1.2. Определение числовых характеристик нечеткой случайной величины.

Наиболее полезная информация, связанная с вещественными случайными величинами и нечеткими случайными величинами, выявляется при расчете моментов первого и второго порядков. Понятие ожидаемого значения нечеткой случайной величины было введено Пури и Ралеску [88]. В контексте принятия решений математическое ожидание играет решающую роль для объяснения случайной информации. Дисперсия используется для расчета разброса или рассеянности нечеткой случайной величины около ее ожидаемого значения, а ковариация или коэффициент корреляции (нормированная ковариация) служит мерой линейной независимости двух случайных величин, то есть мерой точности, с которой одна нечеткая величина может быть аппроксимирована линейной функцией другой.

Существует ряд подходов к определению моментов второго порядка нечетких случайных величин. В [47] разработано исчисление моментов второго порядка в том случае, когда они определяются как функции нечетких величин в соответствии классическими определениями дисперсии и коэффициентов ковариации и являются нечеткими. В диссертационном исследовании развивается другой подход к определению моментов второго порядка, в котором указанные числовые характеристики являются четкими [72].

Определяемые в соответствии с этим подходом дисперсия и ковариация нечетких случайных величин наследуют основные свойства вещественных случайных величин.

Итак, пусть мы имеем нечеткие случайные величины , где-нечеткая случайная величина.

В соответствии с [72] введем определения ковариации и дисперсии нечетких случайных величин.

Определение 1.2.1.Ковариация нечетких случайных величиниопределяется следующим образом:

. (1.2.1)

Определение 1.2.2. Дисперсия нечеткой случайной величины определяется следующим образом:

. (1.2.2)

Определение 1.2.3. Нормализованная ковариация, определяемая как

, (1.2.3)

называется коэффициентом корреляции нечетких случайных величин и.

Если , то нечеткие случайные величиныиявляются некоррелированными.

Дисперсия и ковариация нечетких случайных величин обладают свойствами, которые характеризуют вещественные случайные величины. Эти свойства представлены в следующей теореме [72].

Теорема 1.2.1. Пусть нечеткие случайные величины . Тогда

1) ,,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) (Неравенство Чебышева).

1.3. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин в классах параметризованных распределений.

Для практической работы важным является представление нечеткой случайной величины, позволяющее эксплицировать комбинированный вид неопределенности (нечеткий и случайный факторы). Удобным для приложений является представление ее с помощью сдвиг-масштабного семейства нечетких величин со случайными параметрами сдвига и масштаба [47]. В результате мы приходим к такому представлению:

,

где ,-случайные величины, определенные на вероятностном пространстве, имеющие конечные моменты второго порядка, а-нечеткая величина, определенная на возможностном пространстве.

В работе основное внимание будет уделено несимметричным триангулярным нечетким случайным величинам и распределениям -типа, которые моделируют нечеткий фактор.

Рассмотрим сначала отдельную нечеткую случайную величину, функция распределения которой имеет следующий вид:

(1.3.1)

Понятно, что при фиксированном распределение принадлежит классу. При данных значениях параметров фактически это трапецевидное распределение представляет несимметричную нечеткую триангулярную величину.

Для более наглядного представления дадим графическое изображение распределения рассматриваемой нечеткой случайной величины (рис.1.)

Рис.1. Функция распределения несимметричной триангулярной нечеткой случайной величины

Нетрудно видеть, что в этом случае -уровневое множество рассматриваемой нечеткой случайной величины может быть представлено следующим образом:

.

Найдем далее формулу для расчета математического ожидания нечеткой случайной величины, имеющей функцию распределения (1.3.1). Нетрудно показать, что:

(1.3.2)

Таким образом, ,

где имеет функцию распределения вида (1.3.2).

Докажем следующее утверждение.

Лемма 1.3.1.[73] Пусть

, тогда дисперсия нечеткой случайной величины исчисляется по формуле:

(1.3.1)

Доказательство.

В соответствии с формулами, определяющими границы -уровневого множества нечеткой случайной величины, имеем:

,

, .

Определим дисперсии левой и правой границ -уровневого множества. В соответствии с формулами теории вероятностей имеем:

Согласно определениям 1.2.1 и 1.2.2, а также используя полученные выше выражения для дисперсии правой и левой границ -уровневого множества,, найдем формулу для расчета дисперсии нечеткой случайной величины.

Лемма доказана.

Получим теперь формулу для расчета ковариации нечетких случайных величин.

Лемма 1.3.2. [73] Пусть

, , тогда ковариация нечетких случайных величинисчисляется по формуле:

(1.3.2)

Доказательство.

Согласно определению границы -уровневого множества нечеткой случайной величины равны соответственно:

,

, ,.

На основании формулы (1.2.1), имеем:

В соответствии с определением ковариации, преобразуем полученное выражение следующим образом [23]:

Проведем почленное преобразование слагаемых, находящихся под знаком интеграла.

Сначала преобразуем первое слагаемое. Имеем:

Аналогичным образом преобразуется второе слагаемое:

Таким образом, мы привели выражение под знаком интеграла к необходимой форме. В процессе интегрирования получаем следующие формулы:

Лемма доказана.

Получим теперь формулы для дисперсии и ковариации нечетких случайных величин в классе распределений -типа.

Используя приведенные выше представления, мы можем определить случайные величины ,в том случае, когда параметры распределенийявляются случайными величинами.

Определим границы -уровневого множества, то есть случайные величины,.

Имеем следующее. Так как , а, то,.

Следовательно, ,

. Имея случайные величины ,, мы можем рассчитать дисперсию нечеткой случайной величины.

Лемма 1.3.3. [12] Пусть , тогда дисперсия нечеткой случайной величиныисчисляется по формуле:

(1.3.3)

Доказательство.

В соответствии с определениями 1.2.1, 1.2.2 имеем:

.

Тогда:

Лемма доказана.

Получим формулу для расчета ковариации.

Используя приведенные выше представления, мы можем определить случайные величины ,,,в том случае, когда параметры распределений,являются случайными величинами.

Определим границы -уровневого множества, то есть случайные величины,,,.

Имеем следующее. Так как , а, то,.

Следовательно, ,

, ,

. Имея случайные величины ,,,, мы можем рассчитать ковариацию нечетких случайных величин.

Лемма 1.3.4.[12] Пусть ,. Тогда ковариация нечетких случайных величинисчисляется по формуле:

(1.3.4)

Доказательство.

В соответствии с определением 1.2.1 имеем:

. Следовательно:

Лемма доказана.

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим числовой пример [12].

Пример 1. В качестве модельного примера рассмотрим две нечеткие случайные величины и , модальные значения и коэффициенты нечеткости которых являются случайными величинами, имеющими равномерное распределение на отрезке.

Нечеткие случайные величины моделируются с помощью функций представления формы типа. Более того, пустьL и R функции являются кусочно-линейными, то есть .

Определим ковариацию и дисперсию нечетких случайных величин, основываясь на полученных ранее формулах (лемма 1.3.3, лемма 1.3.4).

С учетом того, что функции являются кусочно-линейными, имеем. В результате полученные нами формулы принимают вид:

Введем распределения случайных величин, представляющих параметры распределений. Пусть: ,,,,,,,имеют равномерное распределение на отрезках [1;2], [4;5], [2;4], [5;6], [1;2], [1;2], [1;3], [2;3] соответственно.

Математические ожидания рассмотренных случайных величин представлены в таблице 1:

Таблица 1

Математические ожидания случайных величин

1,5	4,5	3	5,5	1,5	1,5	2	2,5

В соответствии с таблицей 1 ,.

При расчете моментов второго порядка рассмотрим два случая.

1) Случайные величины, представляющие параметры распределений, являются независимыми. Тогда ковариационная матрица случайных параметров распределений имеет вид (таблица 2):

Таблица 2

Ковариационная матрица случайных параметров распределений

	0,83	0	0	0	0	0	0	0
	0	0,33	0	0	0	0	0	0
	0	0	0,33	0	0	0	0	0
	0	0	0	0,83	0	0	0	0
	0	0	0	0	0,83	0	0	0
	0	0	0	0	0	0,83	0	0
	0	0	0	0	0	0	0,33	0
	0	0	0	0	0	0	0	0,83

Тогда нетрудно видеть, что в соответствии с таблицей 2 и приведенными выше формулами (что согласуется с результатами, представленными в [72]),,.

2) Случайные величины, представляющие параметры распределений, являются зависимыми. Тогда ковариационная матрица случайных параметров распределений, рассчитанная согласно исходной информации, имеет вид (таблица 3):

Таблица 3

Ковариационная матрица случайных параметров распределений

	0,83	0,16	-0,9	0,13	0,75	0,11	-0,3	0,7
	0,16	0,33	0,63	0,99	-0,8	0,1	0,7	0,58
	-0,9	0,63	0,33	-0,23	0,45	-0,13	0,24	0,71
	0,13	0,99	-0,23	0,83	0	0,6	-0,17	0,59
	0,75	-0,8	0,45	0	0,83	-0,34	0	0,18
	0,11	0,1	-0,13	0,6	-0,34	0,83	0,9	0,15
	-0,3	0,7	0,24	-0,17	0	0,9	0,33	-0,08
	0,7	0,58	0,71	0,59	0,18	0,15	-0,08	0,83

После подстановки соответствующих элементов в приведенные выше формулы, получаем: ;;.