Методические указания к решению задач 91 – 100

Основные характеристики дискретной случайной величины

Случайной величиной называется переменная, принимающая свои возможные числовые значения с определенной вероятностью.

Например: Х – балл, полученный на экзамене;

Y – число студентов, явившихся на лекцию; Z – величина выигрыша в лотерее;

U – рост случайно выбранного человека и т.п.

Дискретная случайная величина Х принимает отдельные числовые значения. Закон распределения дискретной случайной величины записывается в виде таблицы, где перечислены все значения случайной величины Х и соответствующие им вероятности:

n

Следует иметь в виду, что всегда ∑pi = p1 + p2 +... + pn =1.

i=1

Основные числовые характеристики закона распределения дискретной случайной величины:

71

1) Математическое ожидание (ожидаемое среднее значение случайной величины)

n

М(Х) = ∑xi pi = x1 p1 + x2 p2 +...xn pn = а.

i=1

2)Дисперсия (мера рассеяния значений случайной величины Х от среднего значения а):

n

D(X ) = ∑(xi −a )2 pi = (x1 − a)2 p1 + (x2 − a)2 p2 +... + (xn − a)2 pn

i=1

.

Второй способ вычисления дисперсии:

D( Х) = М( Х 2 ) −[M ( X )]2 ,

где M(X) определено выше, а

М( Х2 ) = x12 p1 + x22 p2 +... + xn 2 pn = ∑xi2 pi .

3)Среднее квадратическое отклонение (характеристика рас-

сеяния в единицах признака Х):

σ( Х) = D( Х).

Задача. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 2 билета с выигрышем по 50 тыс. рублей, 5 билетов по 20 тыс. рублей, 10 билетов по 10 тыс. рублей, 20 билетов по 5 тыс. рублей и 25 билетов по 3 тыс. рублей. Остальные билеты не выигрывают. Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики.

Решение. Обозначим X тыс. рублей – величина выигрыша на один билет. Очевидно, что X – случайная дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все ее возможные значения и найдя соответствующие им вероятности.

72

Число выигрышных билетов из 100 составляет: 2+5+10+20+25=62, значит, число невыигрышных билетов: 100 – 62 = 38.

Располагая величины возможного выигрыша xi в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

Отметим, что ∑ pi = 0,38 +0,25 +0,20 + 0,10 + 0,05 + 0,02 =1.

1) Математическое ожидание случайной величины X:

M(X)=∑xi pi =0 0,38+3 0,25+5 0,2+10 0,1+20 0,05+50 0,02=4,75.

Таким образом, ожидаемый средний выигрыш на 1 билет составляет 4,75 тыс. рублей.

2) Дисперсию случайной величины найдем двумя способами:

i=1

=(0 −4,75)2 0,38 +(3 −4,75)2 0,25 +(5 −4,75)2 0,2 +

+(10 −4,75)2 0,1+(20 −4,75)2 0,05 +(50 −4,75)2 0,02 =

=8,57375+0,76525+0,0125+2,75625+11,628125+40,95125=64,6875.

2). D ( Х ) = М ( Х 2 ) − [M ( X ) ]2 .

М(Х2) =∑xi2 pi =02 0,38+32 0,25+52 0,20+102 0,1+202 0,05+

+502 0,02=0+2,25+5+10+20+50 = 87,25.

Тогда:

D( Х ) = 87,25 − (4,75)2 = 87,25 − 22,5625 = 64,6875 .

Результаты вычислений дисперсии по обоим способам совпадают. 73

3) Среднее квадратичное отклонение:

σ ( Х ) = D ( Х ) = 64 ,6875 ≈ 8,04285 .

Таким образом, σ = 8,04285 тыс. рублей – характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения а = 4,75 тыс. рублей. Это означает, что основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (4,75±8,04285) тыс. рублей, что соответствует таблице данных.

74

Линейная алгебра

Задачи 101–110

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его матричным способом. Сделать проверку.

75

Методические указания к решению задач 101 – 110

Матрицы и определители

Матрицей размера (m×n) называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах. Например,

размера (m×n) записывают так:

Числа аij (i=1,2,…,m), (j=1,2,…,n), входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. Индекс i указывает номер строки, в которой находится элемент, j – номер столбца.

Матрица-строка – это матрица, состоящая из одной строки, матрица-столбец – матрица, состоящая из одного столбца.

Матрица, в которой число строк равняется числу столбцов (m=n), называется квадратной, число ее строк (столбцов) называется порядком квадратной матрицы.

Элементы квадратной матрицы образуют

главную диагональ матрицы. Она идет из левого верхнего угла этой матрицы в ее правый нижний угол.

Единичной матрицей Е называют квадратную матрицу, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Например, единичная матрица третьего порядка запишется следующим образом:

76

Для квадратных матриц вводится важнейшая числовая характеристика, которую называют определителем (детерминантом) и обозначают одним из символов: , det A, A .

Рассмотрим сначала квадратную матрицу второго порядка. Ее определителем называется число, равное

Рассмотрим теперь определитель третьего порядка.

a11 a12 a13 = a21 a22 a23

a31 a32 a33

Вычисление этого определителя может быть сведено к вычислению определителей второго порядка. Для этого введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором Мij определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется минор Мij , взятый со знаком +, если сумма (i +j) – четное число, и со знаком – , если сумма (i +j) есть нечетное число:

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

=ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +ai3 Ai3 =a1 j A1 j +a2 j A2 j +a3 j A3 j .

77

Пример 2: Вычислить определитель

строки этого определителя и их алгебраические дополнения

= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13.

Вычислим А11 – алгебраическое дополнение элемента а11, то есть элемента, который находится в первой строке (i=1) и в первом столбце (j=1). Сумма i+j = 1+1 = 2 есть четное число, следовательно, А11 = М11. Далее, найдем М11. Для этого в определителе вычеркнем первую строку, так как i=1, и первый столбец, так как j=1. Оставшиеся, невычеркнутые, элементы запишем в виде определителя второго порядка. Получим

Найдем А12 – алгебраическое дополнение элемента а12. Здесь i=1, j=2. Сумма i+j = 1+2 = 3 есть нечетное число, значит А12 = – М12. Для нахождения М12 вычеркнем в определителе первую строку и второй столбец. Из оставшихся чисел составим определитель второго порядка, таким образом,

Аналогично, находим

78

Следовательно,

= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = 3 5 + (−2) (−26) +1 (−3) = 64 .

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее

определитель не равен нулю.

Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность линейных уравнений

Здесь x1, x2, K, xn – неизвестные; a11, a12, K, amn – заданные

подстановки которых в систему все ее уравнения обращаются в верные равенства.

Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения. Система уравнений может иметь единственное решение, в этом случае она называется совместной определенной. Если система уравнений имеет бесконечное множество решений, тогда она называется совместной неопределенной. Система уравнений, не

имеющая решений, называется несовместной.

Матричный способ решения системы

Рассмотрим матричный способ решения системы на конкретном примере.

79

Задача. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение. Найти его матричным способом. Сделать проверку.

Решение: Свяжем с этой системой матрицы A, X, B.

Матрица А – это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных.

Матрица Х есть матрица-столбец из неизвестных.

Матрица В – матрица-столбец, составленная из свободных членов.

Систему уравнений (2) можно записать с помощью этих

Поясним, как матрицу А умножить на матрицу-столбец Х. Заметим вначале, что результат произведения А·Х есть матрицастолбец из трех элементов. Для того, чтобы получить первый