Тема 6: Элементы интегрального исчисления

6.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

1)Первообразной функции f(x)на промежутке(a; b)называется такая функцияF(x), что выполняется равенстводля любогохиз заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы Сравна нулю, то справедливо равенство. Таким образом, функцияf(x)имеет множество первообразныхF(x)+C, для произвольной константыС, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Все множество первообразных функции f(x)называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается.

2)Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , гдеk– произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

6.2. Определенный интеграл и его основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

1. 

2. где k - константа;

3. 

4. 

5. Если для всех, то.

6. 

7. 

8. Если в интервале [a, b], то 

6.3. Методы интегрирования

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z), которая определена на интервале  и имеет на нем непрерывную производную, причем  и , тогда .

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интегралмы бы искалиметодом подстановки.

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x) вместе со своими производными первого порядка и функция  – интегрируема, тогда на этом отрезке интегрируема функция  и справедливо равенство .

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл  мы бы искали интегрированием по частям.

6.4. Приложения определенного интеграла.

Тема 7: Дифференциальные уравнения

10.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

Квазилинейнымуравнением второго порядка называется уравнение вида

         (1)

Положим                              (2)

A(x) называется матрицей старших коэффициентов. При условии (2) она будет симметричной.

Уравнения второго порядка классифицируют в зависимости от собственных значений матрицы А(x). Если А симметричная, то все собственные значения вещественны. Пусть есть nсобственных  значений. Из них штук положительны,  штук отрицательны иштук равны нулю. Обозначим это через .()

В рассматриваемой точке  равнение (1) принадлежит типу  на некотором точечном множестве, если оно принадлежит типу  в каждой точке этого множества. Если старшие коэффициенты в уравнении (1) постоянны, то тип уравнения один и тот же во всех точках пространства. Если изменить знаки всех членов уравнения, то  и  поменяются местами, значит типы уравнений  и  тождественны.

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:  1) независимую переменную ; 2) зависимую переменную (функцию); 3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

10.3. Дифференциальные уравнения высших порядков.

10.4. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

10.5. Линейные неоднородные ДУ