Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

66_20110923_091709.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Линейная алгебра					Типовые расчеты

аналитическая геометрия					методические указания
	1	24		47
Ответ. X					.
			6	3
35

Задание 4. Исследовать систему на совместность и решить еѐ:

а) по формулам Крамера; б) матричным способом;

в) методом Гаусса.

1. x1 x2 3x3 0,3x1 2x2 2x3 1,x1 x2 5x3 2.

2. x1 4x2 2x3 5,

2x1 3x2 4x3 1,

4x1 x2 3x3 3.

x1 2x

2 3x3 7,

2 4x3 2,

3x1

3x2 2x3 8.

5x1

2x1 x

2 3x3 1,

4x1 3x2 2x3 4,

бан

x1 2x

2 5x3

ФГ

агра

афе

кий

рны

гОУ

ра

осуд

йx1

4x3

ысш

ни

x 12,

О3

арс

йвер

т3

с вен

мат

итет

м ", й

ати

16. x1 x2 4x3 0,2x1 3x2 x3 1,4x1 5x2 3x3 1.

17. 3x1 2x2 x3 5,

x1 x2 2x3 0,2x1 4x2 3x3 2.

18. x1 2x2 5x3 1,3x1 3x2 2x3 4,2x1 x2 3x3 1.

19. x1 3x2 x3 11,x1 2x2 2x3 7,2x1 x2 3x3 4.

20. 2x1 3x2 3x3 5,

x1 2x2 x3 8,

3x1 4x2 5x3 10.

- 19 -

Линейная алгебра

Типовые расчеты

аналитическая геометрия

методические указания

3x1

2 4x3

21,

21.

x1 2x2

2 2x3 9,

3x1

2x1 3x2 3x3 8,

10.

5x2

3x3

2x1

3x1

7. 5x1

x2 2x3

22.

x1 2x2

3x3

2x2 4x3

16,

2x1 3x 2 x3

x3 11.

4x3

3x1

3x1 x 2

4x1

4x3

19,

23.

2x2

5x3 5,

3x1

2x3

11,

3x2

4x3

12,

2x1

x2 2x3 8.

2x2 3x3 1.

2x1

3x3 9,

24.

x2 x3 4,

3x1

5x2

6x3

20,

3x1 5x2

36,

4x2 2x3

15.

4x2 2x3

19.

3x1

10.

2x1

3x3

11,

25.

2x2

3x1

2 x3 1,

x2 x3 0,

2x1

5x1

2x2 x3 5.

x2 2x3 3.

3x1

2x1

2 x3 5,

26.

3x2 x3 7,

11.

3x1

2x1

бан

агра

2x 3x 1,

афе

ФГ

кий1

рны

гОУ

4x x 2x 0.

ра

2x осуд2x 4x

27.

12.

ысш

ни

арс4x

е3x

О3

вер

вен

мат

итет

3x1 2x2 x3 6.

4x1 x2 3x

- 20 -

ати

Линейная алгебра						Типовые расчеты

аналитическая геометрия						методические указания
13. 2x1	3x2	x3 6,	28.	x1	2x	2 x3 1,
		3x3 5,
3x1 4x2		3x3 5,		2x1 3x2 2x3 2,
					x2	3x3 1.
x1 x2 x3 2.				x1	x2	3x3 1.
14. 4x1	x2	3x3 9,	29.	2x1 x		2 2x3 0,
						2 4x3 6,
x1 x2 x3 2,				4x1 x		2 4x3 6,
	3x2 6x3 12.				x2	2x3 4.
8x1	3x2 6x3 12.			x1	x2	2x3 4.
15. 4x1	x2	4x3 2,	30.	3x1 5x2 6x3 8,
	x2	2x3 4,				x3 4,
2x1	x2	2x3 4,		3x1 x2		x3 4,
					4x2 2x3 9.
x1 x2 2x3 1.				x1	4x2 2x3 9.

Решение типового примера.

Пусть требуется исследовать на совместность и решить следующую систему уравнений вышеуказанными способами:

x1 x 2 2x3 1,2x1 x 2 2x3 4,

4x1 x 2 4x3 2.

Решение. Исследование системы на совместность проведем в соот-

Кветствии с теоремой Кронекера-Капелли: система линейных ал-

гебраических

уравнений совместна тогда и только тогда, когда

агра

афе

ФГ

кий

ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

рны

гОУ

ра

Составим расширенную матрицу системы и проведем над ней

осуд

вэлементарные преобразования.

ысш

ни

арс

вер

вен

мат

итет

- 21 -

ати

					Линейная алгебра																																Типовые расчеты

			аналитическая геометрия																																	методические указания
		Полученная												расширенная									матрица				имеет							ранг равный						трем,
			r			3 (матрица имеет ступенчатый вид,																											а количество строк в
			r		A	3 (матрица имеет ступенчатый вид,																											а количество строк в
		матрице такого вида определяет ее ранг).
								Проводя аналогичные преобразования над матрицей системы
		можно также привести ее к ступенчатому виду, и убедиться что
		ранг матрицы системы также равен трем, r A 3.
								Значит, условие теоремы Кронекера-Капелли выполняется,
		таким образом, исходная система имеет единственное решение.
								Теперь решим ее указанными способами.
		I способ: по формулам Крамера.
		Эти формулы имеют следующий вид: x																												1			;	y			2		; z	3	.
		Эти формулы имеют следующий вид: x																															;	y					; z		.

		Составим и вычислим определители ,																									1,				2 ,					3 .
																1			1			2							1					1		2
																1			1			2							1					1		2
										A					2			1				2	6 .			1			4					1			2		6 ;
										A					2			1				2	6 .			1			4					1			2		6 ;
																4			1			4							2					1		4
													1			1			2									1						1		1
													1			1			2									1						1		1
								2				2				4			2	12 ;						3		2				1				4		12 .
													4			2			4									4						1		2
	"															составлен из коэффициентов при неизвестных в
	К(определитель															составлен из коэффициентов при неизвестных в
к		у
к				бан																							— из определителя , заме-
		системе уравнений, а определители i																									— из определителя , заме-
	агра												Б
афе							с						Б
	д							кий
		ной соответствующего i -го столбца на столбец свободных членов).
	арны										гОУ
	рТ ким образом, решение:																									2;	z											2. .
										x осуд									1;		y					2;	z											2. .
				в				й						1		В							2		12						3				12
				в										1			6						2		12						3				12
								у									П
					ысш
										ни									О
								е								арс									6											6
																	6								6											6
													вер					т
									й									т
									й							с			вен
		Ответ. 1;														с			вен
		Ответ. 1;												2; 2 .
											мат										н
																итет						ы
														е					",			ы
																м			",			й		- 22 -
																ати								- 22 -
																ати
																			к
																			и

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

II способ: матричный способ. Перепишем систему в матричном виде:

A X B ,

где
	1	1	2

A	2	1	2	,	X
	4	1	4
	4	1	4

x1 x2 ,

1 B 4 .

Полученное матричное уравнение решим, умножив обе части равенства на обратную матрицу A 1 с левой стороны:

X A 1 B .

Найдем эту обратную матрицу, используя следующий алго-

ритм нахождения обратной матрицы:

Вычислить

— определитель матрицы A.

если

0 , матрица вырожденная, то обратной не су-

ществует;

если

0, то переходим к следующему пункту.

Транспонировать матрицу A.

Найти присоединенную матрицу A .

Составить обратную матрицу, согласно формуле A 1

A .

бан

Проводим последовательно нужные вычисления.

агра

ФГ

афе

Aкий

2 1

6 0 существует обратная матрица.

рны

гОУ

ра

осуд

4 В1

ысш

ни

ОT

арс

2вер1

вен

мат

итет

- 23 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

(транспонированная матрица, получается из исходной заменой

строк матрицы на столбцы). 3. A ?

Присоединенной матрицей A , называется матрица, составленная из алгебраических дополнений Ai j к элементам ai j транспо-

нированной матрицы A . Значит, необходимо вычислить алгебраические дополнения каждого элемента транспонированной матрицы.

		A	11				1					1					6 ;					A			12						1				1			2 ;			A	13		1			1			4 ;
		A					1					1					6 ;					A									1				1			2 ;			A			1			1			4 ;
						2						4																					2		4									2			2
						2						4																					2		4									2			2
														4															1					4												1	2
		A	21					2						4				0 ;				A			22				1					4		4;					A	23				1	2		2 ;
			21					2						4											22				2					4								23				2	2
								2						4															2					4												2	2
		A	31									4				6 ;						A				32						1				4		3 ;			A		33		1		2	3.
		A					2					4				6 ;						A										1				4		3 ;			A				1		2	3.
							1					1																					1		1										1		1
							1					1																					1		1										1		1
																	6			2						4
		Отсюда,							A										0	4						2
		Отсюда,							A										0	4						2	.
																			6	3			3
																			6	3			3
																			6		2							4
											1						1
		4. Тогда							A											0	4							2			.
		4. Тогда							A								6			0	4							2			.
																	6			6		3					3
																				6		3					3
	"Значит:
	К
		у													6					2		4 1																	6			1
к		бан													6					2		4 1																	6			1
		бан								1																									1
	агра									1																									1
	агра												Б
афе					X								Б							4		2								4									12
					X												0			4		2								4									12			2 .
				с					ФГ
	д						кий										6			3	3						2								6		12			2
			рны							6																									6
			рны																		x			2; x									2.							Ответ. 1; 2; 2 .
		Следовательной ОУВ, x 1;																			x			2; x									2.							Ответ. 1; 2; 2 .
	ра									г
		в									осуд									П
		в						у											1	П		2									3
									ни											О
							е											арс
		IIIысшспособ: метод Гаусса.
													вер							т
									й											т
									й									с вен
				Перепишем исходную систему в соответствии с расширенной
																			итет
		матрицей, матприведенной кнступенчатому виду:
																	е						ы
																		м ",								й					- 24 -
																			ати												- 24 -
																			ати
																				к
																				и

	Линейная алгебра															Типовые расчеты

аналитическая геометрия															методические указания
		1 1			2	1		1		1	2	1		1		1	2	1
		1 1			2	1		1		1	2	1		1		1	2	1
				1		4				3	2	2				3	2	2

	A		2		2		~		0				~		0				.
			4	1	4	2			0 3		4	2			0	0	2	4

(элементарные преобразования аналогичны проведенным ранее, см. стр. 23)

Исходная система примет вид:

x1 x2 2x3 1,

3x2 2x3 2,2x3 4.

Последнее уравнение дает неизвестное x3 , подставляя его во второе уравнение, определим неизвестное x 2 , а затем из первого уравнения найдем неизвестное x1 :

	x1 x2 4 1,	x1 2 3,	x1 1,
		x2 2,
3x2 4 2,		x2 2,	x2	2,
	x3 2.	x3 2.		2.
	x3 2.	x3 2.	x3	2.
Ответ. 1;	2; 2 .

Задание 5. Исследовать на совместность и решить систему:

x1 x2 3x3 4x4 1,

2. x1 x2 x3 2x4 3,

К1.

бан

4x 5x 2x x 3,

x 3x 2x 4x 3,

агра

3x1

4x2 x3

2x1 3x

2 2x

3 6x

4 5.

афе

ФГ

кий

рны

гОУ

ра

осуд

йу

x1 2x

2x4 5,

3x1

4x2

x3 2x4 3,

ысш

10,

3ниx x

арс

x 5x

2йx вер3x 7x

вен

мат

итет

м ",

- 25 -

ати

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

5.x1 3x2 4x3 5x4 3,

5x1 2x2 5x3 3x4 1,7x1 5x2 3x3 x4 4.

7.x1 x2 3x3 2x4 4,

2x1 x2 x3 3x4 5,4x1 3x2 2x3 x4 2.

9.x1 2x2 2x3 2x4 0,

2x1 3x2 x3 5x4 3,3x1 x2 x3 4x4 3.

11. x1 x2 x3 x4 1,
	2x1 x2 3x3 4,

	3x1 2x2 4x3 x4 5.

13.3x1 2x2 2x3 2x4 2,

2x1 3x2 2x3 5x4 3,

2x1 2x2 3x3 4x4 5.

15.

x2 x3 x 4 7,

бан

x2 x3 x 4 1,

агра

афе

ФГ2

x x 1.

кий

ра17.рны

ОУВ

осуд

4 4,

2x3

йу

ысш

ни

О4

арс

йвер

24x

т3

вен

мат

итет

ати

6. x1 3x		2 x3 2x4	5,
		3x3 2x4
x1 x2			7,
	2x1 2x2 4x3 3x4 9.

8.x1 2x2 3x3 2x4 2,

2x1 3x2 2x3 3x4 5,4x1 x2 4x3 x4 1.

10.x1 2x2 x3 3x4 5,

3x1 4x2 3x3 2x4 2,

2x1 x2 2x3 4x4 4.

12.x1 2x2 5x3 3x4 0,

2x1 2x2 2x3 2x4 5,5x1 8x2 17x3 19x4 5.

14.x1 x2 7x3 2x4 2,

2x1 3x2 8x3 4x4 1,

4x1 2x2 19x3 x4 8.

16.x1 x2 x3 2x4 3,

x1 3x2 2x3 4x4 3,2x1 3x2 2x3 6x4 5.

18. x1	x2 2x3 x	4 1,
	3x 2 x3 x	4 0,
x1	3x 2 x3 x	4 0,

2x1 5x3 2x 4		3.

- 26 -

Линейная алгебра

Типовые расчеты

аналитическая геометрия

методические указания

19.

2x2

2x3

4x4

20.

3x2 3x3 9x4 3,

2x1 3x

2 4x3 6x4 3,

3x1 8x2 9x3 24x4 7,

2x1 5x2 5x3 8x4

3x1 10x2 10x3 27x4 12.

21.

6x2

2x3

36x4

22.

2x1 4x2

3x3

2x1 11x2 5x3 72x4 14,

x2 2x3

6x4

2x3 42x4 7.

4x1 3x2 2x3 3x4 1.

x1 7x2

23.

3x1 2x

2 2x3 5x4

10,

24.

3x1 2x2

x3 x4

10,

5x1 x2 4x3 7x4 8,

x1 x2 5x3 15x4 0,

2x1 x2

3x3 6x4 2.

x1 2x2 5x3 7x4 4.

25.

3x1 x2

4x3

15x4

26,

26.

2x2 2x3 4x4 2,

5x1 3x

2 2x3 11x4 34,

2x1 3x2

4x3

6x4

4x1 x2

3x3

15x4 24.

2x1 5x2

5x3

8x4

27.

5x2

x3 3x4 5,

28.

2x2 x3

4x4

5x1 4x

2 5x3 9x4

19,

x2 2x3

4x4

2x3 2x4 4.

2x1 3x2 2x3 6x4 1.

x1 4x2

29.

3x1 5x

2 6x3 10x4 3,

30.

2x1 3x2

2x3

6x4

2x1 3x

2 5x3 8x4 2,

x1 2x2 x3 4x4 2,

бан x1

2x2

2x3

4x4

x2 x3 2x4 3.

агра

ФГ

афе

кий

рны

гОУ

ра

осуд

Решение типового примера.

ысш

ни

исследовать на совместность и решить сле-

Пусть требуетсяО

варс

дующую

систему

туравнений:

вен

мат

итет

м ",

- 27 -

ати

Линейная алгебра			Типовые расчеты

аналитическая геометрия			методические указания
x1 3x 2			4x3 4x 4 10,
		x 2	x3 x 4 1,
	2x1	x 2	x3 x 4 1,
	3x1	x 2	x3 3x 4 2.
	3x1	x 2	x3 3x 4 2.

Исследование системы на совместность проведем в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли (см. стр. 21).

Составим расширенную матрицу системы и проведем над ней элементарные преобразования

полученная расширенная матрица имеет ранг равный трем, r

Проводя аналогичные преобразования над матрицей системы

можно также привести ее к ступенчатому виду, и убедиться что ранг

матрицы системы также равен трем, r A 3. Значит, условие теоре-

мы Кронекера-Капелли выполняется, следовательно, исходная сис-

совместная.

тема имеет решение

бан

Выясним теперь определенная исходная система или неопре-

афе

сФГ

кий

аграделенная. ДляБэтого сравним ранг полученных матриц с числом не-

рн

раизвестных переменныхОУ .

в й

осуд

Поскольку рангПрассмотренных матриц равен 3, а число неиз-

ысш

ни

арс

r 3 n 4 , то делаем вывод о неоп-

вестных перемвнных 4, т. е.

ределенности даннойс системы линейных уравнений.

мат

итет

ати

- 28 -

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Так как r 3, значит, три неизвестные исходной системы яв-

ляются основными, и одна вспомогательная. Выберем основные неизвестные. Переменные могут быть основными, если определи-

тель, составленный из коэффициентов при них, отличен от нуля.

Проверим, являются ли основными неизвестные x1, x2 , x3 ?

Составим по матрице ступенчатого вида, определитель из коэффи-

циентов при выбранных переменных:

	1	3	4
	1	3	4
	0	1	1	1 1 1 1 0 x1, x2 , x3			основные	неиз-
	0	0	1
вестные, а x 4 вспомогательная переменная.
	Далее, по матрице ступенчатого вида составим систему урав-
нений и разрешим ее относительно основных переменных.
x1		3x2	4x3 4x4 10,		x1 3x2 4 x		4 2 4x4 10,

	x2 x		3 x4 3,			x2 x4 2 x4 3,
	x2 x		3 x4 3,			x2 x4 2 x4 3,
	x3	x4 2.				x3 x4 2.
	x3	x4 2.				x3 x4 2.

x1 3 2x4 1 8x4 2,

x1 2x4 1,

2 2x4

x2 2x4 1,

бан

агра

афе

x4 2.

x3 x

4 2.

кий

рны

ра

ТакимгОУобразом, общее решение исходной системы имеет вид:

в й

осуд

ысш

ни

О2x 1; 2x

1; x 2; x .

арс

вер

вен

Ответ. 2x

x4 .

1; x4

4 1; 2x4

мат

итет

м ",

- 29 -

ати

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.05.2015124.95 Кб4653822.rtf
#
19.11.201935.96 Mб25ballov-102282.rtf
#
25.11.20193.75 Mб75ballov-90178.rtf
#
11.11.2019722.68 Кб256 Кручение, сдвиг.docx
#
21.05.2015540.67 Кб396.doc
#
21.05.20152.11 Mб1166_20110923_091709.pdf
#
21.05.2015566.27 Кб956_20101228_203629_2.doc
#
11.11.20191.12 Mб397 Изгиб.docx
#
20.03.201610.88 Mб1078088.rtf
#
20.03.2016101.88 Кб879,80,81.rtf
#
21.05.20151.64 Mб2287db6c8c1186efe10a08e245ce30c59e7.doc