Неопределенные интегралы
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители: П. С. Украинский, Э. Л. Шишкина, Г. А. Виноградова
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2013
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 25 октября 2013 г., протокол № 2
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. С. П. Зубова
Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математический анализ» подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов первого курса очной и очно-заочной форм обучения факультета прикладной математики, информатики и механики.
Для направлений: 010500 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, 010300 – Фундаментальные информатика и информационные технологии, 010400 – Прикладная математика и информатика, 010800 – Механика и математическое моделирование, 230700 – Прикладная информатика, 010900 – Механика, 080500 – Бизнес-информатика
Введение
В настоящем пособии приведены основные методы интегрирования. Каждый метод проиллюстрирован решением соответствующего примера. В пособии изложено решение 34 примеров. В §3 приведены задания для самостоятельной работы, которые сгруппированы по темам.
§1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
Определение 1 Функция F (x) в данном промежутке называется первообразной функцией для функции f(x), если во всем этом промежутке
F ′ (x) = f (x) .
Теорема 1 Если в некотором промежутке функция F (x) есть первообразная для f(x), то и функция F (x) + C, где C произвольная постоянная, также будет первообразной функцией для f (x) . Обратно, каждая функция, первообразная для f(x) представима в виде F (x) + C.
∫
Определение 2 Символ f(x)dx обозначает совокупность всех первообразных для функции f(x) и называется неопределенным интегралом для функции f(x).
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают
следующие свойства:
∫
1.d f (x) dx =f (x) dx,
∫
2.∫ F ′ (x) dx = F (x) + C,
3.dF (x) = F (x) + C.
Таблица основных неопределенных интегралов
∫
1.∫ 0dx = C,
2.∫ dx = x + C,
x +1
3.∫ x dx = +1 + C, α ≠ −1,
4.dx = ln |x| + C, на промежутке, не содержащем нуль,
5.∫ axxdx = lnaxa + C,
3
5a. exdx = ex + C, |
||||||||||
6. |
∫sin x dx |
= −cos x + C, |
||||||||
7. |
∫ cos x dx = sin x + C, |
|||||||||
|
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
||
8. |
|
|
|
|
= arctg x + C, |
|||||
|
1+x2 |
|||||||||
9. |
∫ |
|
√ |
dx |
|
|
= arcsin x + C, |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
1−x2 |
|||||||||
10.∫ |
∫ |
|
dx |
|
= |
ctg x + C, |
||||
sin2x |
|
|||||||||
11. |
|
dx |
|
|
|
− |
||||
|
|
|
= tg x + C, |
|||||||
cos2x |
|
|
||||||||
12. ∫ |
sh x dx = ch x + C, |
|||||||||
13. |
∫ |
ch x dx = sh x + C, |
||||||||
|
|
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
14. ∫ sh2x = −cth x + C, 15. dx = th x + C.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшие правила интегрирования |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. Если a – постоянная, a ̸= 0, то ∫ a f (x) dx = a ∫ |
f (x) dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
∫ (f (x) ± g (x)) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Тема 1. Применение простейших правил интегрирования |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. |
x3(1 − x)2dx = ∫ |
x3 (1 − 2x + x2) dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ (x3 − 2x4 + x5) dx = ∫ |
x3dx−2 ∫ |
x4dx+∫ |
x5dx = |
|
x4 |
x5 |
x6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−2 |
|
+ |
|
+C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
5 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
a2 |
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∫ ( |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
) dx = a ∫ |
|
|
|
|
+ a2 ∫ x−2dx + a3 |
∫ x−3dx = |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
x2 |
x3 |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= aln |x| + a |
2 x−1 |
|
3 x−2 |
+ C = aln |x| − |
a2 |
− |
|
|
a3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
1 |
|
− |
2 |
x |
|
2x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ (√x + |
|
√x) √ |
|
|
dx = ∫ |
(x2 |
|
+ x−2 )x4 dx = ∫ (x4 + x4 ) dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x√x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
95
=4x9 4 + 4x5 4 + C.
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
(2x + ex) dx = ∫ 2xdx + ∫ exdx = |
2x |
|
|||||||
|
|
+ ex + C. |
||||||||
ln 2 |
||||||||||
Пример 5. |
|
|
∫ |
cos x dx + ∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ (2 cos x + tg2x) dx = 2 |
|
tg2xdx = 2 sin x+ |
||||||||
|
( |
) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ ∫ |
tg2x + 1 − 1 |
dx = 2 sin x + ∫ |
cos2x |
dx − ∫ |
dx = |
= 2 sin x + tg x − x + C.
Тема 2. Внесение постоянной под знак дифференциала
Знак dx, стоящий под знаком интеграла, – это дифференциал переменной x. Вспомним, что для дифференцируемых функций f(x), u(x), v(x) и
постоянной c имеют место формулы
1.df (x) = f′(x)dx,
2.d (u + v) = du + dv,
3.d (cu) = cdu,
4.dc = 0.
На основе этих формул, если a и b – постоянные, имеем
dx = a1d (ax) = a1d (ax + b) .
Пример 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx |
= ∫ |
d (x + 2) |
= {обозначим x + 2 = t} = ∫ |
dt |
= |
||
|
|
|
|
|
||||
(x + 2)2 |
(x + 2)2 |
t2 |
5
= ∫ |
t−2dt = |
t−1 |
1 |
1 |
|
||
|
+ C = − |
|
+ C = − |
|
+ C. |
||
−1 |
t |
x + 2 |
В дальнейшем, по мере накопления опыта, вводить переменную t не
обязательно, просто выражение x + 2 рассматриваем как новую перемен-
ную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 7. |
|
|
|
|
∫ √2 − 3xd (−3x) = −3 |
|
|
∫ |
(2 − 3x) |
2 d (2 − 3x) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ √2 − 3xdx = −3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(2 − 3x) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
1 |
|
|
+ C = |
2(2 |
|
|
|
|
3x)2 |
+ C. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 8. |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
d |
x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a2 + x2 |
= |
a2 |
|
|
|
1 + xa22 |
= |
a2 |
|
|
1 + x |
2 |
= |
a2 |
· a |
1 +( |
x) |
2 |
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
arctg |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
cos 3x dx + ∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
∫ (cos 3x + e−2x) dx = |
e−2xdx = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
= |
|
∫ |
cos 3x |
d (3x) − |
|
∫ |
e−2xd (−2x) = |
|
|
|
sin 3x − |
|
e−2x + C. |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
|
2 |
2 |
6
Тема 3. Подведение функции под знак дифференциала
Если F (x) – первообразная для функции f(x), то
f (x) dx = dF (x) .
Приведем наиболее часто встречающиеся случаи:
1.xdx = 12 d(x2),
2.xndx = n+11 d(xn+1),
3.sin x dx = −dcos x ,
4.cos x dx = dsin x ,
5.x1 dx = dln x ,
( )
6. x12 dx = −d x1 ,
7. exdx = d ex.
|
Пример 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ |
|
x dx |
1 |
|
∫ |
|
d (x2) |
|
1 |
∫ |
d (3 + x2) |
1 |
|
(3 + x2) + C. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ln |
|
||||||
|
3 + x2 |
2 |
|
|
3 + x2 |
2 |
3 + x2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
Пример 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
√ |
|
|
1 |
∫ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
5(1+x3)56 |
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x2 5 1+x3dx = |
|
|
(1+x2)5 d(1+x3) = |
|
· |
|
|
|
+C = |
|
(1+x3)5 |
+C. |
||||||||||||||||
3 |
3 |
|
6 |
|
18 |
Рекомендуется после подведения под знак дифференциала сделать проверку по формуле df(x) = f′(x)dx.
|
Пример 12. |
|
|||
∫ |
|
cos x |
∫ |
||
|
√ |
|
dx= |
||
|
sin3 x |
d sin x
√
sin3 x
= |
(sin x)−23 d sin x= |
sin−21 x |
+C= |
− |
2 sin− |
21 |
x+C. |
|
−21 |
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
7
Пример 13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ |
|
|
ex dx |
= ∫ |
|
|
dex |
|
∫ |
|
d(3 + ex) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= ln(3 + ex) + C. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 + ex |
3 + ex |
3 + ex |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ |
x√ |
dx |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sgn x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
1 |
|
x |
|
x |
|
1 |
|
1 |
|
x2 |
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
· | |
|
|√ |
− x |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
− x |
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
d |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
= − |
|
∫ |
|
|
1(x) |
|
|
|
= − |
|
arcsin |
|
+ C = −sgn x |
· arcsin |
|
+ C. |
||||||||||||||||||||||||
sgn x |
|
|
1 |
|
sgn x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4. Метод замены переменной (метод подстановки)
Теорема 2 Если f(x) непрерывна и x = φ(t), где φ(t) непрерывна вместе со своей производной φ′(t), то
∫∫
f(x)dx = f(φ(t))φ′(t)dt.
Проблема состоит в том, как найти подходящую функцию φ(t) для конкретного интеграла. Для этого есть учебники, в которых интегралы разбиты на типы и указано как надо поступать. В нестандартных случаях выручает интуиция и метод проб и ошибок.
Пример 15. |
∫ |
|
|
|
|
xdx |
|||
|
√ |
|
. |
|
|
3 − x |
√
Обозначим 3 − x = t, найдем x и dx. Имеем, 3 − x = t2, x = 3 − t2,
dx = −2tdt и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
xdx |
= |
3 − t2 |
|
( 2t)dt = |
|
2 |
|
(3 |
|
t2)dt = |
|
2 |
3t |
|
t3 |
|
+ C = |
||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
3 ) |
||||||||||||||
√3 − x |
∫ |
t |
· |
− |
− |
|
∫ |
|
− |
|
− |
|
( |
− |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
−6 3 − x + |
|
(3 − x) + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
8
Пример 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dx |
1 |
|
|
dt |
||||||||
∫ |
√ |
|
|
= {ex = t, x = ln t, dx = |
|
dt} = ∫ |
t√ |
|
|
= |
|
||||
t |
|||||||||||||||
ex − 1 |
t − 1 |
||||||||||||||
= {√t − 1 = y, t − 1 = y2, t = y2 + 1, dt = 2ydy} = |
∫ |
|
(y2 + 1)y = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ydy |
|
||
|
|
= 2 ∫ |
1 + y2 = 2 arctg y + C = 2 arctg √ex − 1 + C. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 17. |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x3(1 − 2x2)5dx = |
1 |
∫ |
x2(1 − 2x2)5dx2 |
= − |
1 |
∫ x2(1 − 2x2)5d(1 − 2x2) = |
|
|
|
|
||||||
2 |
4 |
=1 − 2x2 = t, x2 = 12(1 − t) = −18 ∫ (1 − t)t5dt = −18 ∫ (t5 − t6)dt =}{
|
1 |
|
t6 |
t7 |
|
1 |
|
(1 |
2x2)6 |
(1 |
2x2)7 |
|
|||
= − |
|
( |
|
− |
|
) |
+ C = − |
|
( |
− |
− |
|
− |
) + C. |
|
8 |
6 |
7 |
8 |
|
6 |
|
7 |
§2. Специальные приемы вычисления неопределенных интегралов
Тема 5. Тригонометрические и гиперболические подстановки
Приведем для справки некоторые формулы для гиперболических функций:
ch x = |
ex + e−x |
, |
sh x = |
ex − e−x |
, |
|
||
|
|
|
||||||
ch2 x − sh2 x = 1, |
2 |
|
2 |
|
|
|||
|
sh 2x = 2 sh x ch x, ch 2x = ch2 x + sh2 x, |
|||||||
ch2 x = |
1 + ch 2x |
, |
sh2 x = |
ch 2x − 1 |
. |
|||
2 |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
Рекомендуются следующие подстановки (возможны и другие варианты):
∫√
1. R(x, a2 − x2)dx; x = a sin t или x = a cos t,
∫√
2. R(x, a2 + x2)dx; x = a sh t или x = a tg t,
∫√
3. R(x, x2 − a2)dx; x = a ch t.
9
Пример 18. |
∫ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx, a > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a2 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведя замену x = a sh t, dx = a ch tdt, t = arshxa |
= ln |
xa |
+ |
|
1 + |
x2 |
|
, |
|||||||
|
a2 |
||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ √ |
|
dx = ∫ √ |
|
· a ch tdt = a2 |
∫ ch2 tdt = |
|
|||||||||
a2 + x2 |
a2 + a2 sh2 t |
|
= |
a2 |
∫ (1 + ch 2t)dt = |
|
a2 |
|||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
a2 |
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 ln |
|
|
|||
|
|
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
1 |
||
(∫ dt + ∫ |
ch 2tdt) = |
|
|
(t + |
|
sh 2t) + C = |
|||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ 1 + |
|
|
|
+ |
|
|
x2 + a2 |
+ C. |
|
|
|||
a2 |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 6. Метод интегрирования по частям
Теорема 3 Пусть u(x) и v(x) некоторые дифференцируемые функции. То-
гда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
udv = uv − ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vdu. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Этот |
метод |
подходит для |
интегралов |
следующего |
вида |
xnexdx, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
, |
|
n |
|
|
|
, |
|
|
n |
|
, |
|
n |
|
|
|
|
. Здесь за |
|
|
берут ал- |
||||||
|
x |
|
sin xdx |
x |
cos xdx |
|
|
x sh xdx |
x |
|
ch xdx |
u(x) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫ |
|||||||||||||||||
гебраическую часть выражения. Например, |
x |
n |
= u |
e |
x |
dx = dv |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В |
интегралах |
вида |
|
|
|
|
xn arcsin xdx, |
|
|
xn arccos xdx, |
|
|
xn arctg xdx, |
||||||||||||||||||
|
xn |
|
|
|
, |
|
xn |
|
|
|
xdx за u берут не алгебраическую часть. Напри- |
|||||||||||||||||||||
мер, |
arcctg xdx |
|
, |
|
loga |
|
|
∫ |
. |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|||||
u = arctg x |
|
|
n |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
|
∫dv = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Метод интегрирования по частям применяется и во многих других слу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
чаях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 cos 2xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Введем |
обозначения |
|
|
|
u=x2 |
и dv= cos 2xdx, |
|
тогда |
|
du=2xdx, |
10