![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Конспект лекций
- •2 Алгебра событий.
- •3 Определения вероятности события.
- •4 Элементы комбинаторики
- •1 Теоремы сложения вероятностей.
- •4 Формула полной вероятности. Формула вероятности гипотез.
- •Тема 2. Повторные независимые испытания
- •2 Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях.
- •3 Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •4 Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пуассоновское приближение
- •Тема 3. Дискретные случайные величины
- •2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •3 Математическое ожидание и его свойства.
- •4 Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства
- •5 Одинаково распределенные взаимно-независимые случайные величины
- •Тема 4. Непрерывные случайные величины
- •2)Дифференциальная функция (плотность распределения) непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •Тема 5. Основные законы распределения случайных величин
- •1. Основные законы распределения дискретных случайных величин.
- •2) Равномерное распределение
- •Тема 6. Функции случайных величин и векторов
- •2) Композиция законов распределения
- •3) Специальные законы распределения
- •Тема 7. Многомерные случайные величины
- •2)Функции распределения многомерной случайной величины.
- •3)Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и прямоугольник.
- •4)Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Тема 8. Закон больших чисел
- •2)Неравенство и теорема Чебышева
- •3)Понятие о центральной предельной теореме
- •Часть II. Математическая статистика
- •Тема 10. Вариационные ряды распределения
- •1) Понятие и виды вариационных рядов распределения.
- •2) Графическое изображение рядов распределения и связь между ними.
- •1) Понятие и виды вариационных рядов распределения
- •2) Графическое изображение рядов распределения и связь между ними.
- •1) Средняя арифметическая и ее свойства.
- •2) Дисперсия ряда распределения и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
- •3)Моменты ряда распределения и связь между ними
- •Тема 11. Выборочный метод
- •2)Статистические оценки выборочной совокупности и их свойства.
- •3) Точечные и интервальные оценки.
- •Тема 12. Проверка статистических гипотез
- •1)Понятие и виды статистических гипотез.
- •2)Статистический критерий проверки гипотез.
- •3)Уровень значимости. Мощность критерия.
- •2)Статистический критерий проверки гипотез
- •Тема 13. Дисперсионный анализ
- •1)Понятие и модели дисперсионного анализа.
- •2)Однофакторный дисперсионный анализ.
- •1)Понятие и модели дисперсионного анализа.
- •2)Однофакторный дисперсионный анализ.
- •4.1.2.3. Двухфакторный дисперсионный анализ. Факторы а и в
- •Тема 14. Корреляционно-регрессионный анализ
- •1)Понятие корреляционной зависимости.
- •2) Оценка методом наименьших квадратов коэффициентов регрессии
- •Тема 15. Статистический анализ временных рядов
- •1)Понятие экономического временного ряда и его составляющие.
- •2)Тренд динамического ряда.
- •2)Тренд динамического ряда
- •Приложение е – Глоссарий
- •Приложение ж – Экзаменационные билеты
Тема 2. Повторные независимые испытания
Вопросы:
1 Формула Бернулли.
2 Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях.
3 Локальная теорема Муавра-Лапласа.
4 Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пуассоновское приближение
1 Формула Бернулли.
Постоянные
условия опыта. а) Пусть некоторый опыт
повторяется в неизменных условиях n
раз, причём каждый раз может либо
наступить (успех), либо не наступить
(неудача) некоторое событие А, где Р(А)=р
− вероятность успеха, Р()=
1- р= q – вероятность неудачи. Тогда
вероятность того, что в к случаях изn
произойдёт событие А вычисляется по
формуле Бернулли:
.
(1.24)
Условия, приводящие к формуле Бернулли, называются частной схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Так как вероятности Pn(к) для различных значений к представляют собой слагаемые в разложении бинома Ньютона:
+
+…
+…+
,
то распределение вероятностей Pn(к),
где
,
называется биномиальным.
Переменные условия опыта. Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события А разные (общая схема повторения опытов), то вероятность наступления события А к раз в n опытах, определяется как коэффициент, при к-ой степени полинома
(1.25)
n(Z) – производящая функция.
2 Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях.
Число наступления события А в п независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность наступить событию это число раз является наибольшей по сравнению с вероятностями других исходов.
Наивероятнейшее число наступивших событий в схеме Бернулли - ко (коN), определяется из следующего неравенства:
np-
qко
np+
p.
(1.26)
3 Локальная теорема Муавра-Лапласа.
При большом числе опытов по схеме Бернулли удобнее пользоваться приближенными формулами.
Если вероятность
р наступления события А в каждом из п
независимых испытаний постоянна и
отлична от 0 и 1, а число испытаний
ьдостаточно велико (npq10),
то вероятность того, что событие А
появится к раз в п независимых испытаниях
приближенно равна, то
Рn
(к)
,
(1.27)
где x=.
(1.28)
Для облегчения вычислений функция
(x)=
(1.29)
представлена в виде таблицы и имеет следующие свойства:
(x) – четная;
при
x4,
(x)
0
4 Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пуассоновское приближение
Формула Пуассона.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и стремится к нулю, а число испытаний достаточно велико (npq<10 и p<0,1), то вероятность того, что событие А появится к раз в п независимых испытаниях приближенно равна
,
(1.30)
где
.
При больших значениях n , для вычисления вероятности того, что произойдет от к1 до к2 событий в п независимых испытаниях по схеме Бернулли, используется интегральная формула Муавра-Лапласса:
Рn
()=Ф(x2)
- Ф(x1),
(1.31)
где
x1
=,x2
=
,
Ф(х) - функция Лапласа.
Ф(x) имеет следующие свойства:
1) Ф(-x)= -Ф(x) – функция нечетная, поэтому достаточно применять её для неотрицательных значений x:
Ф(x)=
;
(1.32)
![](/html/2706/62/html_YQQWMuFguW.STkM/img-oWjLo7.png)
2) функция Ф(x) возрастает на всей числовой оси;
3) при
x4,
Ф(x)
(
y=0,5-
горизонтальная асимптота при x>0),
поэтому функция представлена в виде
таблицы для
;
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число >0:
Рn
=
2Ф
.
(1.33)