9.Реализация неявной схемы.

Неявную схему рассчитываем итерациями. Простые итерации сходятся медленно, запас устойчивости для их сходимости невелик, поэтому чаще всего используется итерационная процедура Ньютона. Суть этой процедуры:

Присваиваем неизвестной величине Т ⁿ⁺¹ индекс итерацииk.

Нелинейное относительно неизвестных Т ⁿ⁺¹ слагаемые в правой части уравнения:

Раскладываем в ряд по малому параметру:

,

Ограничиваемся линейными членами разложения. Имеем:

Система (6) трехдиагональна относительно неизвестных и вычисляется методом прогонки. В качестве Т ^{n+1, 0} обычно используют Тⁿ. Для получения хорошей точности (4-6 знаков) достаточно 3-5 итераций. Все затраты машинного времени на реализацию трехдиагональной схемы с лихвой окупаются возможностью увеличения и гарантированной устойчивостью счета.

10.Перенос примесей в приземном слое атмосферы.Сложность исследования динамики распространения пассивных(не испытывающих превращений) примесей связана с многомерностью, неоднородностью и нестационарностью изучаемых систем. Неоднородность системы, которая обусловлена зависимостью различных параметров атмосферы (ветра, коэффициентов турбулентной диффузии, температуры и т. д.) в первую очередь от вертикальнойz-компоненты, является дополнительным усложняющим фактором. Возможная нестационарность обусловлена флуктуациями ветра и временной зависимостью функции источниковQ(r,t). На процесс распространения примесей в атмосфере оказывают влияние множество факторов, но основными являются два: ветровой снос и диффузионное расплывание. Эти два физически эффекта можно учесть в рамках математической модели, в основе которой лежит квазилинейное д.у. в частных производных:

(1),гдеt– время,-радиус-вектор,-плотность примеси,- вектор скорости ветра,-тензор турбулентной диффузии,Q(,t) – совокупность источников и стоков рассматриваемой примеси,- параметр, описывающий “вымывание” примеси из атмосферы за счёт различных факторов. Источники загрязнения определяются функциейQ, которая определяет временную динамику выбросов и их параметры. Уравнение (1) записано в векторной форме. Для решения задачи распространения примеси в приземном слое атмосферы удобно работать в декартовой системе координат:xиy– координаты в плоскости поверхности земли, аz– вертикальная координата. Слагаемоеописывает изменение концентрации примесей со временем в точке с координатами (x,y,z).Диффузионный переносВеличиныиявляются эмпирическими параметрами, учитывающими как состояние атмосферы, так и рельеф местности. Можно считать, что коэффициент диффузиина небольших высотах линейным образом зависит от величины скорости ветра, не обращаясь в нуль при=0. Поэтому в нашей модели принятоВ тропосфере коэффициент турбулентной диффузии составляет=3*10⁵(см²/с). В зоне перемешивания для коэффициента диффузии:,здесьD(z,C)=D₁(C(0)+1) – коэффициент диффузии у земли;z_p-высота пограничного слоя.Ветровой перенос.Первое слагаемое справа в (1) обусловлено ветром в плоскости земли:,где необходимо учитывать нарду с постоянной составляющейи флуктуирующую часть. Среднее направление ветра в каждой точке плоскости (x,y) характеризуется углом₀между осьюxи направлением ветра, а дисперсия направлений задаётся параметром_. Тогда при нормальном распределении направлений ветра.Вычисление истинного направления в каждый момент времени можно легко смоделировать с помощью стандартного алгоритма генерации случайных чисел. Аналогичным образом моделируются и флуктуации величины- скорости ветра.В случае отсутствия ветра и при очень слабом ветремы полагаем, что, а направление ветра произвольно. Зависимость скорости ветра от вертикальной координаты выбираем в виде:,где величина С_g– характеризует скорость ветра у поверхности земли, параметрz₀определяет шероховатость поверхности.Модель источников и стоков.К исходным данным для проведения расчётов по данной методике необходимо знание источников загрязнения – координаты, высота, химический состав и объём выбросов.Высота выброса примеси в атмосферу, дальнейшее её рассеяние и осаждение зависят не только от высоты источника, но и от таких параметров примеси, как температура и скорость её вытекания из трубы. Пусть труба имеет высоту Н₀, её радиус на выходе примеси –R₀, скорость выноса из жерла трубы -₀, температура атмосферы Т_аи температура примеси - Т_а+. Тогда эффективная добавкаН к высоте трубы Н₀ (Н = Н₀+Н ) удовлетворительно аппроксимируется соотношением:.Здесь первый член описывает вертикальную инерцию примеси, а второй - её дополнительную “архимедову” плавучесть.Выброшенная из трубы примесь попадает в приземной слой на некотором удалении от трубы, величина которого зависит от силы и направления ветра, высоты трубы и толщины пограничного приземного слоя атмосферы, коэффициента диффузии и других параметров задачи. При этом примесь успевает продиффундировать поперёк направления ветра.

Для описания этих эффектов введём в плоскости (x,y) систему декартовых координат (,), начало которой локализовано на источнике примеси, а осьнаправлена по ветру. По поперечной к направлению ветра координатеимеет место диффузия, которая за времяt()=/C превращает начальное “точечное ” распределениеQ=Q₀*()*() (-дельта-функция Дирака) в нормальное по:.

Такой же процесс диффузии имеется и вдоль направления ветра. Однако из-за неоднородности по высоте ветрового сноса распределение по координате  будет существенно отличаться от нормального. Удовлетворительная точность достигается при следующей аппроксимации:

,где() – функция Хевисайда. Нормировка распределений приводит к результату:,гдеQ₀- мощность источника.Величину_mс учётом зависимости C иDот вертикальной координатыzв приземном слое атмосферы можно представить в виде:,гдеL– толщина приземного слоя атмосферы.

Если рассматриваемая примесь не газообразная и её частицы не обладают “плавучестью” то следует учесть эффект ускоренного выпадения этой примеси на землю. Вводя для этого стоксову скорость падения отдельной частицы w₁, имеем:.

Достаточно крупный туман или дождь очищает атмосферу, осаждая примесь на землю. Этот эффект можно учесть модельно с помощью введённого в (1) параметра . Соответствующий вклад в параметрпропорционален кинематической вязкости воздухаvи обратно пропорционален квадрату размера капли туманаr_m.В зависимости от величины и знака вертикального градиента температуры, исходящая из локализованных и распределённых источников примесь может либо ”всплыть” в верхние слои атмосферы, либо прижиматься к земле и накапливаться в приземном слое толщиной порядка высоты деревьев и зданий. И в первом, и во втором случаях соответствующие эффекты можно описать с помощью модельного параметра. Однако второй из указанных факторов необходимо учесть с помощью локального уравнения “накопления”:

,гдеq– локальная плотность накапливающейся в приземном слое атмосферы примеси;- параметр, описывающий полное “вымывание” накопленной примеси. Влияние температурной устойчивости атмосферы на турбулентный обмен оценивается по безразмерной величине, характеризующей отношение разности температур на выбранных уровнях к скорости ветра

12.Уравнение Лапласа, Пуассона, Гельмгольца в ортогональных системах координат.Краевые условия для эллиптических уравнений.Уравнением эллиптического типа называется квазилинейное Д.У. в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными:

, где ,,если 0.

Уравнения Лапласа и Пуассона возникают при моделировании стационарных физических полей.Общее решение этих уравнений представимо в виде:U=Известно, что Д.У. в частных производных имеет ∞ множество решений. Типичным дополнительным условием, обеспечивающим единственность решения Д.У в частных производных является краевое условие, определяющее поведение исходных функций на границе области.Оператор ∆ в ортогональных системах координат:

Д.С.К: , Ц.С.К:,С.С.К:,

Волновое уравнение, переписанное через метод комплексных амплитуд, называется уравнением Гельмгольца:

∆-волновое уравнение.

Следовательно уравнение Гельмгольца будет иметь вид:ЗдесьСуществует несколько типов краевых задач. Рассмотрим их на примере уравнения Лапласа.Первая краевая задача-задача Дирихле: найти гармоническую в области функцию по её значениям на границе этой области.Вторая краевая задача-задача Неймана: найти гармоническую в области функцию по значениям её нормальной производной на границе:,s-поверхность,n-нормаль к этой поверхности.Третья краевая задача: найти гармоническую в области функцию по значениям линейной комбинации функции и её нормальной производной на границе.Смешанная краевая задача: отыскать гармоническую функцию, если на части границы задана сама функция, а на другой, её дополняющей части, задана нормальная производная.Совершенно аналогично ставятся краевые задачи для эллиптических уравнений для внешних областей. В этом случае необходимо указать поведение искомой функции на бесконечности.