- •7.1. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные понятия
- •7.2. Классический метод расчета переходных процессов
- •7.2.1. Подключение катушки индуктивности к источнику постоянного напряжения
- •7.2.2. Отключение катушки индуктивности от источника постоянного напряжения
- •7.2.3. Включение катушки индуктивности к источнику синусоидальной э.Д.С.
- •7.2.4. Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения
- •7.2.5. Разряд конденсатора на резистор
- •7.2.6. Подключение конденсатора к источнику синусоидального напряжения
- •7.2.7. Разряд конденсатора на rl-цепь
- •7.2.8. Подключение rlc-цепи к источнику постоянного напряжения
- •7.2.9. Расчет переходных процессов в сложной цепи
- •7.3. Метод переменных состояния
- •7.4. Расчет цепи при воздействии э.Д.С. Произвольной формы. Интеграл Дюамеля
- •7.5. Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях
- •7.6. Операторный метод
- •7.6.1.Основные понятия
- •7.6.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.
- •7.6.3.Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом
- •7.6.4. Нахождение оригинала по изображению
7.2.5. Разряд конденсатора на резистор
1. ;;
;
2.
3.
4.
;
5.
6.
7. ;
;
7.2.6. Подключение конденсатора к источнику синусоидального напряжения
1.
2.
3.
4.
5.
6. ;
7. ;
Примечание
1. Если , то переходный процесс не возникает, и сразу же наступает установившейся режим.
2. Если включение происходит при , то свободная составляющая напряжениянаибольшая. Если, то в начальный момент происходит большой всплеск тока, намного превосходящий амплитуду тока. Однако такой большой ток протекает незначительную часть периода, т.к., а потому <<T.
7.2.7. Разряд конденсатора на rl-цепь
1.
;
где – коэффициент затухания;
– собственная частота контура (резонансная)
2.
3.
4.
5. ;
6.
;;
;
.
Для определения постоянных интегрирования в уравнениях n-го порядка находят начальные значения искомого тока (напряжения) и всех их производных до (n-1) включительно, используя уравнения цепи и начальные значения токов в катушках и напряжений на конденсаторах, определяемых по законам коммутации.
Т.к. здесь n=2, то необходима первая производная:
; .
Из уравнения цепи:
;
.
Т.о.
;
7. ;
;
.
Характер процессов при разряде конденсатора оказывается существенно различным в зависимости от того, будут ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными, что определяется соотношениями между параметрами R,Lи С.
Случай 1:
, т.е.или.
Оба корня p1 иp2отрицательны, вещественны и отличны друг от друга:
; ;и.
При изменении tот 0 довеличиныубывают от 1 до 0, причем так как( т.е.), товсегда положительно.
Следовательно, ток iне меняет своего направления, и конденсатор все время разряжается.
Такой односторонний разряд конденсатора называют апериодическим разрядом.
Ток достигает максимума при, а затем убывает.
Напряжение на емкости монотонно убывает, стремясь к нулю. При расчете использованы условно положительные направления тока и напряжения. Действительные направления показаны на схеме пунктиром и представлены на рисунке (см. выше).
Из уравнения следует, что каждое мгновение:
.
При t= 0.
При t=tm.
При t>tmток уменьшается,меняет знак.
С энергетической точки зрения при t<tmкатушка индуктивности запасает энергию от конденсатора, а приt>tm– отдает.
Случай 2:
, т.е.или.
Тогда .
Тогда – неопределенность. Раскрыв по правилу Лопиталя получим:
;
;
.
Процесс – апериодический .
Данный случай при являются предельным случаем апериодического разряда, так как при дальнейшем уменьшенииразряд становится колебательным.
Случай 3:
, т.е.или.
Корни комплексно сопряженные:
;
,
где – угловая частота затухающих колебаний.
Тогда ,
где ;;
;.
Для тока:
;
;;
;.
Процесс колебательный.Ток и напряжения на всех участках периодически меняют знак. Амплитуда колебаний убывает по показательному закону –затухающие колебанияс угловой частотой;.
При ;;– формула Томпсона – незатухающие колебания с периодом;– резонансная (собственная) частота контура. При этоми в цепи устанавливается режим, полностью соответствующий установившемуся процессу в нем при резонансе.
Энергетические процессы:
От 0 до t1=tm – ток возрастает и режим соответствует апериодическому, т.е. L накапливает энергию,Rрассеивает,Cотдает.
От t1доt2–
–Cотдает;
–Lотдает;
–Rрассеивает.
От t2доt3– конденсатор С полностью разрядился, ток, поддерживаемый э.д.с. самоиндукции, продолжает протекать в том же направлении и заряжает конденсатор. Энергия магнитного поля частично переходит в энергию электрического поля конденсатора и частично превращается в теплоту на сопротивленииR. К времениконденсатор С заряжается максимально. В этот момент i = 0.
В следующую половину периода процессы повторяются, но знаки напряжений и тока поменяются на противоположные. Таким образом, в зависимости от соотношения параметров возможны следующие режимы разряда конденсатора: