Неопределенные интегралы

v= ∫ cos 2xdx=21 ∫

cos 2xd(2x)=21 sin 2x. Получим

1

1

1

∫

x2 cos 2xdx =

x2 sin 2x−∫

sin 2x·2x dx =

x2 sin 2x−∫

x sin 2xdx =

2

2

2

u = x

du = dx

1

x

= { dv = sin 2xdx

1 cos 2x

} =

x2 sin 2x +

cos 2x−

v =

sin 2xdx =

2

2

1

∫

∫

x2

−2x

1

−

cos 2xdx =

sin 2x +

cos 2x −

sin 2x + C.

2

2

2

4

1

∫

x dx

1

∫

√

dx

x

= x arctg √x −

(1 + x)√

= x arctg

√x −

=

2

2

1 + x

x

− ∫

t2

= {√x = t, x = t2, dx = 2tdt} = x arctg √x

dt =

1 + t2

1 + t2

1

dt

= x arctg √x − ∫

−

dt = x arctg √x −

∫

dt + ∫

=

1 + t2

t2 + 1

√

√

√

√

= x arctg

x

− t + arctg t + C = x arctg

x

−

x + arctg

x + C.

Пример 21.

u = sin(ln x)

du = cos(ln x) 1

dx

∫ sin(ln x)dx = {

dv = dx

v = x

x

} = x sin(ln x)−

− ∫

1

dx = x sin(ln x) − ∫

x cos(ln x)

cos(ln x) dx =

x

u = cos(ln x) du =

sin(ln x) 1 dx

= {

dv = dx

−v = x

x

} = x sin(ln x)−

−x cos(ln x) − ∫

1

x sin(ln x)

dx.

x

Получаем уравнение:

∫

sin(ln x) dx = x sin(ln x) − x cos(ln x) − ∫

sin(ln x)dx.

Пример 22.

∫

u = eax

b

du = aeaxdx

eax cos(bx)dx = { dv = cos(bx)dx

v = 1 sin(bx) } =

1

a

u = eax

du = aeaxdx

=

eax sin(bx)−

∫ eax sin(bx)dx = { dv = sin(bx)dx

v = −1b cos(bx)

} =

b

b

1

a

1

a

=

eax sin(bx) −

(−

eax cos(bx) +

∫ eax cos(bx)dx) =

b

b

b

b

1

a

a2

∫

=

eax sin(bx) +

eax cos(bx) −

eax cos(bx)dx.

b

b2

b2

Получаем уравнение:

∫

1

a

a2

∫

eax cos(bx)dx =

eax sin(bx) +

eax cos(bx) −

eax cos(bx)dx.

b

b2

b2

Откуда, выражая интеграл ∫ eax cos(bx)dx, будем иметь

)

∫

b

(

a

eax cos(bx)dx =

eax sin(bx) +

eax cos(bx) .

a2 + b2

b

Дополнительная таблица интегралов

1.

dx

=

1

arctg

x

+ C,

a = 0,

2+x2

a1

∫

a dx

a+ax

̸

2.

=

ln

+ C,

a ̸= 0,

a2−x2

2a

a

x

∫

dx

−x

3.

√

= arcsin

a

+ C,

a > 0,

a2−x2

a > 0,

4. ∫

√x2±a2 = ln

x + √x ± a

+ C,

∫

dx

2

2

5.

∫

√

= x √

a2

ln x + √

x2

a2

x2

a2

x2

a2

+ C,

±

±

± a2

±

2

2

x

2

2

x

2

2

arcsin

a > 0.

6.

∫ √

√

a

− x

= 2

a

− x

+

a + C,

2

Пример 23.

∫

x + 1

dx.

x2 + x + 1

Шаг 1. Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене:

1

1

1

1

2

3

x2 + x + 1 = x2

+ 2 · x ·

+

−

+ 1 = (x +

)

+

.

2

4

4

2

4

Шаг 2. Производим замену x +

1 = t, x + 1 = t, dx = dt.

2

2

Имеем

x + 1

x + 1

t + 1

t dt

1

dt

∫

dx =

∫

dx = ∫

2

dt = ∫

+

∫

=

x2 + x + 1

x + 21

)

2 + 43

t2 + 43

t2 + 43

2

t2 + 43

1

d t

2

3

1

(

1

3

1 2

2t

+ 4

dt

2

=

∫

(t2 + 43 )

+

∫

=

ln (t

+

) +

·

√

arctg

√

+ C =

2

2

t2 + 43

2

4

2

3

3

1

1

2

3

1

2

2x + 1

=

ln ((x +

)

+

) +

·

√

arctg

√

+ C =

2

2

4

2

3

3

1

ln(x2 + x + 1) +

1

2x + 1

=

√

arctg

√

+ C.

2

3

3

Пример 24.

∫

x dx

= ∫

x dx

1

∫

x dx

√

=

√

=

6 − 4x − 2x2

√2 −

2(x2 + 2x

−

3)

2

√−

(x2 + 2x − 3)

2

2

2

} =

= {−(x

+2x−3)=−(x +2x+1−1−3)=−((x+1) −4)=4−(x+1)

=

1

x dx

=

x+1=t, x=t 1, dx=dt =

1

(t − 1)dt

=

√2 ∫

4 − (x + 1)2

{

−

}

√2 ∫

√4 − t2

1

∫

√ tdt

1

∫

dt

1

∫

d(t2)

1

t

=

√

√

−

√

√

=

2√

√

−

√

arcsin

=

2

2

4 − t2

2

4 − t2

2

4 − t2

2

∫

−

√

1

d(4 t2)

1

t

2

1

t

= −

2√

√

−

−

√

arcsin

= −

2√

4 − t2 −

√

arcsin

+ C =

2

4 t2

2

2

2

2

2

1

1

x + 1

√4 − (x + 1)2

= −√

−

√

arcsin

+ C.

2

2

2

1

и

1

, k, l = 1, 2, ...

k

(x

2

l

(x − b)

+ px + q)

Шаг 1. Дробь

Pn(x)

может быть правильной, если n < m и неправиль-

Qm(x)

ной, если n ≥ m. Если дробь

Pn(x)

неправильная, надо делением числителя

Qm(x)

на знаменатель выделить целую часть Cn−m(x) и остаток R(x), тогда

Pn(x)

= C

n−m

(x) +

R(x)

.

Qm(x)

Qm(x)

Степень остатка R(x) всегда меньше m, поэтому дробь

R(x)

всегда

Qm(x)

правильной дроби.

Шаг 2. Имеем правильную дробь

Pn(x)

. Разложим знаменатель на мно-

Qm(x)

жители, они могут быть только указанных четырех типов. Например:

неправильно

правильно

(x − 1)(x − 1)(x2 − 4)

=

(x − 1)2(x − 2)(x + 2)

(x − 1)3(x3

+ 1)

=

(x − 1)3(x + 1)(x2 − x + 1)

(x2 − x − 6)(x2

+ x + 1)

=

(x − 2)(x + 3)(x2 + x + 1)

(x2 + 1)(x4

(x2 + 1)(x2 − √

x + 1)(x2 + √

x + 1)

+ 1)

=

2

2