10.6. Интегрирование некоторых функций, содержащий квадратный трехчлен.

Интеграл вида

путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле

сводится к одному из двух интегралов

(19)(20)

где .

Интеграл (21)

сводится к интегралу (19)или(20)и интегралу

(22)

Интеграл сводится к одному из интегралов

(23)(24)

Интеграл (25)

сводится к одному из двух интегралов:

(26)

(27)

1. Найти интеграл

Дополняя квадратный трехчлен до полного квадрата и интегрируя на основании формулы (19) для случая когда , получаем

2.Найти интеграл

Дополняя квадратный трехчлен до полного квадрата и интегрируя на основании формулы (23), получаем

3.Найти интеграл

Это интеграл вида (25).Преобразуя квадратный трехчлен и применяя формулу(27),получаем

Найти интегралы:

10.105.10.106.10.107.

10.108.10.109.10.110.

10.111..10.112.10.113.

10.114.10.115.10.116.

10.7. Интегрирование рациональных функций.

Неопределенный интеграл от целой рациональной функции (многочлена) находится непосредственно:

Интегрирование дробной рациональной функции сводится к интегрированию правильной рациональной дроби

, (28)

Где и- многочлены, причем степень ниже степени .

Если же степень числителя равна степени знаменателя или больше ее, то рациональная дробь называется неправильной.

Дроби и -неправильные: в первой степень числителя равна степени знаменателя, а во второй степень числителя больше степени знаменателя.

Из неправильной рациональной дроби всегда можно выделить целую часть (многочлен). Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочленов.

Всякая неправильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Поэтому интегрирование рациональной дроби всегда может быть приведено к интегрированию многочлена и правильной дроби.

Если многочлен имеет действительные корни соответственно кратности комплексные попарно сопряженные корнисоответственно кратности, т.е.

то справедливо следующее разложение дроби (28) на простейшие дроби:

(29)

Постоянные находятся методом неопределенных коэффициентов.

После разложения на простейшие слагаемые интегрирование правильной рациональной дроби сводится к нахождению интегралов вида:

(30)(31)

Интеграл (30) находится по формуле , еслиили по формуле (6'), если.

Интеграл (31) при m = 1 является интегралом вида (21), при m > 1применяется метод понижения.

3амечание 1. Если многочлен имеет действительный корень , кратности, то по формуле (29) ему соответствует простейших слагаемых , каждое из которых равно дроби, числитель которой - постоянная, а знаменатель - соответствующая степень разности, причем берутся все степени от 1 до.

Замечание 2. Если многочлен имеет комплексные попарно сопряженные корни кратности, то в разложении (29) им соответствует элементарных дробей вида

Числитель каждой из которых есть линейная функция (не постоянная как в предыдущем случае), а знаменатель - степень соответствующего трехчлена, т.е. трехчлена

причем берутся все степени от 1 до .

Замечание 3. Коэффициенты разложения (29) можно получить полагая в тождестве (29) или ему равносильном х равным надлежащим образом выбранным числам (метод произвольных значений).

1. Найти интеграл

Разложим сначала правильную дробь

на простейшие дроби, для чего нужно найти корни его знаменателя, т.е. корни уравнения

Один корень находится методом подбора, это .

Так как

то

поэтому получаем также

Итак, многочлен имеет действительные простые корни

В соответствии с формулой (29) ищем разложение данной дроби на простейшие

(А)

(Слагаемых вида разложение не содержит, так как комплексных корней нет). Приводя дроби в правой частик общему знаменателю, получаем

Сравниваем числители

(В)

Раскрывая скобки в правой части равенства (В) и группируя члены, находим

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xв обеих частях равенства, получим три уравнения для определения неизвестных коэффициентовА, В, С:

Решая эту систему, находим: А= 2,В = 1,С= -3.

Следовательно,

и поэтому

Таким образом

Замечание. Коэффициенты разложения (А) можно было бы найти, полагая в равенстве (В)x= 1,x= 2,x= 3. Действительно приx = 1 имеем 9-5 =А(-1)(-2), 4 = 2А, откуда А=2. АналогичноВ= 1,С= -3.

2. Найти интеграл

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой имеет простой кореньи кратный корень(кратности 2).

В соответствии с формулой (29) разложение подынтегральной функции на простейшие дроби имеет вид

Откуда

Полагая x = 1, получим, откуда

При находимили, откуда.

Полагая , получаемили. Принимая во внимание значения А и С, из последнего уравнения находим

Следовательно,

поэтому

Итак,

Найти интегралы:

10.117.10.118.10.119.

10.120.10.121.10.122.

10.123.10.124.10.125.

10.126.10.127.10.128.

10.129.10.130.10.131.

10.132.10.133.10.134.

10.135.10.136.10.137.