Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

66_20110923_091709.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:

x1 2x2 x3 0,

7x1 5x2 3x3 0,

3x2 7x3 0,

4x2 x3 0,

4x1

5x1

x2 6x3 0.

x2 4x3 0.

5x1

2x1

2x1 4x2 3x3 0,

x1 5x2 x3 0,

3x2 2x3 0,

2x2 6x3 0,

3x1

x2 x3 0.

3x2 7x3 0.

3x1

2x1

x1 2x2 3x3 0,

3x1 2x2 x3 0,

4x2 x3 0,

3x2 5x3 0,

2x1

6x2 4x3 0.

x2 4x3 0.

3x1

5x1

10.

7x1

6x2 x3

11.

2x1

x3 0,

3x2 4x3 0,

2x 2 2x3 0,

3x1

3x2 5x3 0.

x2 x3 0.

4x1

7x1

13.

5x1

3x2 2x3 0,

14.

2x1 3x2 4x3 0,

4x2 3x3 0,

2x2 3x3 0,

2x1

7x2 5x3 0.

x2 x3 0.

3x1

17.

у16.

2x1

2x2 x3 0,

4x2 1x3 0,

бан

агра

афе

ФГ

x1 3x2 5x3 0,

5x1

6x3

кий

3x1

4x1

x2 4x3 0.

рны

гОУ

ра

осуд

йу1 2

19.в

20.

8x 7x 0,

3x 7x 0,

ысш3x 5x

ни

арс

вер

вен

4x1

3x2

3x1

6x2 10x3 0.

мат

итет

м ",

- 30 -

ати

3.3x1 2x2 5x3 0,

5x1 4x2 6x3 0,

2x1 2x2 x3 0.

6.3x1 4x2 5x3 0,

2x1 3x2 3x3 0,4x1 11x2 13x3 0.

9.7x1 5x2 3x3 0,

5x1 4x2 x3 0,2x1 x2 4x3 0.

12.9x1 x2 8x 3 0,

2x1 8x2 x3 0,4x1 2x2 3x3 0.

15.x1 5x2 x3 0,2x1 x2 x3 0,3x1 4x2 2x3 0.

18.2x1 x2 4x3 0,

4x1 9x2 2x3 0,

x1 5x2 3x3 0.

21.x1 x2 x3 0,

2x1 3x2 2x3 0,

x1 x2 x3 0.

Линейная алгебра

Типовые расчеты

аналитическая геометрия

методические указания

22.

4x 2 x3 0,

23.

x2 x3 0,

24.

x2 2x3 0,

3x1

x2 x3 0,

4x1

x1 3x2 2x3 0,

4x1 5x2 3x3 0,

7x2

3x3 0.

3x2 x3 0.

x1 5x 2 2x3 0.

5x1

2x1

25.

3x1

x2 x3 0,

26.

2x1

x3 0,

27.

x1 4x2 7x3 0,

3x2 4x3 0,

7x 2

6x3 0,

2x2 3x3 0,

2x1

2x2 3x3 0.

4x3 0.

3x2 5x3 0.

5x1

3x1 x2

28.

x1 2x2 x3 0,

29.

x3 0,

30.

3x1

2x2 x3 0,

3x2 5x3 0,

5x3 0,

3x1

2x1

x1 x2 2x3 0,

x2 6x3 0.

2x2

3x3 0.

4x2 3x3 0.

4x1

2x1

Решение типового примера.

Пусть требуется исследовать на совместность и решить следующую систему уравнений:

2x1 x2 4x3 0,

4x2 x3

3x1

x1 3x2 3x3

Данная система уравнений однородная, следовательно, заведо-

мо совместная, поскольку имеет нулевое решение x1 x2 x3 0 ,

значит, осталось выяснить определенная она или неопределенная.

Для этого вычислим ранг матрицы системы, и сравним с числом

ба

ФГ

агра

афе

неизвестных переменных.

кий

рны

гОУ

ра

осуд

ысш

ни

арс

вер

вен

мат

итет

- 31 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Полученная ступенчатая матрица имеет две линейно независимые строки, значит r A 2. Так как ранг меньше числа неизвестных переменных r 2 n 3 , то делаем вывод о неопределенности данной однородной системы линейных уравнений.

Поскольку r 2 , две неизвестные переменные основные, одна вспомогательная.

Проверим, являются ли основными неизвестные x1, x2 ?

1	3	1 0	x	, x	2	основные неизвестные, а x	3	вспо-
0	1		1		2		3
0	1

могательная переменная.

По матрице ступенчатого вида составим систему уравнений и разрешим ее относительно основных переменных.


x 3x 3x			0,	x 3 2x		3x 0,	x 3x ,
1	2	3		1	3	3	1	3
x2 2x3 0.				x2 2x3.			x2 2x3.

Таким образом, общее решение исходной однородной системы имеет вид:

3x3 ; 2x3 ; x3 ,

или

3t; 2t; t ,

где t произвольное действительное число.

3t; 2t; t .

Ответбан.

агра

ФГ

афе

кий

рны

гОУ

ра

осуд

в й

ысш

ни

арс

вер

с вен

мат

итет

- 32 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Тема 2. Элементы векторного анализа и аналитической геометрии

Задание 7. Даны координаты точек A, B и C в системе x O y . Найти:

а) координаты векторов AB , AC , их разложение по ортам i , j и их модули;

б) угол между векторами AB и AC ;

в) направляющие косинусы векторов AB и AC ; г) проекцию вектора AB на вектор AC .

1.									8;		3					4; 12				.	2.						5; 7										2	.
	A	8;10			, B				8;		3	, C				4; 12				.		A 11; 20			, B		5; 7					, C			7;		2	.
3.		2;																	9		4.
	A	2;			4		,		B 10; 5				,	C				8;	9	.		A	2; 5	, B 14; 4							, C 18;18							.
5.															9;				3		6.		5; 0														5
	A 1; 2			, B				11;11 , C							9;				3	.		A	5; 0		, B			7; 9		, C				5;			5	.
7.			7; 2																3	.	8.		6; 2													4; 7			.
	A		7; 2			, B				5;11 , C							3;		3	.		A	6; 2			, B			6; 7				, C			4; 7			.

9.A 8; 4 , B 4; 5 , C 2; 9 . 10. A 0; 1 , B 12; 8 , C 10; 6 .

11. A 6;1 , B 6;10 , C 4; 4 . 12. . A 2; 3 , B 4; 5 , C 6; 7

13.

A 3; 0 , B 9; 9 , C

7; 5 .

14.

3; 3 , B 9; 6 , C

7; 8 .

15.

5; 10

16.

8; 8

1 , B

, C

3; 4

4;1 , B

, C

6; 6

17.

A 1; 2 , B 13; 7

, C 11; 7

18.

A 2; 2 , B 10; 7

, C 8; 7 .

A 8; 4 , B 4; 5 , C 2; 9

20.

A 0; 3 , B 12; 6 , C 10; 8 .

К19.

, B 5; 8 , C 3; 6 .

A 7; 5

, B 5; 4 , C 3;10 .

банA 7; 1

21.

22.

агра

ФГ

афе

д 23.

кийA 5; 2

, B 7; 7 , C 5; 7

24.

A 9; 2 , B 3; 7 , C 1; 7 .

рны

гОУ

ра

осуд

йу

25.

26.

0; 3

, B 12;

, C 10; 8

2;1 , B 10;10

, C

ысш

ни

27.

арс

28.

вер

, C 6; 6 .

A 1; 0

, B 11; 9 , C 9; 5 .

A 4;

1 , B 8; 8

вен

29.

30.

мат

8 .

A 3; 0 , B 9; 9 , C 7; 5 .

A 3;

3 , B 9; 6 , C 7;

итет

- 33 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Решение типового примера.

Пусть даны координаты точек A 4; 3 ; B 16; 6 ; C 20;16 .

а) Найти координаты векторов AB , AC ,

их разложение по ортам

i , j

и их модули.

Известно, что произвольный вектор

a , отнесенный к прямо-

угольной системе координат xOy , может быть представлен в виде:

a a x i a y j .

Данное представление вектора a

называется его разложени-

ем по ортам координатных осей i , j .

Если вектор задан начальной M 1 x1; y 1 и конечной точкой

M 2 x 2 ; y 2 , то данное разложение может быть представлено в виде:

M 1 M 2 x 2 x1 i y 2 y 1 j .

В нашем случае имеем:

AB 16 4 i 6 3 j

12i 9 j

AB 12; 9 ,

AC 20 4 i 16 3 j

16i 13 j AC 16;13 .

Зная координаты вектора a a x ; a y можно найти модуль век-

утора по формуле:

бан

агра

ФГ

афе

a x a y .

ркий

ра

гОУ

В нашем

случае имеем:

144 81

225 15 ( лин. ед.),

AB осу12д

ысш

ни

арс2 2

вер

т13

256 169

425 5 17 ( лин. ед.).

ACй

вен

мат

итет

- 34 -

ати

Линейная алгебра			Типовые расчеты

аналитическая геометрия			методические указания
б) Найти угол между векторами AB и AC .
Воспользуемся формулой
cos a b	a b		,

	a	b

где a b скалярное произведение векторов, которое вычисляется по формуле:

ab a x b x a y b y .

Внашем случае имеем:

cos AB AC	AB AC				12 16 9 13
	AB AC				12 16 9 13	75		1				17	.
													.
	AB		AC		15 5 17	75 17		17		17


			17						17
то есть cos AB AC			17	0, 242 AB AC arccos					17		76 o .
то есть cos AB AC		17		0, 242 AB AC arccos				17			76 o .
		17						17
в) Найти направляющие косинусы векторов AB и AC .
Направление произвольного вектора a						определяется углами
, образованными им с координатными осями.							Косинусы этих

углов называются направляющими косинусами и определяются по формулам:

cos

бан

ФГ

агра

афе

ашем случае имеем:

кий

a x

рны

12;гОУ9 :

cos

ра

осуд

a x

ысш

ни

арс

вер

cos

2. AC

16; 13 :

вен

мат

итет

м ",

ати

a x		,		cos					a y	.
a									a


											a y		9
	12				4		;	cos			a y		9			3	.

	15				5							a	15			5



	16					;		cos			a y		13		.


	5		17									a	5	17
	5		17									a	5	17
	- 35 -
	- 35 -

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

г) Найти проекцию вектора AB на вектор AC .

Воспользуемся формулой

Пр

a b

В нашем случае имеем:

Пр

AB AC

12 16

9 13

5 17

Задание 8. Даны координаты вершин треугольника ABC . Найти:

а) длины сторон треугольника;

б) уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты

и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно;

в) угол C треугольника ABC ;

г) уравнение высоты AL и ее длину;

д) уравнение медианы BK ;

е) уравнение прямой, проходящей через точку L , параллельно

стороне AB ;

ж) координаты точки T ,

расположенной симметрично точке C от-

носительно высоты AL ;

з) сделать рисунок.

A 4;12 ,

B 12; 1 , C 0; 10 .

A 11; 20 ,

B 5; 7

, C 7; 2 .

бан

ФГ

агра

афе

C 15; 4 .

A 17; 5 ,

B 7; 0 ,

C 19; 9 .

Aс13;10 , B

3; 5 ,

кий

рны

гОУ

5;1 .

A 15; 8 ,

B 5; 3 ,

C 17; 6

3;15 ,

7;10 , C

ра

осуд

в й

7;15у,

3;10П, C

9;1 .

A 15;19 ,

B 1; 6 , C 11; 3 .

ысш

ни

арс

вер

C 14; 8 .

10.

A 15;14 ,

B 1;1 , C 11; 8 .

A 18;14 ,

2;1 ,

вен

мат

11.

A 2;13 ,

итет

2; 9 .

12.

A 9; 8 ,

B 7; 5 , C 5; 14 .

14; 0 , C

м ",

- 36 -

ати

	Линейная алгебра					Типовые расчеты

аналитическая геометрия						методические указания
13.	A 5;14 ,	B 5; 9 ,	C 7; 0 .	14.	A 10; 8 ,	B 0; 3 ,	C 12; 6 .
15.	A 3; 9 , B 7; 4 , C 5; 5 .			16.	A 14; 6 ,	B 4;1 ,	C 16; 8 .
17.	A 7;15 ,	B 3; 0 ,	C 9;1 .	18.	A 6;17 ,	B 4;12 , C 8; 3 .
19.	A 0;10 ,	B 10; 5 , C 2; 4 .		20.	A 13;11 ,	B 3; 6 ,		C 15; 3 .
21.	A 4;13 ,	B 6; 8 ,	C 6; 1 .	22.	A 8;12 ,	B 2; 7 ,		C 10; 2 .
23.	A 15;17 ,	B 1; 4 ,	C 11; 5 .	24.	A 18;18 ,	B 2; 5 ,		C 14; 4 .
25.	A 12; 23 , B 4;10 , C 8;1 .			26.	A 17;13 ,	B 1; 0 ,		C 13; 9 .
27.	A 7;19 ,	B 9; 6 ,	C 3; 3 .	28.	A 16;15 ,	B 0; 2 ,		C 12; 7 .
29.	A 6; 22 ,	B 10; 9 , C 2; 0 .		30.	A 8;10 ,	B 8; 3 , C 4; 12 .

Решение типового примера.

Пусть даны координаты вершин треугольника:

A 4; 3 ; B 16; 6 ; C 20;16 .

а) Найти длины сторон треугольника ABC .

Используем

формулу,

определяющую

расстояние

d между

точками M 1 x1; y1 и M 2 x2 ;

y 2 :

x2 x1

y 2

8.1

бан

агра

Тогда, по формуле (8.1) получим:

афе

сФГ

кий

6 3

225 15

лин. ед. ;

рны

гОУ

ра

осуд

BС

20 16

16 6

500 10

лин. ед. ;

ысш

ни

е20 арс4 16 3

лин. ед. .

AС

16 2

132

425 5

вер

вен

мат

итет

- 37 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

б) Найти уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно.

Используем формулу уравнения прямой, проходящей через

две точки M 1 x1; y1 и M 2 x2 ; y 2		:
	x x1		y y1	8.2
	x2 x1		y 2 y1

Подставляя в формулу (8.2) координаты соответствующих вершин треугольника ABC , определим искомые уравнения сторон.

AB :

x 4

y 3

;

x 4

y 3

;

x 4

y 3

;

16 4

6 3

или

3 x 4 4 y 3 ; 3x 12 4 y 12;

3x 4 y 24 0

Получили общее уравнение прямой АВ. Разрешим это уравнение относительно переменной y , тогда коэффициент перед переменной x является угловым коэффициентом прямой АВ:

3x 4 y 24 0	4 y 3x 24;	y	3	x 6	k			3	.
						AB
		4					4

Если прямая задана своим общим уравнением Ax By C 0,

ба

ФГ

n и направляющий p вектора этой прямой,

агра

афе

то нормальный

рны

гОУ

димеюткийследующие координаты:

ра

осуд

A; B и p B; A

8.3

ысш

ни

арс

вер

Значит, для п ямой АВ:

венn 3; 4 , p

4; 3 .

мат

итет

м ", й

- 38 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Аналогично, используя формулы (8.2) и (8.3) определим уравнения сторон ВС и АС и координаты их нормальных и направляющих векторов соответственно.

BC :

x 16

y 6

;

x 16

y 6

;

x 16

y 6

;

20 16

16 6

11 x 16 2 y 6 ;

11x 176 2 y 12;

11x 2 y 188 0 BC

11x 2 y 188 0

x 94

Координаты нормальных и направляющих векторов:

n BC 11; 2 и n BC 2;11 .

AC :

x 4

y 3

;

x 4

y 3

; 13 x 4 16 y 3 ;

16 3

20 4

13x 52 16y 48;

13x 16y 4 0

13x 16 y 4 0 y

Координаты нормальных и направляющих векторов:

n AC 13; 16

и n AC 16;13 .

в) Определить величину угла B треугольника ABC .

Если две прямые l1 и l 2

заданы уравнениями с угловыми ко-

y k1x b1

и l2 :

y k 2 x b2 , то угол между ни-

эффициентами: l1 :

агра

афе

банми можно найти по формуле:

k 2 k1

ФГ

кий

рны

гОУ

8.4

ра

осуд

k1 k

в й

, значит:

ысшВ нашем случае: k k

ни

арс

вер

вен

мат

итет

м ",

- 39 -

ати

Линейная алгебра									Типовые расчеты

аналитическая геометрия									методические указания
	11			3		25		25



	2

tg				4		4		4	2 .
tg		11			3			25	2 .
	1	11			3	1	33	25



			2		4		8	8
			2		4		8	8

Таким образом, tg 2 arctg2 64 o . г) Найти уравнение высоты CD и ее длину.

Поскольку CD является высотой треугольника АВС, значит CD AB . Используем условие перпендикулярности двух прямых:

прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и взяты с противоположными знаками, т.е.

l		l		k				1		.
l	1	l	2	k	l					.
	1		2		l	1		k l
						1
									2
В нашем случае: CD AB k									1		1			4	.
В нашем случае: CD AB k							CD					3			.
							CD		k AB				3
													3
											4
											4

Далее, используем уравнение прямой, проходящей через дан-

ную точку M 0 x0 ; y0 в заданном направлении (оно определяется угловым коэффициентом):

y y0 k x x0

8.5

В нашем случае известна точка C 20;16 точка, через кото-

бан

афе

рую проходит высота CD, и угловой коэффициент этой прямой

с4

ФГ

кий3

аграk

. Тогда получим:

рны

гОУ

ра

осуд

20 ;

3y 48 4x 80; 4x 3y 32 0

ысш

ни

Дляеопредеарсления длины высоты CD, используем формулу (6.1),

вен

найдем

координаты точки D. Поскольку точка D является

но сначала

итет

ат

м ",

ати

- 40 -

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

пересечением прямых CD и AB, то для определения еѐ координат необходимо решить совместно уравнения этих прямых, т.е.

AB 3x 4 y 24 0, ( 4)			3x 4 y 24 0,	x 8,
CD		0. 3
CD	4x 3y 32	0. 3	25y 0.	y 0.

Значит, точка D имеет следующие координаты: D 8; 0 .

Теперь по формуле (8.1) получим:

			20 8 2			16 0 2											20 лин. ед. .
										12 2			162
	CD									12 2			162			400
д) Найти уравнение медианы BK .
	Так как BK является медианой, то точка K середина отрезка
AC. Определим координаты середины отрезка AC по формуле:
					x A xC						20 4
	x K					,			x K			,	x		12,
	x K			2		,			x K	2		,	x	K	12,
				2						2				K			K 12; 9,5 .
					y A yC					16 3					9,5.		K 12; 9,5 .
	y				y A yC			y K		16 3			y K		9,5.
							.					.


		K		2						2
				2						2

Далее, использую формулу (8.2), найдем уравнение медианы BK:

x 16

y 6

;

x 16

y 6

; 31 x 16 8 y 6 ;

12 16

9,5 6

31x 496 8y 48; 31x 8y 448 0 BK

е) Найти уравнение прямой,

проходящей через точку D , парал-

бан

лельно стороне AС.

агра

ФГ

афе

ки

сПусть l искомая прямая. Тогда, по условию она параллельна

рны

гОУ

п ямой AС. Используем условие параллельности двух прямых:

ра

осуд, т. е.

д е прямые параллельны, если они имеют равные угловые коэф-

вй

фициенты

сш

арс

l1 || l2 kl

kl .

вер

вен

мат

итет

м ",

- 41 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

В нашем случае: k l k AB 1613 .

Также, по условию, известно, что прямая l , проходит через точку D. Тогда используя формулу (8.5), определим уравнение искомой прямой:

D 8; 0		8.5		13	x 8 ; 16 y 13x 104; 13x 16 y 104 0 l
D 8; 0

	3	y 0
kl		y 0
			16


4
ж) Найти координаты точки T , расположенной симметрично точке B
относительно высоты CD .
По условию, точка T симметрична точке B, относительно вы-
соты CD, значит, точка T лежит на прямой AB и длины отрезков BD
и DT равны между собой. То есть, точка D является серединой от-
резка BT:

x D

y B

y D

Отсюда, найдем искомые координаты точки T.

2 x

2 8 16,

бан

T 0; 6 .

агра

ФГ

афе

y B .

2 0 6.

yT 6.

2 y D

кий

рны

гОУ

з) Чертеж (рис.1)

ра

осуд

в й

прямой l (пункт е) необходимо выбрать допол-

Замечаниеу. Для построенияП

ысш

арс

x 16

y 6,5 F 16; 6,5 .

нительнуюниточку. Н пример,

вер

вен

мат

итет

- 42 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Рисунок — 1

Задание 9. Даны точки A x1; y1 и B x2 ; y 2 . Требуется:

№№ 1 – 15.

а) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки A и B , найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнение директрис. Сделать чертеж.

б) составить уравнение гиперболы, фокусы и вершины которой на-

ходятся соответственно в вершинах и фокусах найденного в п. а)

эллипса. Найти еѐ асимптоты, директрисы, эксцентриситет. Сде-

лать чертеж.

бан

ФГ

агра

афе

ки

в) составить уравнение параболы с вершиной в начале координат,

симметричной

относительно оси Ox

и проходящей через точку

1й1

ОУВ

раны

A x ; y

осуд

. Найти еѐ фокус, уравнение директрисы. Сделать чертеж.

ысш1. A 2

A 8; 4 ; B 4

3 ; 2

;

6 ; 2 7 .

7 ; 2 .

ни

арс

вер

вен

мат

; B

A 6; 2 6 ; B 3 2 ; 6 .

2 ; 2 6

5 ; 2 3

итет

- 43 -

ати


	Линейная алгебра																																			Типовые расчеты

аналитическая геометрия																																		методические указания
	A											; B 4							; 4 .								A 2					;					; B 1; 2 .
5.	A	6	; 2						11			; B 4					6		; 4 .							6.	A 2		2			;			6		; B 1; 2 .
	A 4; 2							; B 4																.			A			;						; B 3;						.
7.	A 4; 2				7			; B 4						6		; 2					2			.		8.	A	3		;				6		; B 3;				2		.
	A 3;						;				B 3												.				A 4; 2 ; B 2;												.
9.	A 3;		42				;				B 3		6 ; 2								3		.			10.	A 4; 2 ; B 2;											7	.
	A 2;									;		B 2													.		A				; 2 ; B 3;												.
11.	A 2;					7				;		B 2			2 ;							6			.	12.	A	6			; 2 ; B 3;										2		.
	A			; 2 ; B																.							A 2						; 4 ; B 6; 2											.
13.	A	6		; 2 ; B									3 ;					6		.						14.	A 2		6				; 4 ; B 6; 2									2		.

15. A 2; 4 ; B 7 ; 2 .

№№ 16 – 30.

а) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки A и B , если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс. Найти еѐ полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис. Сделать чертеж.

б) составить уравнение эллипса фокусы и вершины большей оси которого находятся соответственно в вершинах и фокусах найденной в п. а) гиперболы. Найти его оси и уравнения директрис. Сделать чертеж.

в) составить уравнение параболы с вершиной в начале координат,

симметричной относительно оси Oy и проходящей через точку

A x1; y1 , найти ее фокус, уравнение директрисы. Сделать чертеж.

бан

6 ; 2 ; B 2

2 ; 2 3 .

A 4; 6 ; B 6; 4

6 .

агра

A 2

7 ;Б6 2

;

B 2

5 ; 4

3 .

A 8;12 ; B 6; 2 15

афе

ФГ

кий

рны

гОУ

ра

осуд

йу

A 3; 4 ; B 5; 4 5 .

8;12 ; B

В4 3 ; 2 6 .

ысш

ни

арс

вер

3 ; 2 6 .

A 3; 4 ; B 6 ; 2 .

A 6; 4 6 ; B 2

A 4

2 ; 4 3 ; Bве4н3 ; 2 6 .

10.

A 8; 6 ; B 8

2 ; 2

15 .

мат

итет

м ",

- 44 -

ати

Линейная алгебра										Типовые расчеты

аналитическая геометрия										методические указания
	A 3		; 2			;	B 8; 9	.		A 4; 3 ; B 8; 9 .
11.		2			3				12.
	A 8; 9 ;			B 3				.		A 8; 6 ; B 10; 3		.
13.							2 ; 2 3		14.		10

15. A 10; 310 ; B 410 ; 6 5 .

Решение типового примера.

Пусть даны точки A 6; 2 2 ; B 2 3 ; 2 6 . Требуется:

а) Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки A и B, найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнение директрис. Сделать чертеж.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

x 2	y 2	1,	9.1
a 2	b 2

где а и b большая и малая полуоси эллипса.

По условию, эллипс проходит точки A и B, значит, их координаты удовлетворяют уравнению эллипса.

С одной стороны координаты точки A, удовлетворяют уравнению эллипса, т. е.

a 2

b 2

a 2

b 2

бан

ФГ

агра

афе

С другой стороны координаты точки B, удовлетворяют урав-

кий

нению эллипса, т.е.

рны

гОУ

ра

осуд

2 1.

в й

В2 3

2 6

ысш

ни

арс

Рйшимверсовместно полученные два уравнения, откуда опреде-

ивен

лим значения a

етет

м ", й

- 45 -

ати

Линейная алгебра																																				Типовые расчеты

аналитическая геометрия																																			методические указания
	36					8																		64
											1,																		2,								b 2		32,
	a	2					b		2		1,														b		2		2,								b 2		32,
	a						b																		b
	12					24																		12						24						12				24	1.
												1.																						1.
																( 3 )																					a	2		32

	a		2				b			2															a	2					b		2
			2							2																2							2

b 2				32,												2		32,				a		4
b 2				32,												2												3 ,
																												3 ,
													b
12						1		.							a	2 48.							b 4
12						1
																												2 .
			2
	a		2			4


Тогда уравнение эллипса примет вид:
										x 2									y 2			1,			или								x 2		y 2	1.
					4						3			2			4			2	2	1,			или							48			32	1.
														2							2

Фокусы эллипса имеют координаты:																																	F1 c; 0				и F2 c; 0				, где

c a 2 b 2 .

В нашем случае: c 4 3 2 4 2 2 48 32 16 4 .

Значит, фокусы имеют координаты: F1 4; 0 и F2 4; 0 .

Эксцентриситет эллипса равен: ac .

В нашем случае:	4	1	3	.
			3

4	3	3

агра

афе

банУравнения директрис эллипса имеют вид:

сФГ

кий

рны гОУ

ра

осуд1

ысш

: x

12, и d :

В нашем случае: d

ни

арс

вер

Вершины эллипса

меютвенкоординаты:

етет

м ", й

ати

- 46 -

1 : x a ,

2 : x a .

x 12.

Линейная алгебра									Типовые расчеты

аналитическая геометрия									методические указания
A1 4		; 0 ;	A2 4		; 0 ;	B1 0; 4		;	B2 0; 4		.
	3			3			2			2

Чертеж (рис. 2).

Рисунок — 2

б) Составить уравнение гиперболы, фокусы и вершины которой находятся соответственно в вершинах и фокусах найденного в п. а) эллипса. Найти еѐ асимптоты, директрисы, эксцентриситет. Сделать чертеж.

По условию, вершины гиперболы совпадают с фокусами, най-

денного в пункте а) эллипса, т. е. точки

бан

F1 4; 0 и F2 4; 0 ,

агра

афе

являютсяФГвершинами гиперболы. Значит, большая полуось гипер-

кий

рны

гОУ

болы равна 4,

a 4 .

ра

ы уосудП

, фокусы гиперболы совпадают с вершинами

Далее по условиюВ

Ox , т.е. с точками

эллипса,лежащими

на оси

рс

вер

3 ; 0 ;

A2 4 3 ; 0 .

вен

A1 4

ма ит

фокусов гиперболы будут:

Соотве ественно

ткоординаты

- 47 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

F1 4		; 0 ;			F2 4				; 0 ,
F1 4	3	; 0 ;			F2 4		3		; 0 ,
Отсюда получаем, что c 4
Отсюда получаем, что c 4				3 .
Т.к. c 2 a 2 b 2 имеем, что
								4			.
			4			2 4 2
b a 2 c 2
b a 2 c 2					3					2

Соответственно уравнение гиперболы примет вид:

	x 2			y 2			1, или	x 2			y 2	1.
	4	2	4		2	2	1, или					1.
	4		4		2			16	32


Эксцентриситет гиперболы также равен:										c	.
Эксцентриситет гиперболы также равен:											.
										a

В нашем случае:			4	3
			4	3			3 .
			4				3 .
			4

d1 :

Уравнения директрис гиперболы также имеют вид:

d 2 :

В нашем случае:

: x

4 3

и d

: x

4 3

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид:

l 1 :

x и l

: y

бан

агра

афе

ФГ

рны

гОУ

дВ нашемкийслучае:

ра

осуд1

уl : y П

x 2 x

и l : y 2 x.

ысш

ни

О4

арс

вер

Чертеж (рис. 3).

вен

мат

итет

м ", й

- 48 -

ати

x a , x a .

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Рисунок — 3

в) Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат,

симметричной относительно

оси Ox и

проходящей через точку

A 6; 2

. Найти еѐ фокус, уравнение директрисы. Сделать чертеж.

Поскольку ветви параболы симметричны оси Ox , и она про-

ходит через точку A 6; 2

, т. е. ветви направлены влево от на-

2 px .

чала координат, то еѐ уравнение имеет вид: y

бан

Так как координаты точки A, удовлетворяют уравнению пара-

афеаграболы, то получимБ

2 p 6; 8 12 p;

ФГ

кий

рны

гОУ

ра

осуд

йТаким образомВ, искомое уравнение данной параболы имеет вид:

ысш

x или x

y .

ни

2 4

арс

вер

вен

мат

итет

- 49 -

ати

Линейная алгебра							Типовые расчеты

аналитическая геометрия					методические указания
						p
Фокус данной параболы имеет координаты:					F			; 0 . В нашем
Фокус данной параболы имеет координаты:					F			; 0 . В нашем
						2
1					x			p
случае: F	; 0 . Уравнение директрисы			d :					. Соответст-
случае: F	; 0 . Уравнение директрисы			d :					. Соответст-
3							2
венно, в нашем случае: x		1	.
венно, в нашем случае: x		3	.
		3

Чертеж (рис. 4)

Рисунок — 4

"Задание 10. Даны координаты вершин пирамиды ABCD с вершиной

в точке

D . Найти:

бан

ФГ

агра

афе

ABC ;

а) площадь грани

кий

ABCD ;

б) объем пирамиды

рны

ОУВ

в й

ра

векторовосуд;

AD и BD , указав координаты направляющих

в) уравнения ребер

ысш

ни

вер

г) уравн ния гранейарсABC и ABD , указав координаты их нормалей;

вен

д) длину высотысDK ;

мат

е) угол между плоскоситеью основания ABC и боковым ребром AD;

ати

- 50 -

Линейная алгебра

Типовые расчеты

аналитическая геометрия

методические указания

ж) угол между плоскостью основания ABC и боковой гранью ABD ;

з) уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно

основанию ABC ;

и) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно ребру

AD;

к) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно

плоскости основания ABC ;

л) угол между боковыми ребрами AD и BD .

1. A 2; 1; 1 ; B 5; 1; 2 ; C 3; 0; 3 ; D 6; 0; 1 .

2. A 4;1; 3 ; B 0;1; 2 ; C 2; 3; 2 ; D 1; 3; 0 .

3. A 2; 2; 0 ; B 1; 2; 5 ; C 3; 3; 1 ; D 1; 4; 3 .

4. A 1; 2;1 ; B 0; 1; 5 ; C 4; 0;1 ; D 2;1; 3 .

5. A 5; 1; 2 ; B 2; 1; 2 ; C 1; 0; 5 ; D 1; 1; 4 .

6. A 2;1; 2 ; B 3; 3; 3 ; C 1;1; 2 ; D 1; 2; 3 .

7. A 5;1; 4 ; B 1; 2; 1 ; C 3; 3; 4 ; D 2; 2; 2 .

8. A 3;1; 0 ; B 0; 7; 2 ; C 1; 0; 5 ; D 4;1; 5 .

9. A 0; 0; 2 ; B 3; 0; 5 ; C 1; 1; 0 ; D 4; 1; 2 .

A 7; 3; 2 ; B 0; 2;1 ;

C 4; 1; 0

;

D 1; 0; 3 .

К10.

бан

A 3; 1; 0 ;

B 0; 1; 2 ;

C 1; 0; 5 ;

D 4; 5; 1 .

11.

агра

B 1; 3; 4 ;

C 5; 0; 3 ;

D 4; 4; 1 .

афе

12.

0; 0;

1 ;

сФГ

кий

рны

ОУВ

ра

13.

осуд

D 1; 2; 4

йA 1; 2; 5 ;

B 0;

4; 5 ; C 3; 2;1 ;

ысш

1; 3; 4

;

C 5; 5; 1 ; D 1; 2; 2 .

14.

A ни2; 4; 5 ;

арс

вер

15.

A 2; 3;1 ;

вен

C 4; 8; 9 ;

D 2; 1; 2 .

B 6;1;

1 ;

мат

итет

- 51 -

ати

Линейная алгебра										Типовые расчеты

аналитическая геометрия									методические указания
16.	A 5; 1; 4 ;		B 9; 3; 6 ;		C 7;10; 14 ;				D 5;1; 3 .
17.	A 1; 4; 0 ;	B 5; 0; 2 ;		C 3; 7; 10 ;				D 1; 2;1 .
18.	A 3; 6; 2 ;		B 1; 2; 0 ;		C 1; 5; 8 ;			D 3; 4; 3 .
19.	A 1;1; 5 ; B 3; 5; 7 ;				C 1;12; 15 ;			D 1; 3; 4 .
20.	A 4; 2; 1 ;		B 0; 6; 3 ;		C 2;13; 11 ;				D 4; 4; 0 .
21.	A 0; 4; 3 ;	B 4; 8; 1 ; C 2; 15; 7 ;					D		0; 6; 4 .
22.	A 2; 0; 2 ;		B 2; 4; 4 ; C 0;11; 12 ;						D 2; 2; 1 .
23.	A 3; 3; 3 ;	B 7; 7; 5 ;		C 5;14; 13 ;				D 3; 5; 2 .
24.	A 4; 2; 5	;	B 8; 2; 3 ;	C 6; 9; 5 ;			D 4; 0; 6			.
25.	A 5; 0;1 ;	B 4; 2; 3 ;			C 6; 2;11 ; D 3; 4; 9					.
26.	A 3; 4; 3 ;		B 2; 2; 1 ;			C 8; 6; 7	;	D 5; 8; 5 .
27.	A 2; 3; 2 ;		B 1; 5; 4 ;			C 9; 1;12 ;			D 6;1;10 .
28.	A 4; 5; 5 ;		B 3; 3; 3 ;			C 7; 7; 5 ;		D 4; 9; 3 .
29.	A 2; 1; 4 ;		B 3; 3; 2		;	C 13;1; 6	;	D 10; 3; 4 .
30.	A 8; 3; 1 ;		B 7; 1; 1 ;		C 3; 5; 9 ;		D 0; 7; 7			.

Решение типового примера.

Пусть даны координаты вершин пирамиды ABCD :

бан

A 5;

3; 9 ; B 5; 3; 3

; C 1; 1; 5 ; D 1; 1; 9 .

агра

афе

сФГ

а) Вычислить площадь грани ABC .

рны

гОУ

ра

осуд

Для вычисления площади грани ABC , используем

определяющую площадь треугольника, построенного на

ысш

ни

арс

a и b :

вер

вен

мат

итет

a b

- 52 -

ати

формулу

векторах

10.1

Линейная алгебра		Типовые расчеты

аналитическая геометрия		методические указания
где a b	векторное произведение векторов	a a x ; a y ; a x и

b bx ; by ; bz , которое может быть найдено следующим образом:

	i	j	k
a b	a x	a y	a x	.
	bx	b y	bz

В нашем случае, грань ABC , можно определить как треугольник, построенный на векторах AB и AC . Значит формула (10.1) примет вид:

S	ABC		1	AB AC	.


		2

Найдем координаты необходимых векторов AB , AC и их векторное произведение.

AB 5 5; 3 3; 3 9 0; 6; 6 ;

AC 1 5; 1 3; 5 9 4; 2; 4 .

Тогда:

AB AC

6 6

24 12 j

0 24 k 0 24 12 i 24 j 24 k .

бан

агра

ФГ

афе

нию

Далее, найдем длину вектора, равного векторному произведе-

AB AC

кий

рны

ОУ

ра

ABйAC

В12

24 2 24 2

12 12 2 2 2 2

12 9 36

осуд

ысш

ни

арс

Таким обр зом, площадь грани ABC , равна:

йвер1

S ABC

вен

36 18

кв. ед. .

AB AC

мат

итет

", й

- 53 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

б) Вычислить объѐм пирамиды ABCD .
Объѐм пирамиды, построенной на векторах					a ; b ; c можно
вычислить по формуле:
V			1	a b c ,	10.2
	пир.
		6

где
a b c — смешанное произведение векторов					a a x ; a y ; a x ,
b bx ; by ; bz и c c x ; c y ; c z ,				которое можно вычислить сле-

дующим образом:
	a x	a y	a x
	a x	a y	a x
a b c	bx	b y	bz	.
	c x	c y	c z

В нашем случае, пирамида ABCD, можно рассматривать как

пирамиду, построенную на векторах AB , AC и AD .

Вычислим смешанное произведение этих векторов. Для этого

найдем координаты вектора AD :

AD 1 5; 1 3; 9 9 4; 2; 0 .

6 6

AB AC

2 4

0 96 48 48 0 0 96 .

бан

2 0

агра

афе

сФГ

Бобразом, объем пирамиды ABCD :

Таим

рны гОУ

ра

осу6 д

вV ABCD

16 куб. ед. .

ысш

ни

арс

вер

в) Найти ура нения ребер AD и BD , указав координаты направ-

вен

ляющих векторовс.

мат

итет

м ",

ати

- 54 -

Линейная алгебра

Типовые расчеты

аналитическая геометрия

методические указания

Уравнение ребра можно найти как уравнение прямой, прохо-

дящей через две заданные точки M 1 x1; y1; z1

и M 2 x2 ; y 2 ; z 2 по

формуле:

x x1

y y1

z z1

10.3

x2 x1

y 2 y1

z 2 z1

где s x2 x1; y2 y1; z 2

z1 направляющий вектор прямой.

В нашем случае:

AD :

x 5

y 3

z 9

;

x 5

y 3

z 9

; z 9 0.

1 5

1 3

9 9

Направляющий вектор соответственно:

s AD 4; 2; 0 .

BD :

x 5

y 3

z 3

;

x 5

y 3

z 3

;

1 5

1 3

9 3

x 5

y 3

3 z

Направляющий вектор: s BD

2; 2; 3

г) Найти уравнения граней ABC и ABD , указав координаты их

нормалей.

Уравнение грани можно определить как уравнение плоскости,

проходящей через три заданные точки M 1 x1; y1; z1 , M 2 x2 ; y2 ; z2

x3 ; y3 ; z3 по следующей формуле:

уи M

бан

агра

x x1

y y1

z z1

афе

ФГ

кий

рны

гОУ

y 2

z 2

10.4

ра

осуд

y3 y1

z 3 z1

ысш

ар

ни

вер

В нашем

случае

, по формуле (10.4) получим:

с вен

мат

итет

м ", й

- 55 -

ати

Линейная алгебра						Типовые расчеты

аналитическая геометрия						методические указания
ABC :	x 5	y 3	z 9		x 5	y 3	z 9
	x 5	y 3	z 9		x 5	y 3	z 9
	5 5	3 3	3 9	0 ;	0	6	6	0 ;
	1 5	1 3	5 9		4	2	4

x 5 24 12 y 3 0 24 z 9 0 24 0;

12 x 5 24 y 3 24 z 9 0;

x 5 2 y 3 2 z 9 0;

x 5 2y 6 2z 18 0;					x 2 y 2z 7 0			ABC


Аналогично, найдем уравнение грани ABD .
ABD :	x 5	y 3	z 9			x 5	y 3	z 9
	x 5	y 3	z 9			x 5	y 3	z 9
	5 5	3 3	3 9	0 ;		0	6	6	0 ;
	1 5	1 3	9 9			4	2	0

x 5 0 12 y 3 0 24 z 9 0 24 0;

12 x 5 24 y 3 24 z 9 0;

1 x 5 2 y 3 2 z 9 0;

x 5 2y 6 2z 18 0;

x 2 y 2z 17 0

ABD

д) Найти длину высоты DK .

Длину высоты пирамиды определим из формулы для нахож-

афеагра

дениябанобъѐма пирамиды, а именно:

сФГ

кий

Vпир.

S основ. h,

рны

гОУ

ра

осуд

в й

где h длина высоты, опущенной на основание пирамиды.

ысш

ни

В нашем

случаеарс: V ABCD

S ABC

йвер

ивен

мат

Выразим отсюда искомую длину высоты:

ет

- 56 -

ати

Линейная алгебра										Типовые расчеты

аналитическая геометрия										методические указания
						DK			3 V ABCD	.
									3 V ABCD

									S ABC
									S ABC
В пункте а) и б) были вычислены соответствующие значения
площади грани ABC S ABC 18 и объѐм пирамиды											VABCD 16 .
Тогда, длина высоты DK, составит:
	DK		3 16	48			8	лин. ед. .
			3 16	48			8

		18		18	3
		18		18	3

Замечание. Длину высоты DK, можно также определить как расстояние от точки D до плоскости ABC по формуле:

A x0

B y 0 C z 0 D

A 2 B 2 C 2

где

Ax By Cz D – уравнение плоскости, x0 ; y 0 ; z 0 – координаты точки.

В нашем случае:

1 1 2 1 2 9 7

лин. ед. .

12 2 2 2 2

е)

Вычислить значение угла между плоскостью основания ABC и

боковым ребром AD.

За угол между прямой и плоскостью принимают угол между

этой прямой и еѐ проекцией на данной плоскость. Он может быть вычислен по формуле:

n s

бан

sin

агра

ФГ

афе

рны гОУ

где кийn A; B; C

нормальный вектор плоскости, s m; n; p

ра

осуд

направляющийВвектор прямой.

ысш

ни

Эту формулуОможно записать в координатном виде:

арс

вер

A m B n C p

сsin венA 2

B 2 C 2

m 2 n

2 p 2

мат

итет

м ", й

- 57 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания
В нашем случае, плоскость	ABC имеет следующее уравне-

ние: x 2y 2z 7 0 , значит, еѐ нормальный вектор имеет коор-

динаты n 1; 2; 2 . А ребро AD имеет направляющий вектор

s AD 4; 2; 0 (см. пункты в) и г)). Тогда получим:
sin		1 4 2 2 2 0					4 4		8	,
		1 4 2 2 2 0					4 4		8


	12 2 2		2 2		4 2 2 2 0 2		9
	12 2 2		2 2		4 2 2 2 0 2		9	20 3 20
или
	sin		8	0,6 arcsin 0,6		37 o .



	3		20

ж) Вычислить значение угла между плоскостью основания ABC и боковой гранью ABD .

За угол между двумя плоскостями можно принять угол между их нормальными векторами, который может быть вычислен по

формуле:

cos n 1; n 2

n 2

n 1

n 2

В нашем случае нормальные вектора плоскостей ABC и ABD имеют координаты: n ABC 1; 2; 2 и n ABD 1; 2; 2 , тогда:

1 1 2 2 2 2

cos

; n

ABC

ADD

12 2 2 2 2

бан

ФГ

агра

афе

или

кий

рны

ра

ОУВ

; n

2, 462 .

cos n

г; n

arccos

осуд

ABC

ADD

ABC

ADD

ысш

Оплоскости, проходящей через вершину D

з) Найти

уравнение

рс

вер

раллельно основанию ABC .

вен

мат

итет

- 58 -

ати

па-

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания
Пусть Ax By Cz D 0	уравнение искомой плоскости P .

По условию плоскость P параллельна плоскости ABC . Используем условие параллельности плоскостей: две плоскости параллельны,

если координаты их нормальных векторов пропорциональны, т. е.

P \|\| P n			\|\| n		A1	B1	C1	.
		1		2
1	2				A2	B2	C2

В нашем случае, нормальный вектор плоскости ABC имеет координаты n ABC 1; 2; 2 . Поскольку искомая плоскость па-

раллельна плоскости ABC , то 1, а значит, координаты нор-

мального вектора искомой плоскости также: n P 1; 2; 2 . То

есть уравнение плоскости P имеет вид:

x 2 y 2 z D 0.

Также по условию известно, что плоскость P, проходит через точку D, а значит, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости, т. е.

1 2 1 2 9 D 0; D 15.

Окончательно, уравнение плоскости P, параллельной грани

ABC , имеет вид:

x 2 y 2z 15 0 .

и) Найти уравнение прямой, проходящей через точку C параллель-

но ребру AD.

Используем формулу, определяющую канонические уравне-

бан

нияспрямой в пространстве:

агра

ФГ

афе

кий

x x1

y y1

z z1

рны гОУ

10.5

ра

осуд

ни

ысш

арскоординаты произвольной точки прямой,

m; n; p

где

x ; y ; z

вер

координ ты любоговенеѐ направляющего вектора.

мат

итет

", й

- 59 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Поскольку искомая прямая l , по условию, параллельна прямой AD, то в качестве еѐ направляющего вектора, может быть взят направляющий вектор ребра AD: s l s AD 4; 2; 0 .

Также, по условию, прямая l , проходит через вершину C, то по формуле (10.5) имеем:

	x 1	y 1		z 5	;	z 5 0	l .

	4	2	0					A перпенди-

к) Найти уравнение прямой,			проходящей через точку
кулярно плоскости основания ABC .

Как и в предыдущем пункте, используем канонические уравнения прямой в пространстве (10.5). Точка A точка прямой, а в качестве направляющего вектора искомой прямой g возьмем нормальный вектор плоскости ABC : n ABC 1; 2; 2 . Получим:

x 5

y 3

z 9

;

10 2x y 3 z 9

g .

л) Вычислить значение угла между боковыми ребрами AD и BD .

Угол между двумя прямыми l1

и l 2

определим как угол между

их направляющими векторами s 1 m1; n1;

и s 2 m2 ; n2 ; p2

Кпо формуле:

бан

s1 s2

m1 m2 n1 n2 p1 p 2

афеагра

ФГ

сcos

кий

рны

гОУ

ра

4; 2; 0 , s

2; 2; 3 , тогда:

Вйнашем лучае, s

с В

уд

0,22 .

ысшcos

арс2

ни

4 2 2 2 0 3

йвер4

Откуда,

с вен

матarccos 0, 22н1,39.

итет

м ",

- 60 -

ати

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.05.2015124.95 Кб4653822.rtf
#
19.11.201935.96 Mб25ballov-102282.rtf
#
25.11.20193.75 Mб75ballov-90178.rtf
#
11.11.2019722.68 Кб256 Кручение, сдвиг.docx
#
21.05.2015540.67 Кб396.doc
#
21.05.20152.11 Mб1166_20110923_091709.pdf
#
21.05.2015566.27 Кб956_20101228_203629_2.doc
#
11.11.20191.12 Mб397 Изгиб.docx
#
20.03.201610.88 Mб1078088.rtf
#
20.03.2016101.88 Кб879,80,81.rtf
#
21.05.20151.64 Mб2297db6c8c1186efe10a08e245ce30c59e7.doc