X)+D(-Y)=D(X)+(-1)² D(Y)

Среднее квадратичное отклонение

δ (х) имеет ту же соразмерность, что и Х

5. Функция распределения и ее свойства.

Функция распределения случайной величины называется ф-ия F(x), которая для любого х равна вероятности того, что случ величина примет значение меньше, чем это Х

ᵿx: F(X) = p (X<x) !!!

Вероятность того, что случ величина х примет значение , принадлежащее к промежутку, равна приращению функции распределения на этом промежутке.

1. p(a≤x<b) = F(b)-F(a)

Док-во: F(b) = p (x<b) = p(x<a)+p(a≤x<b) следовательно p(a≤x<b)=F(b)-F(a)

2. 0≤F(X)≤1

3. F(x) – неубывающая ф-ия, т е если х₂>x₁, то F(x₂)≥F(x₁)

Вывод: это дискретный случай величины F(x) – ступенчатая функция, постоянная на тех интервалах, где случ величина не принимает значений и имеет скачки в точках, в которых она принимает значение. Величина скачка равна соответствующей вероятности.

6. ---------------- Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции, его свойства.

(x;y) ( M(x):M(y)): (D(x); D(y))

Ковариация

Ковариация между случайными величинами х₁ и у – число, равное МО произведения отклонения случайны величин от своих мат ожиданий.

cov(x;y) = M((x-M(x))*(y-M(y))) или

Свойства:

1. cov(x;y)=cov(y;x)

2. cov(x;y) = D(x)

3. cov(x; y) = M (xy)-M(x)M(y)

4. если х и у независимые, то cov(x;y)=0

5. cov(aX+b;cY+d) = ac*cov(x;y)

a, b, c, d – числа

Коэффициент корреляции.

Определение: Коэф корреляции между случайными величинами х и у- это число, равное отношению ковариаций к произведению средних квадратичных отклонений.

r(x;y)= , где σ (х) = √ D(x) ; σ(y) = √D(y)

Свойства: r(x;y)

1. r(x;y)=r(y;x)

2. r(y;x)=1

Это ф-я f(x), такая что f(x)=F’(x) Замечание 1: F(x) – первообразная для f(x) Замечание 2: f(x)- для дискретной случайной величины не определятся

Теорема: вер-ть того, что непр случ вел примет знач-я из промежутка (а;в) = опр интегралу от ф-я плотности по этому промежутку. p(a<x<b) = ∫ f(x)dx=Sтрапеции геометрический смысл формулы: вер-ть равна пл криволинейной трапеции

Св-ва ф-и плотности:

1. f(x)≥0 для всех х, тк F’(x)≥0 (F(x) не убывает)

2. _-∞^+∞∫ f(x)dx=1, тк p(-∞<x<+∞)=1

3. если все значения xϵ[a;b], то _а^в∫ f(x)dx=1

4. I Характеристики положения:

5. -мат ожидание

6. -мода

7. -медиана

8. -квантиль уровня р

10. 1) мат ожидание

11. Если х –непр с. в. хϵ[a;b], то М(х)= _а^в∫хf(x)dx

12. Если хϵ(-∞;+∞), то М(х)= _-∞^+∞∫хf(x)dx – сходится

13. 2)мода

14. х_mod – значение случ вел с наиб вероятностью. Мода там, где ф-я пл достигает своего локального максимума.

15. 

16. 3)медиана

17. х_me – такое значение случайной величины, что вер-ть принять решение меньше, что это число = вер-ть прин зн больше

18. p(X<x_me)=p(X>x_me)=1/2

19. F(x_me)= p(X<x_me)=1/2

20. 

21. 4)квантиль ур p

22. x_p(0<p<1)

23. x_p=такое знач-е случ вел, что F(x_p)=p, те F(x_p)=p(X<x_p)=p

24. Замечание: Медиана – это крантиль уровня 0,5

25. 

26. Мат.ст.-наука сбора и анализа данных наблюдений использующая методы тер.вер.; теоретические основы стат-центральная предельная теорема, закон больших чисел. Стат. Оперирует результатами наблюдений над случайными явлениями.

27. Осн.понятия: 1. Ген. совокупноть- все множество объектов, подлежащих изучению или контролю. 2.Выборка- совокупность случайно отобранных объектов. 3. Объем выборки- это количество отобранных объектов.

28. Выборочный метод- лежит в основе стат выводов о св-ве ген. совок. Выборы полученные по выборочным данным распространяются на всю ген совок – эти выводы носят вероятностный характер и их точность повышается с объемом выборки.Выборка должна быть репрезентативной=представительной.

Выборочная функция распределения

F(x)=P(X<x)

Fn(x)=W(X<x)

Это Fn(x), определяющая для каждого значения X относит. частоту событ.

X<x, => Fn(x)=

Для дискретного ВР:

Для интервального ВР:

F(n)(w)