умк_Вабищевич_Физика_ч

Пример 7.

Определить начальную скорость υ0 сближения протонов, находящихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если минимальное расстояние rmin, на которое они могут сблизиться, равно 10–11 см.

Решение. Между двумя протонами действуют силы отталкивания, вследствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому задачу можно решить как в инерциальной системе координат (связанной с центром масс двух протонов), так и в неинерциальной (связанной с одним из ускоренно движущихся протонов). Во втором случае законы Ньютона не имеют места. Поэтомуудобнорассматриватьзадачувинерциальнойсистемеотсчета.

Поместим начало координат в центр масс двух протонов. Поскольку мы имеем дело с одинаковыми частицами, то центр масс будет находиться в точке, делящей пополам отрезок, соединяющий частицы. Относительно центра масс частицы будут иметь в любой момент времени одинаковые по модулю скорости. Когда частицы находятся на достаточно большом расстоянии друг от

друга, скорость υ1 каждой частицы равна половине υ0, т.е. υ1 = υ20 .

Для решения задачи применим закон сохранения энергии, согласно которому полная механическая энергия Е изолированной системы постоянна, т.е. E =Wk +Wn , где Wk – сумма кинетических энергий обоих протонов отно-

сительно центра масс; Wn – потенциальная энергия системы зарядов. Выразим потенциальную энергию в начальный Wn1 и конечный Wn2

моменты движения.

В начальный момент, согласно условию задачи, протоны находились на большом расстоянии, поэтому потенциальной энергией можно пренебречь (Wn1 = 0). Следовательно, для начального момента полная энергия будет равна кинетической энергии Wk1 протонов, т.е.

В конечный момент, когда протоны максимально сблизятся, скорость и кинетическая энергия равны нулю, а полная энергия будет равна потенциальнойэнергииWn2, т.е.

Кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий протонов

61

Потенциальная энергия системы двух зарядов q1 и q2, находящихся в вакууме, определяетсяпоформуле

Wn = q1q2 , 4πε0r

где r – расстояние между зарядами. Воспользовавшись этой формулой, получим

С учетом равенств (4) и (5) формула (3) примет вид

Выразим из этого равенства скорость

Выполнив вычисления, получим: υ0 = 2,35 106 м/с.

Пример 8.

Диполь с электрическим моментом p = 2 нКл м находится в однородном электрическом поле напряженностью Е = 30 кВ/м. Вектор pG составляет угол α0 = 60° с направлением силовых линий поля. Определить произведенную внешними силами работу А поворота диполя на угол β = 30°.

Решение. Из исходного положения (рис. 2.9) диполь можно повернуть на угол β = 30° = π/6 двумя способами:

В первом случае диполь будет поворачиваться под действием сил поля. Работа внешних сил при этом будет отрицательной. Во втором слу-

62

чае поворот может быть произведен только под действием внешних сил. Следовательно, работа внешних сил при этом будет положительной.

Работу, совершенную при повороте диполя, можно вычислить двумя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементарной работы; 2) с помощью соотношения между работой и изменением потенциальной энергии диполя в электрическом поле.

Первый способ

Элементарная работа при повороте диполя на угол α dA = Mdα = pE sin αdα ,

а полная работа при повороте на угол от α0 до α

αα

Произведя интегрирование, получим

A = −pE(cosα −cosα0 ) = pE(cosα0 −cosα) . (1)

Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке

A1 = pE(cosα0 −cosα1) = −21,9 мкДж;

против часовой стрелки

A2 = pE(cosα0 −cosα2 ) = 30 мкДж.

Второй способ

Работа А внешних сил связана с изменением потенциальной энергии ∆Wn соотношением

A = ∆Wn =Wn2 −Wn1 ,

где Wn1 и Wn2 – потенциальные энергии системы соответственно в начальном и конечном состояниях.

Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой Wn = −pE cosα, то

что совпадает с формулой (1), полученной первым способом.

Пример 9.

В атоме иода, находящемся на расстоянии r = 1 нм от альфа-частицы, индуцирован электрический момент р = 1,5 10–32 Клм. Определить поляризуемостьα атомаиода.

63

где р – индуцированный электрический момент атома; Елок – напряженность локального поля, в котором этот атом находится.

В данном случае таким полем является поле, созданное альфа-

Произведя вычисления по этой формуле, получим α = 5,9 10–30 м3.

Пример 10.

Криптоннаходитсяподдавлениемр= 10 МПапритемпературеТ= 200 К. Определить: 1) диэлектрическую проницаемость ε криптона; 2) его поляризованность pG , если напряженность Е0 внешнего электрического поля

равна 1 МВ/м. Поляризуемость α криптона равна 4,5 10–29 м3.

Решение. 1). Для определения диэлектрической проницаемости криптонавоспользуемсяуравнениемКлаузиуса– Моссоти, записаннымввиде

где n – концентрация атомов криптона.

Выразим из этой формулы диэлектрическую проницаемость:

Так как концентрация молекул (атомов) связана с давлением и температурой соотношением n = kTp , то

ε = 3kT + 2αp .

3kT −αp

64

Выразив все величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ (α = = 4,5 10–29 м3, р = 10 МПа = 107 Па, k = 1,38 10–23 Дж/К, Т = 200 К) и произ-

ведя вычисления, получим ε = 1,17.

2). По определению, поляризованность

pG = ∆1 ∑N pGi , V i=1

где pGi – электрический дипольный момент, индуцированный в i-ом атоме;

N – число атомов в объеме ∆V.

В однородном электрическом поле все pi совпадают по модулю и направлению, поэтому геометрическую сумму можно заменить на арифметическую. Обозначив pGi = p , получим

pG = ∆NVp .

Отношение числа N атомов к этому объему ∆V есть концентрация n атомов. Тогда pG = np .

Так как электрический дипольный момент атома пропорционален напряженности Елок локального поля ( p = αε0Eлок ), то поляризованность

Подставим числовые значения и произведем вычисления (при этом воспользуемся значением ε = 1,17, найденным в пункте 1 данного примера):

p =1,30 10−6 Кклм2 =1,30 мкКлм2 .

2.5.Задачи для самостоятельного решения

1.Точечные заряды q1 = 1 мкКл и q2 = 0,1 мкКл находятся на расстоянии r1 = 10 см друг от друга. Какую работу совершат силы поля, если второй заряд, отталкиваясь от первого, удалится от него на расстояние: 1) r2 = 10;

2)r2 = ∞?

65

2.Электрическое поле создано двумя одинаковыми положительными точеч-

ными зарядами q. Найти работу А1,2 сил поля по перемещению заряда q1 = = 10 нКл из точки 1 с потенциалом ϕ1 = 300 В в точку 2 (рис. 2.12).

3.На отрезке прямого провода равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ =103 нКлм . Определить работу А сил поля по перемеще-

нию заряда q = 1 нКл из точки В в точку С (рис. 2.13).

4.Определить работу А1,2 сил поля по перемещению заряда q = 1 мкКл из точки 1 в точку 2 поля, созданного заряженным проводящим шаром (рис. 2.14). Потенциал шара ϕ = 1 кВ.

кинетическая энергия пылинки? Какую скорость приобрела пылинка?

7.Электрон движется вдоль силовой линии однородного электрического поля. В некоторой точке поля с потенциалом ϕ1 = 100 В электрон имел скорость υ1 = 6 106 м/с. Определить потенциал ϕ2 точки поля, в которой скорость υ2 электрона будет равна υ1/2.

нии друг от друга, сближаются с относительной начальной скоростью

υ =107 м/с. Определить минимальное расстояние rmin, на которое они могут подойти друг к другу.

10.Расстояние l между зарядами q = ± 3,2 нКл диполя равно 12 см. Найти напряженность Е и потенциал ϕ поля, созданного диполем, в точке, удаленной на r = 8 см как от первого, так и от второго заряда.

66

11.Два диполя с электрическими моментами p1 = 10–12 Клм и p2 = 4 10–12 Клм находятся на расстоянии r = 2 см друг от друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой.

12.Диполь с электрическим моментом p = 10–10 Клм свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью Е = 150 кВ/м. Вычис-

литьработу, необходимуюдлятого, чтобыповернутьдипольнауголα= 180°.

13.При какой поляризованности р диэлектрика (ε = 5) напряженность Елок локального поля равна 10 МВ/м?

14.Диэлектрик поместили в электрическое поле напряженностью Е0 = 20 кВ/м. Чему равна поляризованность р диэлектрика, если напряженность Е среднегомакроскопическогополявдиэлектрикеоказаласьравной4 кВ/м?

67

3.УЧЕБНЫЙ БЛОК «ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ»

Введение

При изучении данной темы внимание уделяется основным закономерностям при прохождении электрического тока в различных средах. Изучаются законы Ома и Джоуля – Ленца, установленные для проводников. Показано, что данные законы являются следствием классической электронной теории металлов. Однако полное описание поведения электронов в металле может быть дано лишь на основе квантовой физики. Рассматриваются правила Кирхгофа и их применение к расчету электрических параметров разветвленных цепей.

При изучении данного раздела студенты должны

иметь представление:

– об основных физических величинах: заряд, сила тока, плотность тока, потенциал и работа электрического поля;

обладать навыками:

–решение систем линейных уравнений;

–примененияэлементовдифференциальногоиинтегральногоисчисления.

Учебная программа блока

68

Цели обучения

3.1. Краткое содержание теоретического материала

Электрический ток в металлах

Если в проводнике создать электрическое поле, то носители заряда придут в упорядоченное движение – электрический ток. Его принято характеризовать силой тока – скалярной величиной, которая по определению равна заряду, переносимому носителями через рассматриваемое сечение проводника в единицу времени:

I = dqdt .

Для осуществления в среде протекания электрического тока необходимо выполнение следующих двух условий: во-первых, в среде должны

69

быть свободные носители заряда, во-вторых, в среде должно существовать электрическое поле.

Плотностью электрического тока называется вектор j , совпадающий с

направлением тока в рассматриваемой точке и численно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхности, ортогональный направлению тока, к площади dS этого элемента

j = dI . dS

Если элемент поверхности расположен так, что нормаль nG к этому элементу составляет с вектором плотности тока угол α , то сила тока через участок сеченияравна

dI = jdS = jdS cosα = jndSG = GjdS ,

где dSG = nGdS – вектор малого элемента площади, n – единичный вектор нормали. Из сказанного следует, что сила тока через произвольную площадь сечения S равна потоку через эту площадь вектора плотности тока:

Уравнение (1) называется уравнением неразрывности и оно означает, что разность потоков – входящего в пространство, ограниченное S, и выходящего из него – определяет изменение заряда в этом пространстве. Для постоянного тока заряд q = const, и v∫ jdS = 0 .

S

Экспериментально установленная зависимость силы тока в проводнике от разности потенциалов на его концах, получила название закона Ома для участка цепи:

70