1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Последовательности, в которых каждый член, начиная с некоторого, выражается через предыдущие, часто встречаются в математике и называются рекуррентными (от латинскогоrecurrere– возвращаться)^ или возвратными. Процесс вычисления членов этих последовательностей называется рекуррентным процессом.

Рекуррентными последовательностями являются, например, арифметические и геометрические прогрессии:

, ,, …,, …

, ,, …,, …

В этих последовательностях исоответственно.

Последовательность называетсярекуррентной(возвратной)последовательностью порядка,если существует формула

, (2.1.2)

по которой член последовательности вычисляется поk предыдущим членам . Такая формула называетсярекуррентным соотношением или рекуррентным уравнением порядка . Естественно, что при этом должны быть известны (заданы) иначальные члены .

Так, формула является рекуррентным соотношением порядка 2. Положив, например,, получим рекуррентную последовательность

1, 2, 3, 5, 16, …

с начальными членами 1, 2.

Формула – рекуррентное соотношение третьего порядка.

Задача 1.1. Найти рекуррентное соотношение для чисел

.

Решение. Согласно формуле бинома Ньютона имеют место следующие равенства:

;

;

…………………………………………………………….

;

.

Складывая по частям эти равенства, получим

.

Таким образом,

.

Очевидно, что

, .

Поэтому

.

Точно так же находится . Аналогично вычисляются и суммы более высоких степеней.

2. Решения рекуррентного соотношения. Согласно определению рекуррентной последовательностиk-го порядка с заданными начальными членами ее членвыражается через; член– черези т.д. Подобным образом можно постепенно вычислить любой член последовательности. Однако часто необходимо знать только какой-то отдельный конкретный член последовательности, обычно с достаточно большим номером. Подобный способ его вычисления является весьма нерациональным. В этих случаях удобно знать формулуn-го (общего) члена последовательности, т.е. функцию , с помощью которой по номеруnнепосредственно вычисляется n-ый член. Образно говоря, можно считать своеобразным «паспортом» или «визитной карточкой» последовательности. Поэтому целесообразно датьопределение.

Пусть рекуррентная последовательность k-го порядка задана соотношением . Функция ,называетсярешением рекуррентного соотношения, если при подстановке выражения в это соотношение оно оказывается справедливым для каждого .

Чтобы установить, является ли функция решением рекуррентного соотношения -го порядка, приходится подставлять в это соотношение и , ..., , ; будем называть такой процесс алгоритмом проверки решения.

Задача 1.2. Доказать, что функция является решением рекуррентного соотношения

.

Решение. Согласно алгоритму проверки решения находим ,,,. Откуда видим, что

=.

С помощью формулы можно найти любой член последовательности 1³, 2³, …, n³, …, задаваемой данным рекуррентным соотношением.

Задача 1.3. Доказать, что общий член арифметической прогрессии 2, 5, 8, … удовлетворяет рекуррентному соотношению .

Решение. Первый член данной арифметической прогрессии равен 2, а ее разность равна 3. Следовательно, ее n-ый член есть . Отсюда,. Поэтому согласно алгоритму проверки решения

.

Следовательно, .

Поскольку начальные члены рекуррентной последовательности можно задавать произвольно, то существует бесконечно много рекуррентных последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению данного порядка. Так, рекуррентному соотношению, полученному в задаче 1.3, будет удовлетворять любая другая арифметическая прогрессия. Поэтому возникает проблема описания всех таких рекуррентных последовательностей. Для этого понадобится понятие общего и частного решения рекуррентного соотношения.

Общим решением рекуррентного соотношения -го порядка называется выражение, которое при каждом фиксированном наборезначений переменныхявляется решением этого соотношения. При этом называется частным решением данного соотношения.

Иными словами, математическое выражение является общим решением рекуррентного соотношения -го порядка, когда выполняются следующие условия:

1) оно зависит от k произвольных постоянных ;

2) если подставить в это выражение вместо произвольных постоянных любой набор действительных или комплексных чисел, то получится решение данного соотношения, называемоечастным.

Например, общее решение рекуррентного соотношения второго порядка, соответствующего последовательности Фибоначчи, зависит от двух произвольных постоянных,и имеет вид: .

Действительно, . Поэтому

.

Здесь учтено, что

,

.

Найдем значения , при которых получается частное решение соотношения, являющееся формулой -ого члена ряда Фибоначчи. Для этого ряда ,. Поэтомунаходятся из системы

, ,

решая которую, получим:

, .

Откуда .

Полученная формула называется формулой Бине. Кажется удивительным, но она для любого n дает натуральные значения , проверьте.

На основе понятия общего и частного решения рекуррентного соотношения можно найти способ описания всех рекуррентных последовательностей, удовлетворяющих заданному рекуррентному соотношению -ого порядка. Как следует из изложенного, схема нахождения любой такой последовательностей такова:

1) находится общее решениерекуррентного соотношения;

2) выбираются значения и подставляются в общее решение;

3) производится упрощение полученного выражения, в результате чего находится частное решение, т.е. формула , записываемая для удобства в виде.

4) с помощью формулы вычисляется любое необходимое на практике число членов рекуррентной последовательности, удовлетворяющей заданному рекуррентному соотношению.

Начальные члены последовательности будем называть такженачальными значениями (условиями) частного решения, т.е. функции .

К сожалению, не существует универсального способа решения рекуррентных соотношений, т.е. способа, пригодного в решении любого соотношения. Однако для некоторых частных видов соотношений такие способы найдены, например, для линейных рекуррентных соотношений, которые рассматриваются в двух следующих параграфах.