![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
mat
.pdf![](/html/2706/637/html_YJJkWE5_6m.TVcJ/htmlconvd-aX9HS441x1.jpg)
Значения функции в точках x = 0 и x = 4 были найдены ранее: y(0) = 0, y(4) = 0. Таким образом, график функции пересекает ось Оx
вточках(0;0) и(4;0).
9. Дополнительные точки.
Для более точного построения графика можно найти дополнительные точки. Например, найдем значение функции y при x = 5:
y(5)= 12 53 −4 52 +8 5 = 52 = 2,5.
D(5; 2,5) – дополнительная точка для построения графика.
Выпишем результаты исследования функции y = 12 x3 −4x2 +8x . 1. Область определения (−∞;+∞) .
2. |
lim y = +∞, |
lim y |
= −∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ + ∞ |
|
|
x→ − ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Функция возрастает на промежутках |
|
−∞; 1 |
1 |
|
|
и (4; +∞), |
|||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
убывает на промежутке 1 |
; |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Максимум функции в точке А 1 |
1 |
|
; |
4 |
20 |
, |
|
|
|
минимум – в |
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
точке В(4;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
5. |
График выпуклый на интервале |
−∞;2 |
и |
вогнутый на |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
интервале 2 |
; |
+∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Точка перегиба С |
2 |
|
|
; 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Точки пересечения с осями координат: (0;0), (4;0).
8.Дополнительная точка D(5; 2,5).
Построим график функции (рис. 5). На плоскости Oxy отметим все характерные точки: точки пересечения с осями координат, точки экстремумов, точку перегиба, а также дополнительную точку.
В силу непрерывности функции соединим все отмеченные точки плавной кривой, продолжив график влево вниз и вправо
41
![](/html/2706/637/html_YJJkWE5_6m.TVcJ/htmlconvd-aX9HS442x1.jpg)
вверх согласно поведению функции на концах области определения и учитывая характер монотонности и выпуклости графика функции.
y
|
5 |
|
A |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
C |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
x |
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
42
![](/html/2706/637/html_YJJkWE5_6m.TVcJ/htmlconvd-aX9HS443x1.jpg)
Интегральное исчисление
Задачи 41– 50
Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
41. а) ∫ |
x2 +5x −1 |
|
dx; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
2x −5 |
|
||||||||
б) |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) ∫x2 4 −5x3 dx; |
|||||||||||||||
43. а) ∫ |
2 +3x3 + x |
x |
|
dx; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫cos(2x −1)dx; |
|||||||||||||||
в) ∫ |
|
|
1+ |
x |
dx; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
55. а) |
|
∫ |
|
x5 − x3 x +1 |
dx; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
∫ |
2x −3 |
|
dx; |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
3 |
x4 +2 |
dx; |
|||||||||
|
∫x e |
|
|
||||||||||||
47. а) ∫ |
x5 − |
x +1 |
dx; |
||||||||||||
3 |
|
x
б) ∫(2x +5)6 dx;
в) ∫x cos(x2 −1)dx;
42. а) |
∫ |
x2 + |
2x +1 |
dx; |
3 |
|
|||
|
|
|
x |
|
б) |
∫ 4 −3x dx; |
etg x
в) ∫cos2 x dx;
44.а) ∫x −23 x2 +1 dx; x
б) ∫e3−2xdx;
в) ∫(3 −x22x3)2 dx;
56.а) ∫3 x2 − x2 −3 dx; x
б) ∫ |
|
|
1 |
|
|
|
dx; |
|
|
|||||
(3 |
+ 2x) |
5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx; |
||
|
(x |
−1)ln |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(x −1) |
|||||||||
48.а) ∫ |
x4 |
−9 |
|
|
3 x −5 |
dx; |
||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) ∫cos(2 −3x) dx; |
|
|
||||||||||||
в) |
∫ |
3 tgx |
dx; |
|
|
|||||||||
cos |
2 |
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
![](/html/2706/637/html_YJJkWE5_6m.TVcJ/htmlconvd-aX9HS444x1.jpg)
9. а) ∫ |
x3 |
+1 |
dx; |
50. а) ∫ |
x2 |
+33 x + 4 |
dx; |
||||||||||
3 |
|
x |
2 |
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−3x |
|
|||
б) ∫e |
−0,5x+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx; |
б) |
∫ |
sin |
|
|
|
dx; |
||||||
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 3x |
|
|
2 |
+ln x |
|
|
|
||||||
в) ∫ |
x −e |
dx; |
в) ∫ |
dx; |
|
||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||
x3 −e3x |
|
Методические указания к решению задач 41 – 50
Неопределенный интеграл, методы интегрирования
1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.
Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) , если F′(x) = f (x).
Множество всех первообразных функции f (x) задается
формулой F(x)+C, где С – произвольное число, и называется неоп-
ределенным интегралом от функции f (x) :
∫f (x)dx = F(x) +C .
2.Свойства неопределенного интеграла:
∫( f (x) ±g(x))dx = ∫ f (x)dx ±∫g(x)dx ; ∫k f (x) dx = k ∫ f (x) dx ,
где k – постоянная, отличная от нуля.
3. Таблица интегралов.
|
|
|
|
|
|
|
1. ∫dx |
= x +C; |
|
|
|
|
|
|
2. |
∫ |
1 |
dx = ln |
|
x |
|
+C; |
3. ∫xα dx = |
xα+1 |
+C, α ≠ −1; |
||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
5. ∫axdx = |
ax |
α +1 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
∫exdx = ex +C; |
|
+C; |
|
||||||||||
ln a |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
![](/html/2706/637/html_YJJkWE5_6m.TVcJ/htmlconvd-aX9HS445x1.jpg)
6. |
∫sin x |
|
|
dx = −cos x +C; |
|
|
7. |
∫cos x |
|
|
dx = sin x +C; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8. |
∫ |
|
|
|
1 |
|
|
dx = −ctg x +C; |
|
|
9. |
∫ |
|
|
1 |
|
|
dx = tg x +C; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. |
∫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx = arcsin x +C; |
11. |
∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx = arcsin |
x |
+C; |
|||||||||||||||||
|
|
|
1− x |
2 |
|
|
a |
2 |
− x |
2 |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12. |
∫ |
|
|
|
1 |
|
dx = arctg x +C; |
|
|
13. |
∫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx = |
1 |
arctg |
x |
|
+C; |
|||||||||||||||||
1 |
+ x |
2 |
|
|
a |
2 |
|
+ x |
2 |
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||||
14. |
∫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx = |
1 |
ln |
|
|
x −a |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
−a |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = ln |
|
|
|
x + |
x2 |
± a2 |
+C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 ± a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. Формулы верны, когда переменная х является независимой переменной, а также когда х является функцией другой переменной: х = х(t).
4. Основные методы интегрирования.
Идея всех методов интегрирования заключается в приведении искомого интеграла к табличному интегралу или сумме табличных интегралов.
1) Непосредственное интегрирование.
Интеграл приводится к табличному виду путем алгебраических или тригонометрических преобразований.
2) Замена переменной (интегрирование подстановкой).
Сведение интеграла к табличному виду осуществляется с помощью подстановки t = ϕ(x). Тогда дифференциал dt равен
dt =ϕ′(x)dx .
Рекомендации по введению новой переменной даны ниже в примерах.
45
![](/html/2706/637/html_YJJkWE5_6m.TVcJ/htmlconvd-aX9HS446x1.jpg)
5. Связь между интегрированием и дифференцированием.
Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию. Если интеграл взят правильно, то производная от интеграла равна подынтегральной функции:
(∫ f (x)dx)′ = (F(x) +C )′ = f (x) .
Задача. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Решение. В контрольной работе интеграл под буквой а берется методом непосредственного интегрирования. При этом используются табличные интегралы от степенных функций:
∫xαdx = |
xα+1 |
|
+C, α ≠ −1; |
∫ |
dx |
= ln |
|
x |
|
+C. |
|
|
|
||||||||||
α +1 |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используются также правила действий со степенями.
|
|
3 3 x −2 +6x4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
3x3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1− |
4 |
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
4− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|||||||||||||||
3 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x |
|
3 +6x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ 3x3 |
2x |
3 +6x |
3 dx = ∫ |
3x |
−1 |
|
|
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
= ∫ |
3 |
|
|
dx − ∫2x− |
3 dx + ∫6x3dx = 3∫ |
dx |
−2∫x−3 dx +6∫x3dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
+1 |
|
|
|
|
8+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
11 |
|
|
||||||||
= 3ln |
|
x |
|
− |
2 |
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
+6 |
x3 |
|
+C = 3ln |
|
x |
|
−2 |
|
x |
|
|
3 |
+ |
|
6 |
x 3 |
|
+C = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
4 |
+1 |
8 +1 |
|
|
|
−1 |
|
11 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
18 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
18 |
x3 |
|
|
3 |
x2 +C. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 +C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= 3ln |
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
x |
3ln |
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 x |
|
|
11 |
|
3 x |
11 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
![](/html/2706/637/html_YJJkWE5_6m.TVcJ/htmlconvd-aX9HS447x1.jpg)
Проверка.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
′ |
|
|
|
|
11 ′ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
18 |
x3 |
3 x2 |
|
|
|
|
|
= ( |
|
|
|
)′ + |
|
|
|
3 |
|
+ |
18 |
x 3 |
+C′ = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3ln |
x |
+ |
|
|
|
+ |
+C |
3ln |
x |
6x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 − |
1−1 |
|
|
18 |
|
|
11 |
|
11−1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
3 |
|
+6 |
|
− |
|
|
x |
3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
+0 |
= |
|
|
− |
|
|
|
|
+6x3 = |
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
11 |
3 |
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
8 |
|
4 |
|
|
|
3 3 x −2 +6x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
3x3 −2 +6x3 x3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получена подинтегральная функция, что и требовалось показать.
Интеграл б в контрольной работе берется методом замены переменной (подстановкой). Приведем ряд примеров.
б.1) |
∫ |
|
1−2x |
||
sin |
|
dx. |
|||
3 |
|||||
|
|
|
За новую переменную возьмем аргумент подинтегральной
функции |
|
t = |
1−2x |
|
|
и найдем dt |
|
по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
1−2x ′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
dt = t (x)dx = |
|
|
|
|
|
dx = |
|
− |
|
|
|
x dx = |
|
0 − |
|
1 dx = − |
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1− |
2x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
sin |
|
|
|
|
dx = |
dt = − |
|
|
|
dx |
= |
|
|
sin t |
− |
|
dt |
= − |
|
|
sin t dt = |
||||||||||||||||||||
∫ |
|
3 |
|
3 |
|
∫ |
2 |
2 ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = − |
|
3 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= − |
3 |
(−cost )+C = |
3 |
cost +C = |
|
3 |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
В последнем действии осуществлен переход к исходной пере-
менной x с учетом, что t = |
1−2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Проверка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
1−2x |
|
|
|
′ |
3 |
|
|
|
|
|
1−2x |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos |
+C |
= |
cos |
|
|
+C′ = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
1−2x |
1−2x ′ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1−2x |
|
2 |
|
1−2x |
|||||||||
= − |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
+0 |
|
= − |
|
sin |
|
|
− |
|
|
= sin |
|
. |
|||||||
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
2 |
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось показать.
1−1 x
б.2) ∫e 3 dx .
|
За новую переменную возьмем показатель степени |
t =1− |
1 |
x. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
t =1− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
∫e1−3 xdx = |
dt = − |
1 |
dx |
= ∫et (−3dt )= −3∫et dt = −3et +C = −3e1− |
3 x +C. |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx = −3dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Проверка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1− |
1 |
x |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1− |
1 |
x |
′ |
1− |
1 |
x |
1 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−3e |
3 |
|
+C |
|
= −3 e |
3 |
|
|
+C′ = −3e |
3 |
1− |
|
|
x |
+0 = |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1−1 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
1− |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= −3e |
3 |
|
− |
|
|
|
= e |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получена подинтегральная функция, что и требовалось показать.
б.3) ∫ |
|
1 |
|
dx. |
(4 |
−3x) |
7 |
||
|
|
|
За новую переменную возьмем функцию, стоящую в основании степени t = 4 −3x. Тогда
48
∫ |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx = |
t = 4 −3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t−7+1 |
+C = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = −3dx |
= |
|
|
t−7 |
− |
|
|
dt |
= − |
|
|
t−7dt |
= − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4 |
−3x) |
|
∫ |
3 |
3 ∫ |
3 |
−7 |
+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx = − |
1 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= − |
|
|
|
1 |
|
|
t−6 |
+C = |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
+C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 (−6) |
18 |
|
t6 |
|
|
18 |
|
(4 −3x)6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Проверка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
′ |
|
|
|
1 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3x)−6 |
) |
|
+C′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
18 |
|
(4 |
−3x) |
|
|
+C |
|
= |
18 |
|
|
|
(4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
|
(−6)(4 −3x) |
|
|
|
|
(4 −3x) |
|
+0 = − |
|
|
|
(4 −3x) |
|
(−3) = |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
18 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
(4 −3x)7 |
Получена подинтегральная функция.
Интеграл под буквой в в контрольной работе также берется методом замены переменной (подстановкой). Ознакомимся с примерами таких подстановок.
в.1) ∫xsin(2 −3x2 )dx .
За новую переменную удобно взять аргумент тригонометриической функции, если к тому же под интегралом присутствует производная этого аргумента в качестве множителя.
|
xsin(2 −3x2 )dx = |
t = 2 −3x2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
dt = −6xdx |
= |
|
sin t |
− |
|
dt |
= − |
|
|
sin tdt = |
||||||||||||
∫ |
∫ |
6 |
6 ∫ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xdx = − |
1 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
cost +C = |
cos(2 −3x2 ) +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проверка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
′ |
1 |
(−sin(2 |
−3x2 ))(−6x) +0 = xsin(2 −3x2 ). |
|||||||||||||||
|
|
|
cos(2 −3x2 ) +C = |
|
|||||||||||||||||||
6 |
6 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
![](/html/2706/637/html_YJJkWE5_6m.TVcJ/htmlconvd-aX9HS450x1.jpg)
в.2) ∫ |
e x |
dx . |
|
x |
|||
|
|
Здесь за новую переменную удобно принять показатель степени, учитывая, что под знаком интеграла присутствует производная этого показателя (с точностью до постоянного множителя).
|
e x |
|
t = |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
dx = |
dt = |
|
1 |
|
dx |
= ∫et (2dt )= 2∫et dt = 2et +C = 2e x +C. |
||||||||||
x |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
= 2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Проверка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(2e x +C )′ = 2e |
x ( |
x )′ +C′ = 2e |
x |
|
1 |
+0 |
= |
e x |
. |
|||||||
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
в.3) ∫sin 3x 6 3 −4cos3x dx .
За новую переменную удобно взять подкоренное выражение, так как под интегралом присутствует также его производная (с точностью до постоянного множителя).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = 3 −4cos3x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
∫sin 3x 6 3 −4cos3x dx = |
dt = −4(−sin 3x) 3dx |
= ∫6 t |
dt = |
||||||||||||||||||||||
12 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x dx = |
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
t |
7 |
6 |
|
|
|
1 |
6 (3 −4cos3x) |
7 |
|
|
|
|
|
||||
= |
∫t 6 |
dt = |
|
|
|
+C = |
+C. |
|
|
|
|||||||||||||||
12 |
12 |
7 |
6 |
14 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50