Задача. Найти производные данных функций и их дифференциалы.

Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцирования, используя правила действия со степенями

По правилу дифференцирования суммы и разности функций:

Тогда дифференциал функции y:

32

б) y = 1+9x .

Воспользуемся правилом дифференцирования частного

Тогда дифференциал функции y:

33

Исследование функции

Задачи 31–40

Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциального исчисления и построить её график.

Методические указания к решению задач 31 – 40

1. Чётность, нечётность и периодичность функции.

Функция y = f(x) называется чётной, если для любых x из области определения функции справедливо равенство f(–x)= f(x), причём область определения также симметрична относительно точки 0, в этом случае график функции симметричен относительно оси Oy.

Для нечётной функции для любых x из области определения справедливо равенство f(–x)= – f(x), ее график симметричен относительно начала координат.

Функция y = f(x) называется периодической, если существует число T > 0 такое, что для любых x из области определения функции справедливо f(x+T)= f(x).

34

д) Сделать выводы о наличии точек экстремума согласно

достаточному признаку существования экстремума:

если при переходе слева направо через критическую точку x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума; если с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

3.Правило исследования функции y = f(x) на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

а) Вычислить вторую производную f ′′(x) .

б) Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, эти точки называются подозрительными на перегиб.

в) Определить знак второй производной на интервалах между найденными точками в области определения функции.

г) Сделать выводы о промежутках выпуклости и вогнутости со-

гласно признакам выпуклости и вогнутости:

если f ′′(x) > 0 на (a;b), то график вогнутый при x (a;b) , если f ′′(x) < 0 на (a;b), то график выпуклый при x (a;b)

д) Сделать выводы о наличии точек перегиба согласно достаточ-

ному условию существования точек перегиба: eсли при переходе через подозрительную на перегиб точку вторая производная меняет знак, то в этой точке имеется перегиб графика функции.

Задача. Исследовать средствами дифференциального исчисления

Решение. Исследование будем проводить по следующей схеме. 1. Область определения функции.

В нашем примере это множество всех действительных чисел, то есть x (–∞;+∞).

2. Четность и нечетность функции.

f (−x) = 12 (−x)3 −4(−x)2 +8(−x) = −12 x3 − 4x2 −8x ≠ ± f (x).

Функция не обладает свойствами четности или нечетности. Следовательно, график функции не будет симметричен ни относительно оси Oу, ни относительно начала координат.

36

3. Периодичность функции.

Данная функция непериодическая, так как является многочленом. 4. Непрерывность функции.

Производная существует при любых x. Решим уравнение y′ = 0.

32 x2 −8x +8 = 0.

3x2 −16x +16 = 0.

D =162 −4 3 16 = 64;

Следовательно,

Изобразим эти интервалы на числовой оси (рис. 3).

37

Знаки первой производной проставим на рис. 3. При переходе

При переходе через точку x = 4 производная меняет знак с минуса на плюс (рис. 3). Это означает, что x = 4 – точка минимума.

x = 0 и подставим его во вторую производную y′′ = 3x −8. Получим

выпуклый (см. признак выпуклости и вогнутости).

39

меняет знак, то x = 83 – точка перегиба (см. условие перегиба).

Таким образом, точка С 2 23 ; 2 1027 – единственная точка перегиба.

8. Точки пересечения графика с осями координат.

На оси Oу для всех точек выполнено условие х = 0, поэтому y(0)= 12 03 −4 02 +8 0 = 0. Получена точка пересечения с осью

Oу: (0;0). Для всех точек на оси Ox выполняется условие y = 0, тогда