matmod

Математическое моделирование

Флегель Александр Валерьевич

flegel@cs.vsu.ru

2014

Литература

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Лекция 1. Понятие математической модели. Основные требования

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Понятие математической модели.

Пример 1.

Груз массы m колеблется на горизонтальной плоскости под действием пружины нулевой массы с жесткостью k. Противодействующие силы пренебрежимо малы. Нас интересуют характер и частота колебаний.

x – координата груза.

−kx – действующая со стороны пружины сила. Из второго закона Ньютона:

с общим решением:

rr

Груз совершает гармонические колебания с центром в точке x = 0 с произвольной

p

амплитудой и частотой ω0 = k/m.

2014 4 / 74

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Интересующие нас утверждения получены из решения дифференциального уравнения, а не из непосредственного рассмотрения механической системы

Это уравнение является математической записью физических законов и условий, определяющих колебания системы, и поэтому называется математической моделью рассматриваемой системы (или процесса ее колебаний).

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Общее определение

Пусть необходимо исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта A с помощью математики.

Для этого мы строим “математический объект” A′ – систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т.д.

Исследование A′ средствами математики должно ответить на поставленные вопросы относительно S.

В этих условиях A′ называется математической моделью объекта A относительно совокупности S его свойств.

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Математическое моделирование – метод познания, прогнозирования, управления.

Обычно различают следующие типы математических моделей.

1. Прямая задача, когда по заданным локальным законам (физическим, химическим,

биологическим, экономическим и т.д.), действующим внутри исследуемой системы, нужно ответить на вопрос, как будет вести себя система в целом.

В этом случае все параметры исследуемой системы известны и изучается поведение модели в различных условиях.

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

2. Обратная задача – определение параметров модели путем сопоставления наблюдаемых

данных и результатов моделирования.

По результатам наблюдений пытаются выяснить, какие процессы управляют поведением объекта, и находят определяющие параметры модели.

В обратной задаче требуется определить значения параметров модели по известному поведению системы как целого.

3. Проектирование управляющих систем.

Это совершенно особая область моделирования, которая имеет дело с автоматизированными информационными системами и автоматизированными системами управления.

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Общая схема математического моделирования

решение математической задачи

Первый этап – построение математической модели:

Исходя из реального объекта, формулируются интересующие нас свойства на языке той или иной науки (механическая, физическая, биологическая и т.п. модель) содержательная модель.

Формулируются соответствующие гипотезы (постулаты модели). На основе содержательной модели выписываются

соответствующие уравнения. Перевод на формальный математический язык – переход к математической модели.

2014 9 / 74

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Второй этап – изучение математической модели (решение полученной математической задачи).

Выбор метода и его реализация (включая разработку алгоритма и компьютерный эксперимент)

!Все элементы мат. модели являются метками реальных элементов. Это позволяет в процессе решения мат. задачи привлекать дополнительные сведения, позволяющие упростить процесс решения или выделить требуемое решение из нескольких возможных.

Третий этап – интерпретация результата исследования математической модели.

Проверка, удовлетворяет ли модель критерию практики.

Может включать контроль правильности (верификацию) модели на основе сравнения результата с другими известными фактами.

Анализ модели и ее модификация.