- •30 AnGeom
- •2. Прямая линия на плоскости
- •Типы уравнений прямой.
- •3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности.
- •Линейные образы в r3
- •4. Понятие алгебраической поверхности.
- •4.А. Плоскость.
- •5. Прямая линия в пространстве.
- •5.А. Канонические уравнения прямой в пространстве.
- •5.Б. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.
- •6. Угол между двумя прямыми. За угол между двумя прямыми
- •7. Прямая и плоскость.
- •Условие того, что прямая лежит в данной плоскости.
- •Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости.
- •8. Кривые второго порядка.
- •8.А Окружность
- •8.Б. Эллипс (в декартовой системе координат)
- •8.В. Гипербола
- •Каноническое уравнение гиперболы
- •8.Г. Парабола
- •Пример 18. Установить, что уравнение
- •Полярная система координат.
- •Связь между прямоугольными и полярными координатами.
Линейные образы в r3
4. Понятие алгебраической поверхности.
Определение. Алгебраической поверхностью называется множество, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида:
где все показатели степени – целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм: называется степенью уравнения, а также периодом алгебраической поверхности. Это определение означает, в частности, что сфера является алгебраической поверхностью второго порядка.
Перейдем к рассмотрению конкретных линейных образов в пространстве R3.
4.А. Плоскость.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору (рис. 6).
- текущая точка плоскости . Вектор. Для любой точки плоскости векторыиортогональны, следовательно, их скалярное произведение равно.
.
В уравнении перейдём к координатной форме:
. (12)
Уравнение (12) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.
2. Общее уравнение плоскости - это уравнение степени с неизвестными, которое имеет вид:
. (13)
3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (рис. 7).
Пусть плоскости принадлежат три точки,,.- текущая точка плоскости, тогда векторы,,компланарны и, следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.
, или . (14)
4. Уравнение плоскости «в отрезках»:
(15)
где а,b,с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью от начала координат на осях координат (рис. 8).
5. Расстояние точки от плоскости.
Дана плоскость -и точкавне плоскости, тогда расстояниеточки от плоскости имеет вид:
(16)
6. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей (рис. 9).
Даны две плоскости:
и
и ; - нормальные векторы к соответствующим данным плоскостям.
За угол между двумя плоскостями принимается угол между их нормальными векторами:
(17)
Если плоскости параллельны, то векторы иколлинеарны, и, следовательно,
(18)
условие параллельности двух плоскостей.
Если плоскости перпендикулярны, то
(19)
условие перпендикулярности двух плоскостей.
5. Прямая линия в пространстве.
Прямую линию в пространстве можно представить как пересечение двух плоскостей, то есть совокупность двух уравнений плоскостей. Систему двух непараллельных уравнений (плоскостей) называют общими уравнениями прямой:
.
5.А. Канонические уравнения прямой в пространстве.
Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой и обозначается: .
Если известна точка , прямой и направляющий вектор, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:
, (20)
которые называются каноническими уравнениями прямой.
Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки иимеют вид:
. (21)
Обозначив буквой каждое из равных отношений в канонических уравнениях, мы получим: . Отсюда
. (22)
Уравнения (22) есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно вектору. В уравнениях (22)рассматривается как произвольно изменяющийся параметр;- как функции от. При изменениивеличиныменяются так, что точкадвижется по данной прямой.