1.4. Взвешенная сумма нечетких случайных величин.

В контексте рассматриваемой проблемы портфельного анализа необходимо иметь соответствующие результаты для определения дисперсии и ожидаемого значение взвешенной суммы нечетких случайных величин.

Итак, пусть имеем несимметричных триангулярных нечетких случайных величин,- некоторые веса, такие, что. Будем рассматривать взвешенную сумму нечетких случайных величин:

.

Найдем математическое ожидание и дисперсиюдля данной взвешенной суммы.

Лемма 1.4.1. Пусть

, ,

, . Тогда математическое ожидание взвешенной суммы нечетких случайных величин исчисляется по формуле:

, (1.4.1)

где имеет распределение вида (1.3.2).

Доказательство.

Рассчитаем математическое ожидание. На основании леммы 1.1.2. и определения 1.1.18:

где имеет распределение вида (1.3.2).

Лемма доказана.

Лемма 1.4.2. Дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величин находится по формуле:

(1.4.2)

Доказательство.

Найдем , используя свойства (3),(4) из теоремы 1.2.1.

Итак:

На основании теоремы 1.2.1 можно преобразовать полученное выражение следующим образом:

Проведем обратные преобразования, осуществим группировку слагаемых, воспользуемся свойством (2) из теоремы 1.2.1. Имеем:

Лемма доказана.

Теорема 1.4.1. Пусть

, ,

, . Тогда дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величинвычисляется по формуле:

(1.3.1)

Доказательство.

Согласно лемме 1.4.2 дисперсия взвешенной суммы равна:

.

Обобщим лемму 1.3.1 и лемму 1.3.2 на случай нечетких случайных величин. Следовательно, имеем:

Проведем соответствующие подстановки.

Теорема доказана.

1.5. Выводы по первой главе диссертации.

Таким образом, в первой главе диссертации в рамках возможностного подхода обоснованы элементы исчисления нечетких случайных величин, а именно:

1. Развита модель нечеткой случайной величины, разработанная в работах [72,79,80,87,88].

2. Получены формулы для расчета ковариации и дисперсии в том случае, когда значения нечетких случайных величин характеризуются параметризованными распределениями.

3. Получена формула для определения дисперсии взвешенной суммы нечетких случайных величин.

Полученные результаты существенным образом используются во второй главе диссертации при построении моделей и методов портфельного анализа.

2. Постановки задач портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных и методы их решения.

Классические модели портфельного анализа по Марковицу ориентированы на принятие инвестиционных решений в том случае, когда существуют временные ряды, по которым полностью можно оценить параметры модели: ковариационную матрицу и вектор ожидаемых доходностей.

Необходимость принятия инвестиционных решений в том случае, когда доходности финансовых активов характеризуются толерантными временными рядами, требует соответствующего обобщения классического подхода. С этой целью во второй главе диссертационной работы строятся обобщенные модели Марковица и разрабатываются методы оптимизации портфеля по этим моделям.

2.1. Доходность портфеля в условиях нечетких случайных данных.

Пусть -доля капитала, выделяемая на покупку ценных бумаг-го вида, такая что,,.

Введем также нечеткие случайные величины , представляющие доходности финансовых активов:.

Тогда, на основании результатов первой главы, доходность портфеля может быть представлена нечеткой случайной величиной:

.

Ее математическое ожидание есть ожидаемая доходность портфеля.

Понятно, что при фиксированном есть нечеткая величина, которую в дальнейшем будем обозначать

. (2.1)

Ее распределение может быть определено по формулам, полученным в первой главе диссертации. Ожидаемая доходность отдельного финансового актива есть . Риск портфеля характеризуется дисперсией, либо среднеквадратичным отклонением соответствующей нечеткой случайной величины. В соответствии с рассматриваемым подходом эти характеристики являются функциями. Обозначим их соответственно:,.

Таким образом, мы видим, что ожидаемая доходность портфеля есть нечеткая величина. Поэтому нам необходимо провести обобщение моделей Марковица, дающее возможность производить «глубинную» обработку толерантных временных рядов для получения временных рядов, позволяющих оценить параметры распределений.