Комбинаторная теория |
13 |
Комбинаторная теория
Комбинаторика (комбинаторная теория) – один из древнейших разделов математики. В средневековой Европе комбинаторика развивается совместно с теорией вероятностей и выделяется в самостоятельный раздел в 1666 году Лейбницем, который придумал это название и написал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Предметом исследований комбинаторики являются всевозможные комбинации элементов конечных множеств. Рассматриваются комбинации с учётом порядка перечисления элементов или без учёта, комбинации с повторениями и без повторений.
Начнём рассмотрение вопросов комбинаторики с исчисления конечных сумм, рекуррентных соотношений и двух основных правил, после чего перейдём к рассмотрению комбинаций с более специфическими свойствами. Везде ниже, если не оговорено противное, предполагается, что множества конечны.
Исчисление конечных сумм
…
Правило сложения
Пусть даны два множества X и Y такие, что X ∩Y = . Тогда X Y=X+Y . Другими словами: количество элементов объединения двух не пересекающихся множеств равно сумме количеств элементов этих двух множеств.
А что если X ∩Y ≠ , то есть множества X и Y пересекаются? Тогда, очевидно, что так как у этих двух множеств есть общие элементы, то количество элементов их объединения будет меньше чем сумма количеств элементов по отдельности. Нетрудно догадаться, что эту разницу в количестве дадут общие элементы этих двух множеств, так как простым суммирование количеств эти элементы будут посчитаны дважды, значит из суммы количеств нужно вычесть количество общих элементов: X Y=X+Y−X ∩Y .
Далее, пусть дано n множеств таких, что X i∩ X j= ,i≠ j . ТогдаX 1 X 2… X n=X 1+X 2+ …+X n . Другими словами: количество элементов семейства не пересекающихся множеств равно сумме количеств элементов множеств его составляющих. Это правило носит название правило сложения.
В случае же, если множества X 1 , X 2 ,…, X n пересекаются, очевидно, столь простым правилом не обойтись, так как один и тот же элемент может принадлежать двум или более множествам. Подробности этого случая обсуждаются в методе включения и исключения.
Правило умножения
Пусть даны два множества X и Y. Тогда X ×Y=X Y . Другими словами: количество всех упорядоченных пар равно произведению количеств элементов исходных множеств.
Далее, пусть дано n множеств X 1 , X 2 ,…, X n . Тогда X 1× X 2×…× X n=X 1 X 2…X n . Другими словами: количество упорядоченных последовательностей равно произведению количеству элементов исходных множеств.
В случае, если X 1=X 2=…=X n , то X n=X n .
14 Симоненко Е.А. Дискретная математика. Лекции
Метод включения и исключения
Пусть даны n |
|
множеств X 1 , X 2 ,…, X n возможно |
попарно пересекающихся. Тогда |
|||
X 1 X 2 … X n =( X 1 + X 2 +…+ X n ) |
|
|
||||
−( X 1∩ X 2 + X 1∩ X 3 +…+ X n−1∩ X n ) |
|
|
||||
+( X 1∩ X 2∩ X 3 +…+ X n−2∩ X n−1∩ X n ) |
|
|
||||
+(−1)n−1 X |
1 |
∩ X |
2 |
∩…∩X |
|
|
|
|
n |
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
или ∑(−1)k−1 S k (X 1, X 2, …, X n) , где S k (X 1, X 2, …, X n) |
является суммой |
X i1∩…∩ X ik по |
||||
k =1 |
|
|
|
|
|
X 1 , X 2 ,…, X n . |
всем возможным пересечениям ровно k различных множеств из множеств |
||||||
(Доказательство смотри в [Кузьмин: комбинаторика].)
Перестановки
Перестановкой элементов множества X, X =n , называется последовательность из элементов этого множества длины n. Различные перестановки одного и того же множества отличаются друг от друга только порядком размещения его элементов. Например, выпишем все перестановки множества X ={1,2, 3} : (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) .
Выясним, сколько различных перестановок можно получить из множества с n элементами? Для этого будем строить произвольную перестановку по одному элементу по очереди и считать количество различных вариантов выбора элемента множества. Итак, для задания значения для первого элемента произвольной перестановки у нас есть возможность выбора из n элементов. После выбора первого элемента перестановки у нас остаётся n – 1 элемент и, значит, второй элемент перестановки мы можем выбрать n – 1 способами. Аналогично рассуждаем и для всех остальных элементов перестановки по очереди вплоть до последнего, выбора для которого уже не остаётся (в исходном множестве остаётся только один не выбранный элемент). Таким образом, по правилу умножения мы получаем следующую формулу:
Pn=n (n−1) … 1 ,
где Pn обозначает количество всевозможных перестановок множества с n элементами.
Произведение n (n−1) … 1 называют факториалом и обозначают n! . Это число нам ещё встретится. (По определению считают, что 0 !=1 .)
Иногда нас интересует только порядок следования элементов, но не то с какого элемента последовательность начинается. Например, для множества X ={1,2, 3} различными будут считаться только такие перестановки: (1,2,3),(1,3,2) . Назовём циклическим сдвигом влево
последовательности |
(x1, x2, ... , xn−1 , xn) |
последовательность |
(x2, ... , xn−1 , xn , x1) , |
а |
циклическим сдвигом |
вправо – последовательность (xn , x1, x2, ... , xn−1) . Тогда циклической |
|||
перестановкой называется перестановка, получающаяся из некоторой другой циклическим сдвигом вправо или влево. Назовём основными перестановки, которые нельзя получить друг из друга посредством циклических сдвигов. Очевидно, что количество циклических перестановок некоторой последовательности равно n, включая её саму. Тогда количество всех основных перестановок равно (n−1)! .
Размещения
Рассмотрим теперь всевозможные перестановки элементов множества X, X =n , произвольной длины k. Такие перестановки с выбором k элементов из n называют
Комбинаторная теория |
15 |
размещениями. Например, выпишем все размещения по два для множества |
X ={1,2, 3} : |
(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) . |
|
Выясним, сколько возможно сделать размещений из n элементов по k. Для этого поступим также как и при выяснении количества перестановок элементов множества за той лишь разницей, что у нас будет только k элементов: первый элемент множества мы можем выбрать n разными способами, второй – n – 1 разными способами, и так далее, и, наконец последний n−k+ 1 разными способами. Таким образом по правилу умножения получаем:
Ank=n (n−1) … (n−k+ 1)= |
n! |
. |
|
||
(n−k )! |
|
|
Очевидно, что Ann=n! даёт нам число перестановок.
Сочетания
Как уже известно, множество всех возможных комбинаций элементов некоторого множества X называется булеаном множества X и обозначается 2X . (Позже мы выясним, чему равно2X , то есть сколько всего возможно построить подмножеств из некоторого множества X.) Но часто нас интересуют не все возможные комбинации, а только с определёнными свойствами. В частности, подмножества множества X, X =n , с определённой мощностью k называют сочетаниями из n по k. Например, выпишем все сочетания по два для множества
X ={1, 2,3} : {1, 2},{1, 3}, {2,3} .
Возникает вопрос, а сколько возможно сочетаний из n по k? Давайте на время забудем о том, что порядок перечисления элементов множества не важен, тогда количество сочетаний есть
ни что иное как Akn . Но так как порядок перечисления элементов нам все же не важен, то мы
должны уменьшить получившиеся число на количество всех возможных порядков размещения, что есть на количество перестановок из k элементов, то есть k ! . Таким образом, получаем следующую формулу:
Cnk =n (n−1) … (n−k +1) |
= |
n! |
, |
|
k ! (n−k )! |
||||
k ! |
|
|
где Cnk обозначает количество всех возможных сочетаний из n элементов по k.
Число Cnk также называют биномиальным коэффициентом. Его свойства мы рассмотрим позже.
Вернёмся к булеану 2X и попытаемся выяснить, чему равно 2X . Очевидно, что количество элементов булеана это сумма количеств всех возможных одно элементных подмножеств, всех возможных двух элементных подмножеств и так далее плюс один для пустого множества, то есть:
n
2X =C 0n+ C1n+ C2n+ …+ C nn=∑C kn .
k =0
Очевидно, что C1n =n и Cnn=1 . А C0n =1 .
Позже мы найдём более простую формулу для 2X .
Итак, мы рассмотрели различные комбинации без повторений. Ниже будут рассмотрены различные комбинации с повторениями элементов.
16 Симоненко Е.А. Дискретная математика. Лекции
Перестановки с повторениями
Перестановкой элементов мультимножества X, X =n=n1+ n2 + …+ nm , называется последовательность из элементов этого множества длины n. Такие перестановки называют также перестановками с повторениями. Например, выпишем все перестановки
мультимножества |
X ={1, 2,2} : (1, 2,2),(2,1, 2),(2, 2,1) . |
|
|
Выясним, сколько |
различных перестановок можно |
получить из |
мультимножества X с |
X =n=n1+ n2 + …+ nm элементами? Как известно, |
количество |
перестановок n разных |
|
элементов равно n!. Нетрудно понять, что так как некоторые элементы в X могут повторяться, то перестановка одних и тех же элементов между собой новой перестановки не даёт, значит количество перестановок с повторениями меньше количества перестановок без повторений во столько раз, сколько перестановок дают повторяющиеся элементы, а каждый повторяющийся элемент даёт ni ! ,i [1, m], перестановок. Таким образом получаем:
P (n1, n2,…, nm)= |
|
n! |
|
|
. |
n ! n |
! … n |
m |
! |
||
1 2 |
|
|
|
||
Размещения с повторениями
Пусть дано множество X, X =n . Тогда размещением с повторениями из n по k называется последовательность с повторениями из k элементов множества X. Например, выпишем все размещения по два для множества X ={1, 2} : (1,1),(1, 2),(2,1),(2,2) .
Фактически, размещение с повторениями из n по k на множестве X это ничто иное как декартово произведение X ×X ×…× X = X k . Отсюда сразу следует, что количество всевозможных размещений с повторениями из n по k равно:
Akn=nk .
Сочетания с повторениями
Пусть дано множество X, X =n . Тогда сочетанием с повторениями из n по k называется мультимножество Y из k элементов множества X такое, что его элементы могут повторятся от 0 до k раз, то есть допускается любое количество повторений. Например, выпишем все сочетания с повторениями по два для множества X =1, 2,3 :
{1, 1},{1, 2}, {1, 3},{2, 2}, {2, 3}, {3,3} .
Выясним, сколько можно получить различных сочетаний с повторениями из n по k? Чтобы выяснить это, сделаем следующее: сгруппируем в произвольном сочетании одинаковые элементы и вставим между группами разных элементов n−1 фиктивный разделительный элемент. Затем перенумеруем элементы полученного мультимножества и получим новое множество с k + n−1 различными элементами. Нетрудно понять, что выбор для n−1 разделительного элемента номер позиции из k + n−1 различных номеров и даст нам искомое количество сочетаний с повторениями из n по k:
|
= |
(k + n−1)! |
=C kn+−1n−1 =Ckk + n−1 . |
Cnk |
|||
|
|
k ! (n−1)! |
|
Бином Ньютона и полиномиальная формула
Рассмотрим известные формулы:
Комбинаторная теория |
17 |
(x + y )1=x+ y
(x + y )2=x2+2 x y+ y2 . (x + y )3=x3+3 x2 y+3 x y2+ y3
Оказывается, что эти формулы могут быть записаны в таком виде:
(x+ y)1=C 0 x+ C1 y |
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
(x+ y)2=C 0 x2 |
+ C |
1 x y+ C 2 y2 |
|
. |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
(x+ y)3=C 0 x3+ C |
1 x2 y+ C2 x y2+ C 3 |
y3 |
|||
3 |
|
3 |
3 |
3 |
|
Более того, с помощью метода математической индукции можно доказать следующую формулу:
n
(x + y )n=C0n xn y0+C1n xn−1 y1+…+C kn xn−k yk +…+Cnn x0 yn=∑Cnk xn−k yk .
k =0
Эта формула носит название бином Ньютона или биномиальное разложение натуральной степени бинома. Здесь словом бином назван двучлен x+ y . Отсюда название для Cnk биномиальный коэффициент.
Биномиальный коэффициент обладает двумя интересными свойствами:
Cnk=Cnn−k −правило симметрии ,
Cnk=Ckn−1+ Ckn−−11−правило Паскаля.
Эти два свойства (правила) позволяют построить так называемый треугольник Паскаля: 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
…
Что также даёт нам рекурсивное правило для вычисления биномиальных коэффициентов.
Вспомним теперь о до конца нерешённой нами проблеме: чему равно 2X ? Как мы уже выяснили при рассмотрении сочетаний (без повторений):
n
2X =C 0n+ C1n+ C2n+ …+ C nn=∑C kn .
k =0
Если мы сравним эту формулу с биномом Ньютона, то увидим, что если положить x=1 и y=1 , то получим:
n
(1+ 1)n=C 0n+ C1n+ …+ C kn+ …+ C nn=∑Cnk ,
k=0
что даёт нам ответ на наш вопрос:
2X =2 X .
Обобщением бинома Ньютона является полиномиальная формула: